update positive definite definition

linear_algebra.ipynb

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     "\n",
     "#### 定義\n",
     "\n",
-    "固有値が全て正の実数となるような対称行列を正定値行列という。\n",
+    "Aがすべての非ゼロベクトルwに対して対称行列Aが$w^\\top A w \\gt 0$を満たすとき、Aは**正定値行列**と呼ばれ、$A \\succ 0$と表す。\n",
     "\n",
-    "Aがすべての非ゼロベクトルwに対して$w^\\top A w \\gt 0$を満たすとき、Aは**正定値行列**と呼ばれ、$A \\succ 0$と表す。\n",
+    "固有値が全て正の実数のとき、かつそのときに限り、正定値行列となる。\n",
     "\n",
     "#### 固有値\n",
     "\n",
-    "正定値行列のすべての固有値は正である。\n",
+    "正定値行列のすべての固有値は正である。またすべての固有値が正のときに限り、正定値行列である。\n",
     "\n",
     "<p style=\"margin-left: 120px; font-size: 12px;\">\n",
-    "正定値行列Aの固有値$\\lambda$と固有ベクトル$u$を用いて、<br>\n",
     "\n",
-    "$Au = \\lambda u$<br>\n",
+    "正定値行列$\\mathbf{A}$の固有値$\\lambda_i$と正規直交する固有ベクトル$\\mathbf{u}_i$を用いて、<br>\n",
     "\n",
-    "と書くことができる。左から$u^\\top$をかけて、<br>\n",
+    "$\\mathbf{A}\\mathbf{u}_i = \\lambda_i\\mathbf{u}_i$<br>\n",
     "\n",
-    "$u^\\top Au = \\lambda u^\\top u$<br>\n",
+    "と書くことができる。<br>\n",
     "\n",
-    "$u^\\top Au = \\lambda \\|u\\|^2$<br>\n",
+    "任意のベクトル$\\mathbf{v}$は固有ベクトル$\\mathbf{u}_i$の線形結合で表せるので、<br>\n",
+    "\n",
+    "$\\mathbf{v} = \\sum_i \\alpha_i\\mathbf{u}_i$<br>\n",
+    "\n",
+    "よって、<br>\n",
+    "\n",
+    "$\\mathbf{v}^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{v} = (\\sum_i \\alpha_i\\mathbf{u}_i^\\top)\\mathbf{H}(\\sum_i \\alpha_i\\mathbf{u}_i)$<br>\n",
+    "\n",
+    "$\\mathbf{A} = \\sum_i \\lambda_i\\mathbf{u}_i\\mathbf{u}_i^\\top$より、<br>\n",
+    "\n",
+    "$\\mathbf{v}^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{v} = (\\sum_i \\alpha_i\\mathbf{u}_i^\\top)(\\sum_i \\lambda_i\\mathbf{u}_i\\mathbf{u}_i^\\top)(\\sum_i \\alpha_i\\mathbf{u}_i)$<br>\n",
+    "\n",
+    "固有ベクトルは正規直交しているので$\\mathbf{u}_i^\\top\\mathbf{u}_j = 0$, $\\mathbf{u}_i^\\top\\mathbf{u}_i = 1$より、<br>\n",
+    "\n",
+    "$\\mathbf{v}^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{v} = \\sum_i \\alpha_i^2\\lambda_i$<br>\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "$\\mathbf{v}^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{v} = \\sum_i \\alpha_i^2\\lambda_i$\n",
+    "において、$\\alpha_i$以外が0のとき、<br>\n",
+    "\n",
+    "$\\mathbf{u}_i^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{u}_i = \\lambda_i$<br>\n",
+    "\n",
+    "よってゼロでない任意のベクトル$\\mathbf{v}$に対し$\\mathbf{v}^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{v} \\gt 0$を満たすためには、<br>\n",
+    "\n",
+    "すべての固有値に対し$\\lambda_i \\gt 0$が成り立つ必要がある。<br>\n",
+    "\n",
+    "すべての固有値に対し$\\lambda_i \\gt 0$が成り立つとき、$\\mathbf{v}^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{v} = \\sum_i \\alpha_i^2\\lambda_i \\gt 0$より、ゼロでない任意のベクトル$\\mathbf{v}$に対し$\\mathbf{v}^\\top\\mathbf{A}\\mathbf{v} \\gt 0$となる。<br>\n",
     "\n",
-    "固有ベクトルの定義よりuは非ゼロベクトルなので、$\\|u\\|^2 \\gt 0$かつ正定値行列の定義より、$u^\\top Au \\gt 0$<br>\n",
+    "よってすべての固有値が正のとき、かつそのときに限り、$\\mathbf{A}$は正定値行列である。\n",
     "\n",
-    "よって$\\lambda \\gt 0$\n",
     "</p>\n",
     "\n",
     "任意の可逆行列Aに対し、$A^\\top A$は正定値行列である。そのすべての固有値はAの特異値の２乗であり、正の実数である。\n",