Small fixes

Author: michael-markl

Kapitel/integers-bounds.tex

@@ -123,11 +123,12 @@ \subsection{Abschätzung optimaler Lösungen gemischt-ganzzahliger Programme}
 Zunächst betrachten wir noch folgendes Hilfslemma über die Darstellung eines Kegels:
 \begin{lemma}\label{lem:cone}
 	Sei $A\in\Z^{m\times n}$, dessen Zeilen in zwei Untermatrizen $A_1$ und $A_2$ aufgeteilt sind.
-	Die Menge $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1x\leq 0, A_2x\geq0 \}$ ist ein Kegel und besitzt die Darstellung \[ C=\{\lambda_1 v^1+\dots+\lambda_kv^k \mid \forall i\in\firstNumbers{k} \colon\lambda_i\geq0 \}\] mit $v^i\in\Z^n$ und $\norm{v^i}\leq\Delta$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
+	Die Menge $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1x\leq 0, A_2x\geq0 \}$ ist ein konvexer Kegel und besitzt die Darstellung \[ C=\{\lambda_1 v^1+\dots+\lambda_kv^k \mid \forall i\in\firstNumbers{k} \colon\lambda_i\geq0 \}\] mit $v^i\in\Z^n$ und $\norm{v^i}\leq\Delta$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Seien $x\in C$ und $\alpha>0$ gegeben.
-	Dann $A_1 \alpha x=\alpha A_1 x\leq 0$ und $A_2\alpha x\geq0$, also $\alpha x\in C$ und damit $C$ ein Kegel.
+	Dann sind $A_1 \alpha x=\alpha A_1 x\leq 0$ und $A_2\alpha x\geq0$, also liegt $\alpha x$ in $C$.
+	Also ist $C$ ein Kegel, der aufgrund der Darstellung als Polyeder insbesondere konvex ist.
 
 	\todo{Darstellung: \glqq standard arguments involving Cramer's rule\grqq.}
 \end{proof}