CHAPTER 7 40년 후의 양자 컴퓨팅
존 프레스킬
리처드 P. 파인만 이론물리학 석좌교수 캘리포니아 공과대학교
7.1 파인만과 양자 계산
7.1.1 파인만의 1981년 강연
1981년 5월, 파인만은 한 학회에서 ‘컴퓨터로 물리학을 시뮬레이션하는 방법’이 라는 주제로 강연을 했다.
이 강연에서 그는 기존의 고전적인 디지털 컴퓨터로는 시뮬레이션하기 어려운 양자계를 양자 컴퓨터로 시뮬레이션하자는 아이디어를 제안했다.
이후 간결하게 편집된 강의록 형태로 출판된 파인만의 강연은 양자 컴퓨팅이라는 새로운 학문 분야를 만들어내는 데 중요한 역할을 한 것으로 평가 받는다.
자연은 참 지랄맞게도 고전적이지 않아요.
자연을 시뮬레이션하려면 양자역 학적으로 만들어야 할 텐데, 별로 쉬워 보이지는 않기 때문에 이건 꽤나 근사한 문제라고 봅니다.
당시 63세에 가까웠던 파인만은 근본적으로 새로운 유형의 컴퓨팅 머신을 요구 했고, ‘자연의 시뮬레이션’이라는 자연스러운 응용을 예견했다.
이러한 비전을 실현하는 것은 참으로 ‘근사한 문제’이며, 40년이 지난 지금도 여전히 ‘쉽지 않아 보인다.’
7.1.2 마닌과 베니오프
저명한 수학자 유리 마닌Yuri Manin을 비롯한 몇몇 학자들도 계산의 양자역학적인 모형을 고민하고 있었다.
마닌은 1980년 저서 『계산할 수 있는 것과 계산할 수 없는 것』에서 파인만과 마찬가지로 여러 개의 입자를 다루는 입자 시스템을 시뮬레이션할 때는 고전적인 컴퓨터로 기하급수적인 비용이 든다는 점을 강조했다.
1980년에 폴 베니오프Paul Benioff는 근본적으로 양자역학적인 관점에서 계산을 어떤 식으로 기술할지에 대해 설명했다.
마닌이나 파인만과 달리 베니오프는 양자 복잡성에는 관심이 없었다.
오히려 그는 양자 컴퓨터가 손실 없이 작동할 수 있는지에 주로 집중했다. 파인만도 이 문제에 깊은 관심을 가졌고, 1984년 CLEO/IQEC 학회에서 했던 강연 ‘양자역학 컴퓨터’ 에서 이 문제를 자세히 다루었다.
7.1.3 파인만에서 쇼어, 그리고 그 너머
쇼어의 발견과 그것이 암호 해독 영역에 끼친 시사점으로 인해 양자 컴퓨팅에 대한 관심이 폭증했다.
하지만 롤프 란다우, 빌 언루Bill Unruh, 세르주 아로슈Serge
Haroche같은 저명한 물리학자들은 양자 컴퓨터가 과연 효과적으로 작동할 수 있을지에 대해 매우 회의적인 의견을 표명했다.
이들은 일반적인 조건에서 결어긋남decoherence의 약화 효과 때문에 복잡한 다입자 양자계가 양자 동작을 하지 못한 다는 점을 잘 알고 있었고, 양자 컴퓨팅을 ‘컴퓨터 과학자에게는 꿈, 실험물리학자에게는 악몽’으로 보았다.
놀랍게도 양자 오류 정정 코드와 잡음이 많은 하드웨어에서도 양자 계산을 안정적으로 실행하는 결함 허용 방법을 발견해 중추적인 발전을 이끈 것도 쇼어였다.
7.1.4 미래에 대한 상상
1980년대 초 컴퓨터 과학자들에게 양자 물리학은 궁극적으로 전기 회로의 소형화를 가로막는 장애물로 여겨졌지만, 파인만에게 양자 물리학은 눈부신 기회였다.
