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Author: michael-markl

Kapitel/delta-linear.tex

@@ -8,18 +8,18 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 Schrijver hat in~\cite[Kapitel~17.2]{Schrijver1986} ein Beispiel angeführt, das $n\Delta$ als beste Abschätzung von optimalen Lösungen von ($\emptyset$-\MIPR) und ($\firstNumbers{n}$-\MIPR) besitzt.
 Für $b\in\Z^m$ erkennen wir mit folgendem Beispiel, dass der Abstand zumindest linear von $\Delta$ abhängt:
 \begin{example}
-	Für $\delta\in\N$ sei
+	Für $\delta\in\N$ seien
 	$$A:=
 	\begin{pmatrix}
 	-\delta & 0  \\
 	\delta  & -1
 	\end{pmatrix},\quad
 	b:=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad
-	c\transpose:=\begin{pmatrix}0 & -1\end{pmatrix}.
+	c\transpose:=(0, -1).
 	$$
 	Es wird also die zweite Komponente minimiert unter der Nebenbedingung $Ax\leq b$, also $\delta x_1-x_2\leq0\Leftrightarrow\delta x_1\leq x_2$ und $\delta x_1\geq 1$.
 	Es gilt $\Delta=\delta$ und die optimale Lösung von ($\emptyset$-\MIPI) und (\{2\}-\MIPI) ist $x^*=(1/\delta,1)$.
-	Die optimale Lösung von $(\{1\}-\MIPI)$ und ($\{1, 2\}$-\MIPI) ist jedoch $y^*=(1,\delta)$.
+	Die optimale Lösung von ($\{1\}$-\MIPI) und ($\{1, 2\}$-\MIPI) ist jedoch $y^*=(1,\delta)$.
 	Entsprechend ist der Abstand $\norm{x^*-y^*}=\delta-1=\Omega(\Delta)$
 \end{example}
 

Kapitel/integers-bounds.tex

@@ -4,23 +4,24 @@ \section{Abschätzungen mit Anzahl ganzzahliger Variablen}
 Um eine simple Abschätzung, die zusätzlich von der Dimension $n$ abhängt, herzuleiten, nutzen wir das folgende Theorem, das von Cook u. a. in~\cite[Theorem 1 und Bemerkung 1]{Cook1986} formuliert wurde:
 
 \begin{theorem}[Cook u. a., 1986]\label{thm:cook}
-	Seien $I, J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPR) eine optimale Lösung hat und entweder $I=\emptyset$ oder $J=\emptyset$.
-	Dann existiert für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{x^*-y^*}\leq n\cdot\Delta$.
+	Seien $I, J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPR) eine optimale Lösung hat und entweder $I=\emptyset$ oder $J=\emptyset$ gilt.
+	Dann existiert für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{x^*-y^*}\leq n\Delta$.
 \end{theorem}
 
-Mit Hilfe dieses Theorems können wir nun eine ähnliche obere Grenze finden:
+Mit Hilfe dieses Theorems können wir nun für allgemeine Indexmengen eine ähnliche obere Grenze finden:
 \begin{corollary}
 	Seien $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPR) eine optimale Lösung
 	hat.
-	Dann existiert für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{x^*-y^*}\leq2\cdot n\cdot\Delta$.
+	Dann existiert für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{x^*-y^*}\leq2 n\Delta$.
 \end{corollary}
 \begin{proof}
 	Sei $x^*$ optimale Lösung von ($I$-\MIPR).
-	Nach Theorem~\ref{thm:cook} existiert eine optimale Lösung $z^*$ von ($\emptyset$-\MIPR) mit $\norm{x^*-z^*}\leq n\cdot\Delta$ und eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{z^*-y^*}\leq n\cdot\Delta$.
-	Nach Dreiecksungleichung ist $\norm{x^*-y^*}\leq\norm{x^*-z^*}+\norm{z^*-y^*}\leq 2\cdot n\cdot\Delta$.
+	Nach Theorem~\ref{thm:cook} existiert eine optimale Lösung $z^*$ von ($\emptyset$-\MIPR) mit $\norm{x^*-z^*}\leq n\Delta$ und eine optimale Lösung $y^*$ von \mbox{($J$-\MIPR)} mit $\norm{z^*-y^*}\leq n\Delta$.
+	
+	Nach Dreiecksungleichung ist $\norm{x^*-y^*}\leq\norm{x^*-z^*}+\norm{z^*-y^*}\leq 2 n\Delta$.
 \end{proof}
 
-In diesem Abschnitt wollen wir nun diese Aussage verstärken, indem wir in der Abschätzung $2\cdot n$ durch $\betrag{I\cup J}$ ersetzen, also durch die Anzahl der Variablen, die in ($I$-\MIPR) oder ($J$-\MIPR) ganzzahlig sind.
+In diesem Abschnitt wollen wir nun diese Aussage verstärken, indem wir in der Abschätzung $2 n$ durch $\betrag{I\cup J}$ ersetzen, also durch die Anzahl der Variablen, die in ($I$-\MIPR) oder \mbox{($J$-\MIPR)} ganzzahlig sind.
 
