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@@ -54,7 +54,7 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
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Mit diesem Ergebnis können wir leicht eine für uns relevante Folgerung beschreiben:
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\begin{corollary}\label{cor:olson}
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-
Seien $d\in\N$und $p\in\N$eine Primzahl sowie$f^1,\dots,f^r\in\Z^d$ mit $r\geq1+dp-d$.
57
+
Seien $p\in\N$eine Primzahl, $d\in\N$und$f^1,\dots,f^r\in\Z^d$ mit $r\geq1+dp-d$.
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Dann existiert eine nicht-leere Menge $I\subseteq\firstNumbers{r}$ mit $\sum_{i\in I}f^i\in p\Z^d$.
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\end{corollary}
60
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\begin{proof}
@@ -74,10 +74,10 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
74
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\newcommand{\bbeta}{\tilde{\beta}}
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Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $\alpha_i>0$ für $i=1,\dots,k$, denn für $\alpha_i=0$ wird $\beta_i=0$ vorausgesetzt, wodurch das Resultat nicht verändert werden kann.
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-
Zunächst betrachten wir den Fall der Existenz einer Primzahl $p$, sodass $\alpha_i=q_i / p$ mit $q_i\in\N$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
77
+
Zunächst betrachten wir den Fall der Existenz einer Primzahl $p$, die $\alpha_i=q_i / p$ mit bestimmten $q_i\in\N$ für alle $i\in\firstNumbers{k}$ erfüllt.
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Wir können nun Korollar~\ref{cor:olson} auf die Vektoren
anwenden, da $r:=\sum_{i=1}^k q_i=(\sum_{i=1}^k \alpha_i)\cdot p\geq dp \geq1+dp-d$nach Annahme.
80
+
anwenden, da nach Voraussetzung $r:=\sum_{i=1}^k q_i=(\sum_{i=1}^k \alpha_i)\cdot p\geq dp \geq1+dp-d$gilt.
81
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Dadurch erhalten wir $l_i\in\{0,\dots,q_i\}$ für $i\in\firstNumbers{k}$ mit nicht alle $l_i=0$ und $\sum_{i=1}^k l_i u^i\in p\Z^d$.
82
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Teilen wir durch $p$ gelangen wir mit $\beta_i := l_i/p$ zu unserer Behauptung $\sum_{i=1}^k \beta_i u^i\in\Z^d$ und $\beta\neq0$ sowie $\beta_i\in[0,\alpha]$, da $0\leq l_i/p\leq q_i/p=\alpha_i$.
83
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@@ -88,14 +88,14 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
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mit $q^j_i\in\N$, $p^j$ Primzahl und $q^j_i/p^j\in[\alpha_i, \alpha_i+j^{-1}]$.
89
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Damit ist $\lim_{j\rightarrow\infty}v^j=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ und für $j\in\N$ können wir den ersten Fall auf $u$ und $v^j$ anwenden und erhalten damit $\beta^j\in\bigtimes_{i=1}^k[0,v^j_i]$ mit $\beta^j\neq0$ sowie $\sum_{i=1}^k\beta^j_i u^i \in\Z^d$.
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Da die Folge $(\beta^j)_{j\in\N}$ in der kompakten Menge $\bigtimes_{i=1}^k[0,\alpha_i+1]$ liegt, existiert nach Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge mit $\lim_{j\to\infty} \beta^{\sigma(j)}=:\beta$.
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-
Da$\beta^{\sigma(j)}_i\in[0,v^{\sigma(j)}_i]$ und $\lim_{j\to\infty}v^{\sigma(j)}_i=\alpha_i$ist$\beta_i\in[0,\alpha_i]$.
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+
Aus$\beta^{\sigma(j)}_i\in[0,v^{\sigma(j)}_i]$ und $\lim_{j\to\infty}v^{\sigma(j)}_i=\alpha_i$folgt nun$\beta_i\in[0,\alpha_i]$.
92
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Da es nur endlich viele $z\in\Z^d$ der Form $z=\sum_{i=1}^k\gamma_i u^i$ mit $\gamma_i\in[0,\alpha_i+1]$ gibt, existiert ein Punkt $z\in\Z^d$, für den $\sum_{i=1}^k \beta^{\sigma(j)}_i u^i=z$ für unendlich viele $j$ gilt.
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-
Also gibt es wegen der Konvergenz von $(\beta^{\sigma(j)})_{j\in\N}$ ein $n$, sodass $\sum_{i=1}^k\beta^{\sigma(j)}_i u^i=z$ für $j\geq n$ und damit ist $\sum_{i=1}^k\beta_i u^i=z$.
93
+
Also gibt es wegen der Konvergenz von $(\beta^{\sigma(j)})_{j\in\N}$ ein $n$, sodass $\sum_{i=1}^k\beta^{\sigma(j)}_i u^i=z$ für alle $j\geq n$ gilt, und damit ist $\sum_{i=1}^k\beta_i u^i=z$.
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Ist $\beta\neq0$, so erfüllt es die Behauptung.
96
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Andernfalls ist $z=0$.
97
-
Setze $\varepsilon>0$, sodass$\varepsilon\beta^n_i\in[0,\alpha_i]$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
98
-
Nach Wahl von $\beta^n$ ist dann $\varepsilon\beta^n\neq0$ und $\sum_{i=1}^k\varepsilon\beta^n_iu^i=\varepsilon z=\zero\in\Z^d$.