계산에 관한 강의에서도 알 수 있듯이, 그는 물리적으로 실현 가능한 범용 컴퓨터는 다른 모든 컴퓨터를 (‘효율적으로’의 기준을 느슨하게 잡을 때) 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다고 주장하는 ‘확장된 처치-튜링 논제’도 충분히 이해하고 있었다.
1981년 강연의 가장 중요하고 놀라운 통찰은, 우리가 알고 있는 이야기를 다시 써야 한다는 것이다.
7.2 우리가 가는 곳, 우리가 있는 곳
7.2.1 양자 컴퓨터는 어떻게 사용될까?
파인만이 제안한 양자 컴퓨터로 양자계를 시뮬레이션하는 일은 여전히 세상에 널리 영향을 미칠 것으로 보이는 응용 분야이다.
양자 컴퓨터에도 한계가 있다는 점을 분명히 하는 것도 중요하다.
특히, 양자 컴퓨터가 NP-하드 최적화 문제의 정확한 해를 효율적으로 찾을 수 있을 것이라고는 기대하지 않는다.
양자 컴퓨터를 사용하여 어떤 해를 무작정 탐색하는 과정을 가속하는 일반적인 방법(그로버의 알고리즘)이 있지만, 이 경우에도 속도 향상은 이차적 수준이다.
7.2.2 NISQ 시대의 개막
이는 잡음이 있는 중간 규모의 양자Noisy Intermediate-Scale Quantum를 줄인 말이다.
‘중간 규모’란 오늘날 50개 이상의 잘 제어된 큐비트를 갖춘 양자 장치는 현존하는 가장 강력한 고전적인 슈퍼컴퓨터로도 무차별 대입 시뮬레이션이 불가능하다는 것을 의미하며, ‘잡음이 있다’는 것은 이러한 장치가 오류 정정 기능이 없고 잡음으로 인해 계산 능력이 제한된다는 것을 뜻한다.
물리학자들에게 NISQ 기술은 이전에는 실험적으로 접근할 수 없었던 영역에서 매우 복잡한 다입자 양자계의 특성을 탐구할 수 있는 새로운 도구를 제공한다는 점에서 매우 흥미롭다.
7.2.3 NISQ 시대의 양자 시뮬레이션
아날로그 양자 시뮬레이터는 우리가 연구하고 이해하려는 모형계의 동역학과 유사한 동역학을 가지는 여러 큐비트로 구성된 시스템을 뜻한다.
반면 디지털 양자 시뮬레이터는 게이트 기반의 범용 양자 컴퓨터로 적절히 프로그래밍함으로써 관심 있는 모든 물리계를 시뮬레이션할 수 있으며, 다른 용도로도 사용할 수 있다.
단기적인 디지털 시뮬레이터 활용 경험이 향후더 원대한 시뮬레이션을 수행할 수 있는 토대를 마련한다는 점을 염두에 두어야 한다.
NISQ 기술을 보다 광범위하게 적용하는 데에도 마찬가지다.
7.2.4 NISQ에서 FTQC로
NISQ 시대의 장치는 양자 오류 정정으로 보호되지 않으며, 잡음으로 인해 NISQ 기술을 사용하여 정확하게 실행할 수 있는 계산 규모가 심각 하게 제한된다.
장기적으로는 양자 오류 정정Quantum Error Correction(QEC)과 결함허용 양자 컴퓨팅Fault-Tolerant Quantum Computing(FTQC)을 사용하여 잡음으로 인한 이러한 한계를 극복할 수 있을 것으로 기대하지만, QEC는 필요한 큐비트 수와 논리 게이트 수 측면에서 높은 오버헤드 비용을 수반한다.
7.3 양자 정보
7.3.1 양자역학 대 고전역학
전형적인 거시적 시스템은 주변 환경과 잘 분리되어 있지 않으며, 환경과의 상호작용을 통해 계를 지속적으로 ‘측정’하게 된다.
