Commit math related properties of prime

Author: showalski

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 * 可逆性：设c为密文，m为明文，k为密钥，有等式$$c = m \oplus k, m = c \oplus k$$，即在使用同一个密钥时，异或运算既可以得到密文也可得到明文。这种加解密的方式在one time pad中用到。[参考][xor_reverse]。
 
+### 素数
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+素数在密码学中的应用非常广泛，Diffie-Hellman key exchange和RSA中都会选择一个很大（如包含600个数字）素数作为模幂运算的模数。
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+* 互素：在数论中，如果两个或两个以上的整数的最大公因数是1，即[Greatest common divisor（GCD）][gcd]，则称它们为互素。如果gcd(a, b) = 1, 则a和b[互素][coprime]（relatively prime, co-prime）
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+* 欧拉函数$$\Phi(n)$$：欧拉函数$$\Phi(n)$$是小于或者等于n的正整数中与n互素的数目。欧拉函数在RSA公钥加密算法中可以快速计算公钥和密钥的值。
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+    * 若n为素数，则$$\Phi(n) = n - 1$$
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+    * 欧拉函数满足：$$\Phi(A \times B) = A \times B$$
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+* 欧拉定理：若n，m为正整数，且n，m互素（gcd（n，m）=1），则
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+    * $$m^{\Phi(n)} \equiv 1\bmod n$$，即$$m^{\Phi(n)}\bmod n = 1$$
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+* 原根：设p为素数，满足条件$$g^i\bmod p \neq g^j\bmod p$$，$$i\neq j\ and\ i,j\in [1,p - 1]$$，则称为g为p的原根。如果依据$$g^i\bmod p, i \in [1, p - 1]$$画一张表的话，表中每个元素的值都是不同的；如果将该公式作为一个黑盒子，那么获取表中任意一个值的概率是相同的。
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+    * 上述原根的特性使得构造单向函数f(x)（[one way function][one-way-func]）成为可能，即给定x的值以及f(x)的算法得到f(x)很容易，但给定f(x)的值和以及f(x)的算法反向获取x的值却很难，这里$$f(x) = g^i\bmod p, f^{-1}(x) = \log_p g$$，Diffie-Hellman Key Exchange就是构建于不能有效求解[离散对数难题][dis-log]$$f^{-1}(x)$$上的公钥加密算法。
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 [xor_prob]: https://stackoverflow.com/questions/5889238/why-is-xor-the-default-way-to-combine-hashes
 [xor_dis_proof]: https://math.stackexchange.com/questions/441329/how-to-prove-uniform-distribution-of-m-oplus-k-if-k-is-uniformly-distributed
 [xor_reverse]: https://stackoverflow.com/questions/1379952/why-is-xor-used-in-cryptography
+[gcd]: https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor
+[coprime]: https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers
+[one-way-func]: https://en.wikipedia.org/wiki/One-way_function
+[dis-log]: https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_logarithm