97
+
Setze $\varepsilon>0$ so klein, dass$\varepsilon\beta^{\sigma(n)}_i\in[0,\alpha_i]$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
98
+
Nach Wahl von $\beta^{\sigma(n)}$ ist dann $\varepsilon\beta^{\sigma(n)}\neq0$ und es gilt $$\sum_{i=1}^k\varepsilon\beta^{\sigma(n)}_iu^i=\varepsilon z=\zero\in\Z^d.$$
99
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\end{proof}
100
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101
101
\begin{lemma}\label{lem:maxgamma}
@@ -104,17 +104,17 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
104
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\end{lemma}
105
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\begin{proof}
106
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Die beschränkte Menge $G:=\{\gamma\in\bigtimes_{i=1}^k [0,\lambda_i] \mid\sum_{i=1}^k \gamma_i u^i\in\Z^d \}$ ist abgeschlossen: Sei $(\gamma^n)_{n\in\N}$ eine in $\R^k$ konvergente Folge mit $\gamma^n\in G$ für $n\in\N$ und $\lim_{n\to\infty}\gamma^n=:\tilde{\gamma}$.
107
-
Da es nur endlich viele $z\in\Z^d$gibt mit $z=\sum_{i=1}^k\gamma_iu^i$ für $\gamma_i\in[0,\lambda_i]$, existiert ein $z\in\Z^d$, sodass $z=\sum_{i=1}^k\gamma^n_iu^i$ für unendlich viele $\gamma^n$ gilt und damit auch für $\tilde{\gamma}\in G$.
108
-
Also ist $G$ abgeschlossen und mit dem Satz von Heine-Borel ist $G\subseteq\R^k$auch kompakt.
109
-
Nach dem Satz von Weierstraß nimmt die Menge $\{\sum_{i=1}^k\gamma_i\mid\gamma\in G \}$ also bei einem $\gamma\in G$ ihr Maximum an.
107
+
Da es nur endlich viele $z\in\Z^d$ mit $z=\sum_{i=1}^k\gamma_iu^i$ für $\gamma_i\in[0,\lambda_i]$ gibt, existiert ein $z\in\Z^d$, sodass $z=\sum_{i=1}^k\gamma^n_iu^i$ für unendlich viele $\gamma^n$ gilt und damit auch für $\tilde{\gamma}\in G$.
108
+
Also ist $G$ abgeschlossen und mit dem Satz von Heine-Borel auch kompakt.
109
+
Nach dem Satz von Weierstraß nimmt $\gamma\mapsto\sum_{i=1}^k\gamma_i$ also bei einem $\gamma$ ihr Maximum auf $G$ an.
110
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Angenommen, es gelte $\sum_{i=1}^k(\lambda_i - \gamma_i) \geq d$.
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-
Wenden wir Lemma~\ref{lem:olson} an auf $\alpha_i:=\lambda_i-\gamma_i\geq0$ und $u^i$ für $i\in\firstNumbers{k}$, erhalten wir $\beta\in\bigtimes_{i=1}^k[0,\lambda_i-\gamma_i]$ mit $\beta\neq0$ und $\sum_{i=1}^k \beta_i u^i\in\Z^d$.
113
-
Für $\gamma':=\gamma+\beta\leq\lambda$ gilt nun
112
+
Wenden wir Lemma~\ref{lem:olson} auf $\alpha_i:=\lambda_i-\gamma_i\geq0$ und $u^i$ für $i\in\firstNumbers{k}$ an, erhalten wir $\beta\in\bigtimes_{i=1}^k[0,\lambda_i-\gamma_i]$ mit $\beta\neq0$ und $\sum_{i=1}^k \beta_i u^i\in\Z^d$.
Wir definieren nun unseren Kandidaten $$y^*:=\tilde{y}-\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i=x^*+\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)v^i$$
154
154
sowie $$\tilde{x}:=x^*+\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i=\tilde{y}-\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)v^i.$$
155
-
Wir zeigen zunächst, dass $y^*$ für ($J$-\MIPR) und $\tilde{x}$ für ($I$-\MIPR) zulässig sind.
156
-
Dabei sind für $j\inJ$ bzw. $i\inI$ die Koordinaten $y^*_j$ bzw. $\tilde{x}_i\in\Z$, da $\tilde{y}_j$bzw. $x^*_i\in\Z$ und $i,j\in\firstNumbers{d}$sowie $\sum_{l=1}^k\gamma_lv^l\in\Z^d\times\R^{n-d}$.
157
-
$Ay^*\leq b$ und $A\tilde{x}\leq b$ folgen nun mit $v^i\in C$ für $i\in\firstNumbers{k}$ und
155
+
Zunächst zeigen wir, dass $y^*$ für ($J$-\MIPR) und $\tilde{x}$ für ($I$-\MIPR) zulässig sind.
156
+
Dabei sind für $i\inI$ und $j\inJ$ die Koordinaten $\tilde{x}_i$ und $y^*_j$ganzzahlig, weil bereits $x^*_i$ und $\tilde{y}_j$ für $i,j\in\firstNumbers{d}$ganzzahlig sind und $\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i\in\Z^d\times\R^{n-d}$ gilt.
157
+
Die Ungleichungen $Ay^*\leq b$ und $A\tilde{x}\leq b$ folgen nun mit $v^i\in C$ für alle$i\in\firstNumbers{k}$ und
Da $x^*$ optimal für ($I$-\MIPR), gilt $c\transpose x^*\geq c\transpose\tilde{x} = c\transpose x^* + c\transpose (\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i)$ und $c\transpose(\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i)\leq0$.
168
-
Damit erhalten wir mit der Optimalität von $\tilde{y}$ für ($J$-\MIPR) und
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