 \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 
@@ -140,14 +141,14 @@ \subsection{Abschätzung optimaler Lösungen gemischt-ganzzahliger Programme}
 	Für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) existiert eine optimale Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPR) mit $\norm{x^*-y^*}\leq\betrag{I\cup J}\cdot\Delta$.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	Zunächst tauschen wir alle ganzzahligen Variablen an die ersten Stellen und können $\betrag{I\cup J}=\firstNumbers{d}$ mit $d\in\firstNumbers{n}$ annehmen.
+	Zunächst tauschen wir alle ganzzahligen Variablen an die ersten Stellen und können $I\cup J=\firstNumbers{d}$ mit $d\in\firstNumbers{n}$ annehmen.
 	Es sei eine optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) gegeben.
-	Setze $z:=\tilde{y}-x^*$ sowie $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1 x \leq 0, A_2x\geq0 \}$, wobei die Zeilen von $A$ in $A_1$ und $A_2$ so aufgeteilt werden, dass $A_1y<0$ und $A_2y\geq0$.
-	Da $y\in C$, erhalten wir nach Lemma~\ref{lem:cone} die Darstellung 
+	Setze $z:=\tilde{y}-x^*$ sowie $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1 x \leq 0, A_2x\geq0 \}$, wobei die Zeilen von $A$ in $A_1$ und $A_2$ so aufgeteilt werden, dass $A_1y<0$ und $A_2y\geq0$ erfüllt werden.
+	Da $y$ in $C$ liegt, erhalten wir nach Lemma~\ref{lem:cone} die Darstellung 
 	$$y = \lambda_1v^1 + \dots+\lambda_kv^k$$
-	mit $\lambda_i\geq0$, $\norm{v^i}\leq \Delta$ und $v^i\in C\cap\Z^n$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
-	Man setze $u^i$ als die Projektion von $v^i$ auf die ersten $d$ Komponenten.
-	Nach Lemma~\ref{lem:maxgamma} erhalten wir ein $\gamma\in\bigtimes_{i=1}^k[0,\lambda_i]$ mit  $\sum_{i=1}^k\gamma_iu^i\in\Z^d$ und $\sum_{i=1}^k(\lambda_i -\gamma_i)<d$.
+	mit $\lambda_i\geq0$, $\norm{v^i}\leq \Delta$ und $v^i\in C\cap\Z^n$ für alle $i\in\firstNumbers{k}$.
+	Man setze $u^i$ als die Projektion des Vektors $v^i$ auf dessen erste $d$ Komponenten.
+	Nach Lemma~\ref{lem:maxgamma} existiert ein $\gamma\in\bigtimes_{i=1}^k[0,\lambda_i]$ mit  $\sum_{i=1}^k\gamma_iu^i\in\Z^d$ und $\sum_{i=1}^k(\lambda_i -\gamma_i)<d$.
 
 	Wir definieren nun unseren Kandidaten $$y^*:=\tilde{y}-\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i=x^*+\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)v^i$$
 	sowie $$\tilde{x}:=x^*+\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i=\tilde{y}-\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)v^i.$$
@@ -168,9 +169,9 @@ \subsection{Abschätzung optimaler Lösungen gemischt-ganzzahliger Programme}
 	$$c\transpose y^*=c\transpose\tilde{y}-c\transpose(\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i)\geq c\transpose\tilde{y}$$
 	auch die Optimalität von $y^*$ für ($J$-\MIPR).
 	Außerdem gelten die folgenden Abschätzungen:
-	$$\norm{x^*-y^*}=\norm{\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)v^i}\leq \sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)\norm{v^i}\leq \sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)\Delta\leq d\cdot\Delta.
+	$$\norm{x^*-y^*}=\norm{\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)v^i}\leq \sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)\norm{v^i}\leq \sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)\Delta\leq d\Delta.
 	$$
 \end{proof}
 \begin{remark}
-	In der letzten Zeile des Beweises kann man erkennen, dass für $\Delta\neq 0$ sogar die strikte Abschätzung $\norm{x^*-y^*}<\betrag{I\cup J}\cdot\Delta$ gilt.
+	In der letzten Zeile des Beweises kann man erkennen, dass für $A\neq 0$ sogar die strikte Abschätzung $\norm{x^*-y^*}<\betrag{I\cup J}\cdot\Delta$ gilt, da dann $\Delta\neq 0$ ist.
 \end{remark}

Kapitel/introduction.tex

@@ -17,7 +17,7 @@ \section{Gemischt-ganzzahlige lineare Programme}\label{introduction}
 Wir schreiben ($I$-\MIPR), falls zusätzlich $b\in\R^m$ zugelassen wird.
 Ist also beispielsweise $I=\emptyset$, erhält man ein Problem in Standardform; $I=\firstNumbers{n}$ bildet ein rein ganzzahliges lineares Programm.
 
-Gesucht ist nun für $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$ eine möglichst kleine Schranke, die den Abstand zwischen jeder optimalen Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) und einer nähesten optimalen Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) beschränkt.
+Gesucht ist nun für $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$ eine möglichst kleine Schranke, die den Abstand zwischen jeder optimalen Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) und einer zu $x^*$ nähesten optimalen Lösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) beschränkt.
 Diese Schranke soll außerdem nur von $A$, $I$ und $J$ abhängen und der Abstand mittels Maximumsnorm ermittelt werden.
 Desweiteren wird immer vorausgesetzt, dass ($J$-\MIPI) eine optimale Lösung besitzt.
 Definiert man