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Author: michael-markl

Handout/mixed-integer-program.tex

@@ -77,7 +77,7 @@
 \end{theorem}
 
 Man kann zeigen, dass eine Abschätzung wie in Vermutung~\ref{con:delta}, die nur $\Delta$ verwendet, mindestens linear von $\Delta$ abhängen muss.
-Betrachten wir nur $I,J\in\{\emptyset, \firstNumbers{n} \}$, gilt eine solche Abschätzung für $\Delta\leq 2$.
+Betrachtet man nur $I,J\in\{\emptyset, \firstNumbers{n} \}$, gilt eine solche Abschätzung für $\Delta\leq 2$.
 Dies baut auf ein Theorem von Veselov-Chirkov aus~\cite[Theorem 2 und Beweis]{VESELOV2009220} auf:
 \begin{lemma}[Veselov-Chirkov, 2009]\label{lem:veselov}
 	Seien eine ganzzahlige Matrix $A\in\Z^{m\times n}$, $b\in\Z^m$ mit $\rang(A)=n$ gegeben und der Betrag jeder Determinante einer $n\times n$ Teilmatrix von $A$ sei kleinergleich 2.

Kapitel/integers-bounds.tex

@@ -140,7 +140,7 @@ \subsection{Abschätzung anhand Anzahl ganzzahliger Variablen}
 
 \begin{theorem}\label{thm:theo2}
 	Seien $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPR) eine optimale Lösung $\tilde{y}$ hat.
-	Für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) existiert eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{x^*-y^*}\leq\betrag{I\cup J}\cdot\Delta$.
+	Dann existiert für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{x^*-y^*}\leq\betrag{I\cup J}\cdot\Delta$.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
 	Ohne Einschränkung seien $I$ und $J$ nicht beide leer.

Kapitel/prospects.tex

@@ -1,9 +1,9 @@
 \section{Fazit und Ausblick}
 
-In der Arbeit \glqq Distances between optimal solutions of mixed-integer programs\grqq konnten die drei Autoren Joseph Paat,
+In der Arbeit \glqq Distances between optimal solutions of mixed-integer programs\grqq\ konnten die drei Autoren Joseph Paat,
 Robert Weismantel und Stefan Weltge das Theorem von Cook für allgemeine Indexmengen verallgemeinern und gleichzeitig die Abschätzung anhand der Anzahl ganzzahliger Variablen verstärken.
 Interessanterweise spielten dabei Aussagen aus der Gruppentheorie eine entscheidende Rolle.
 
 Die Vermutung der linearen Abhängigkeit des Abstands von $\Delta$ konnte für den Fall $\Delta\leq 2$ und $I,J\in\{\emptyset,\firstNumbers{n}\}$ bestätigt werden.
 Dies beruht hauptsächlich auf der Aussage von Veselov-Chirkov, welche diese Voraussetzungen fordert.
-Hierbei könnten ähnliche, allgemeinere Resultate in der Zukunft hilfreich sein, um die Vermutung für größeres $\Delta$ oder allgemeine Indexmengen zeigen zu können.
+Hierbei könnten ähnliche, allgemeinere Resultate in der Zukunft hilfreich sein, um die Vermutung für größeres $\Delta$ oder allgemeine Indexmengen erweitern zu können.

Literatur/seminararbeit.bib

@@ -70,11 +70,10 @@ @article{VESELOV2009220
 	abstract = "Let A be an m×n integral matrix of rank n. We say that A is bimodular if the maximum of the absolute values of the n×n minors is at most 2. We give a polynomial time algorithm that finds an integer solution for system Ax≤b. A polynomial time algorithm for integer program max{cx:Ax≤b} is constructed, proceeding on some assumptions."
 }
 
-@Inbook{Karpfinger2017,
+@book{Karpfinger2017,
 	author="Karpfinger, Christian
 	and Meyberg, Kurt",
-	title="Der Hauptsatz {\"u}ber endliche abelsche Gruppen",
-	bookTitle="Algebra: Gruppen - Ringe - K{\"o}rper",
+	title="Algebra: Gruppen - Ringe - K{\"o}rper",
 	year="2017",
 	publisher="Springer Berlin Heidelberg",
 	address="Berlin, Heidelberg",
@@ -85,11 +84,10 @@ @Inbook{Karpfinger2017
 	url="https://doi.org/10.1007/978-3-662-54722-9_10"
 }
 
-@Inbook{Korte2012,
+@book{Korte2012,
 	author="Korte, Bernhard
 	and Vygen, Jens",
-	title="Ganzzahlige Optimierung",
-	bookTitle="Kombinatorische Optimierung: Theorie und Algorithmen",
+	title="Kombinatorische Optimierung: Theorie und Algorithmen",
 	year="2012",
 	publisher="Springer Berlin Heidelberg",
 	address="Berlin, Heidelberg",

beamer.pdf

@@ -104,17 +104,17 @@
 		\frame{\titlepage}
 	\end{nofootline}
 
-	\include{beamer/intro}
+	\include{Beamer/intro}
 
 	\begin{frame}{Gliederung}
 		\tableofcontents
 	\end{frame}
 
-	\include{beamer/definition}
+	\include{Beamer/definition}
 
-	\include{beamer/integers-bounds}
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-	\include{beamer/further-results}
+	\include{Beamer/further-results}
 
 	\begin{noheadline}
 		\begin{frame}<presentation:0>[noframenumbering]

beamer.tex

@@ -28,10 +28,10 @@
 \begin{titlepage}
 \seminarkopf 			% Titelblatt (wie in kopf.tex definiert)
 \begin{abstract} 
-Ein gemischt-ganzzahliges Programm ist ein lineares Optimierungsprogramm, bei dem die Variablen einer bestimmten Indexmenge auf die ganzen Zahlen beschränkt sind.
-Wir verstärken bisherige Resultate, die eine Abschätzung optimaler Lösungen zweier gemischt-ganzzahliger Programme, die sich nur in der Indexmenge unterscheiden, anhand der Anzahl an Variablen und $\Delta$ geben.
+Ein gemischt-ganzzahliges Programm ist ein lineares Optimierungsprogramm, bei dem die Variablen einer bestimmten Indexmenge als ganzzahlig beschränkt sind.
+Es werden bisherige Resultate verstärkt, die eine Abschätzung von Abständen optimaler Lösungen von Programmen, die sich nur in der Indexmenge unterscheiden, anhand der Anzahl an Variablen und $\Delta$ geben.
 Die Größe $\Delta$ quantifiziert dabei den größten Absolutwert der Determinanten aller quadratischer Untermatrizen.
-Wir zeigen eine Abschätzung, die nur die beiden Indexmengen und $\Delta$ verwendet, und vermuten, dass der Abstand gemischt-ganzzahliger Probleme sogar linear von $\Delta$ abhängt, wobei wir Szenarien untersuchen, die diese Vermutung bestätigen.
+Es wird eine Abschätzung gezeigt, die nur die Anzahl ganzzahliger Variablen und $\Delta$ verwendet, und die Vermutung diskutiert, dass der Abstand gemischt-ganzzahliger Probleme allein von $\Delta$ abhängt, wobei Szenarien untersucht werden, die diese Vermutung bestätigen.
 \end{abstract} 
 \end{titlepage}