fix: addressed review v1

loneliness/README.md

@@ -4,14 +4,14 @@
 
 ## 問題文
 
-数直線上に $1, 2, ..., 60$ の番号が付けられた人がいます。\
-$i$ の番号が付けられた人を人 $i$ と呼びます。\
-番号が同じ人は 2 人で 1 つのペアを組むことができます。<br>
+数直線上に人がいます。\
+それぞれの人は $1, 2, ... , 60$ のクラスのうち 1 つに属しています。\
+同じクラスの人は 2 人で 1 つのペアを組むことができます。<br>
 
 $Q$ 個のクエリが与えられるので順に処理してください。各クエリは次の
 2 種類のどちらかです。
 
-- `1 L R l r`：区間 $\lbrack L, R \rparen$ 内に人 $l, l+1, ... , r$ がそれぞれ奇数人、それ以外の人は偶数人いるという情報が与えられる。
+- `1 L R l r`：区間 $\lbrack L, R \rparen$ 内にクラス $l, l+1, ... , r$ の人がそれぞれ奇数人、それ以外のクラスの人は偶数人いるという情報が与えられる。
 - `2 L R`：区間 $\lbrack L, R \rparen$ にいる人で可能な限りペアを組んだ場合に、ペアになれずに残る人数を出力する。質問の時点で答えが一通りに定まらない場合は、代わりに `Ambiguous` と出力する。
 
 なお、各人は複数の区間にまたがることはないものとします。
@@ -71,9 +71,9 @@ Ambiguous
 0
 ```
 
-1 つ目のクエリでは、区間 $\lbrack 1, 3 \rparen$ には人 2 が奇数人、それ以外の人 1, 3 が偶数人いるという情報が得られます。<br>
-3 つ目のクエリでは、区間 $\lbrack 1, 2 \rparen$ には人 1 が奇数人、それ以外の人 2, 3 が偶数人存在するという情報が得られます。<br>
-5 つ目のクエリでは、区間 $\lbrack 2, 3 \rparen$ に人 1, 2, 3 はそれぞれ奇数, 奇数, 偶数人存在することが分かるので、ペアになれずに残る人は 2 人です。
+1 つ目のクエリでは、区間 $\lbrack 1, 3 \rparen$ にはクラス 2 の人が奇数人、それ以外のクラス 1, 3 の人が偶数人いるという情報が得られます。<br>
+3 つ目のクエリでは、区間 $\lbrack 1, 2 \rparen$ にはクラス 1 の人が奇数人、それ以外のクラス 2, 3 の人が偶数人存在するという情報が得られます。<br>
+5 つ目のクエリでは、区間 $\lbrack 2, 3 \rparen$ にクラス 1, 2, 3 の人はそれぞれ奇数, 奇数, 偶数人存在することが分かるので、ペアになれずに残る人は 2 人です。
 
 なお、この入力例は小課題 1, 2 の制約を満たします。
 
@@ -116,24 +116,23 @@ Ambiguous
 
 ### 部分点 1 解法
 
-まず、今回はクエリで現れる区間の長さは特に考慮しないため、クエリを先読みして座標圧縮をしても問題ありません。
-また、クエリの数が $Q$ 個という情報より、地点として現れる座標の数は $2Q$ 個以下であることが保証されます。
+まず、今回はクエリで現れる区間の長さは特に考慮しないため、クエリを先読みして座標圧縮をしても問題ありません。<br>
 
-ここで二つの区間 $\lbrack L_1, R_1 \rparen, \lbrack L_2, R_2 \rparen$ を考えます。（$L_1 < L_2 < R_1 < R_2$ とする。）<br>
-また、$\lbrack L_1, R_1 \rparen$ には人 $l_1, l_1 + 1, ... , r_1$ が、$\lbrack L_2, R_2 \rparen$ には人 $l_2, l_2 + 1, ... , r_2$ が奇数人いるとし、それ以外に偶数人いるとします。
+また、ある区間 $\lbrack L , R \rparen$ において、各クラスでペアを作れずに余る人は 0 or 1 人しかいません。即ち、答えはある区間 $\lbrack L , R \rparen$ における各クラスの人数の mod 2 の総和に等しいです。<br>
 
-すると、二つの区間が重なった区間 $\lbrack L_2, R_1 \rparen$ は、奇数 + 奇数 = 偶数人存在することが分かります。<br>
-これは和の mod 2 の演算をしていることに等しいため、XOR 演算を用いて区間の情報を管理することができます。
+ここで $B_{L,R}$ 以下を定義します。
 
-よって、クエリ 1 では L, R にコスト $\sum_{i=1}^{60} 2^{i-1}\times$ (人 $i$ の人数 $\% 2$) の辺を張り、クエリ 2 では移動時に XOR を行うようにして L から R へ BFS を行うことで、 $O(Q^2)$ で解くことができます。
+$$B_{L,R} = \sum_{i=1}^{60} 2^{i-1}\times (区間 \ \lbrack L , R \rparen \ にいるクラス \ i \ の人数 \ \text{mod 2})$$
 
-### 満点解法
+これは、 $(B_{L,R} \ \& \ (1 << i)) \neq 0$ の時、区間 $\lbrack L , R \rparen$ にクラス $i$ の人が奇数人存在することを意味する値です。
+
+$L < M < R$ において、 $B_{L,M} \oplus B_{M,R}$ を考えると、これは各桁が 2 進数における mod 2 の和に等しいため、 $B_{L,R}$ に等しいです。これはある $\lbrack L , R \rparen$ における答えは、$\lbrack L , M \rparen$ と $\lbrack M , R \rparen$ から求められることを意味します。<br>
 
-満点解法に用いる事実として、以下があります。<br>
-以下では、$\lbrack L, R \rparen$ におけるコストを $C_{L,R}$ とし、 $C_{L,R} = \sum_{i=1}^{60} 2^{i-1}\times$ (人 $i$ の人数 $\% 2$) とします。
+これにより、クエリ 1 の $L, R$ 間にコスト $B_{L,R}$ の辺を張ったグラフを考え、クエリ 2 における $L$ を始点として移動時にコストで XOR を取るような BFS を行うことで、$R$ に到着した時のコストがクエリ 2 の答えになります。<br>
 
-- $P_1 < P_2 < P_3$ として、 $C_{P_1,P_3} = C_{P_1,P_2} \oplus C_{P_2,P_3}$
-  - XOR より $C_{P_1,P_2} = C_{P_1,P_3} \oplus C_{P_2,P_3}, C_{P_2,P_3} = C_{P_1,P_2} \oplus C_{P_1,P_3}$ も成り立つ。
+クエリは $Q$ 個なので、このグラフにおける頂点・辺の数は高々 $2Q$ 個であるため、 $O(Q^2)$ で解くことができます。
+
+### 満点解法
 
-クエリ 1 で与えられる情報の端点を移動して $L$ から $R$ にたどり着けるとき、経路に依らず $C_{L,R}$ が一意に定まることがわかります。<br>
-よって、これはポテンシャルの概念と同じくとらえることができ、重み付き UnionFind を使って $O(Q)$ で解くことができます。
+クエリ 1 で与えられる情報の端点を移動して $L$ から $R$ にたどり着けるとき、経路に依らず $B_{L,R}$ が一意に定まることがわかります。<br>
+よって、これはポテンシャルの概念と同じくとらえることができ、重み付き UnionFind の重みとして $B_{L,R}$ を管理することで $O(Q)$ で解くことができます。