이를 결어긋남decoherence 이라고 부른다.
주변 환경에 의해 지속적으로 관찰되는 양자 계는 고전 물리학으로도 잘 설명된다.
그러나 주변 환경으로부터 충분히 잘 격리된 양자계(일반적으로 미시계)가 전달하는 정보는 고전적 정보와는 다른 내재적인 intrinsic 특징을 지닌다.
무작위성
일상생활에서 흔히 접하는 무지에서 비롯되는 무작위성과 구별하기 위해 여기서는 내재적인 무작위성이라고 부른다.
동전을 던지면 앞면이나 뒷면이 나온다는 것은 알지만 보기 전까지는 어느 쪽인지알 수 없다.
그래서 동전을 보기 전에 나의 무지를 반영하여 가능한 두 결과에 확률을 할당한다.
불확정성
양자 이론에서 관측 가능한 것들, 즉 우리가 측정할 수 있는 것들에 반드시 교환 법칙이 성립하지 않음을 뜻한다.
즉, 관측 가능한 서로 다른 변수들이 우리가 실험을 대충 해서가 아니라 근본적인 이유로 인해 서로 간섭할 수 있다는 뜻이다.
얽힘
양자 얽힘이란 우리가 전체 계에 대한 모든 정보를 알고 있다고 해도 각 부분들에 대해 전부를 알 수는 없다는 원리다.
7.3.2 큐비트
비트에 대응되는 분할 불가능한 양자 정보 단위가 큐비트이다.
비트는 0 또는 1 중 하나의 값을 갖는 이진 상태 시스템이지만 큐비트는 수학적으로 복소 힐베르트 공간의 벡터로 기술할 수 있으며, 두 개의 서
로 직교하는 기저 상태를 각각 |0⟩과 |1⟩로 표기한다.
7.3.3 텐서 곱
두 개의 개별 양자계 A와 B가 있다고 하자.
그러면 복합계 AB는 수학적으로 어떻게 설명해야 할까?
A계의 기저 상태를 B계의 기저 상태와 결합하는 경우, 시스템 A계의 기저 상태가 상호 직교하면 복합 상태를 완벽하게 구분할 수 있다.
이와 같이 구성한 것을 두 힐베르트 공간의 텐서 곱tensor product
H A ⊗ H B 라고 한다.
7.4 양자 컴퓨터란 무엇일까?
7.4.1 양자 회로 모형
힐베르트 공간: 먼저 양자 계산이 이루어지는 영역, 즉 힐베르트 공간 H = C 2 n 을 지정하자.
힐베르트 공간은 매우 큰 벡터 공간일 뿐만 아니라 작은 하위계, 즉 n
개의 큐비트의 텐서 곱으로 자연스럽게 분해된다는 점이 중요하다.
초기 상태: 계산의 자연스러운 시작점인 초기 상태는 곱 상태이다.
‘곱 상태’라고 말할 때 우리는 이미 큐비트 단위로 쪼개는 바람직한(선호하는) 분해 방식을 염두에 두고 있다.
범용 양자 게이트: 이제 양자 상태 |0⟩ ⊗n 에서 시작하여 양자 상태를 구축하거나 계산을 수행하는 방법으로 시작한다.
양자 하드웨어는 신뢰성이 아주 높지 않기 때문에 더욱 견고하게 만들려면 양자 오류 수정 코드를 사용해야 한다.
그리고 일단 코드를 선택하고 나면 코드 구조와 호환되는 1큐비트 및 2큐비트 게이트의 유한한 집합만이 효율적이고 정확 하게 수행될 수 있다.
이 유한 집합에서 강건한 게이트만 게이트 집합에 포함시킬수 있으며, 보편성을 유지하려면 이러한 게이트를 선택해야 한다.
고전적인 제어: 우리는 해결하려는 문제와 입력의 크기를 지정하면 해당 회로를 설계하는 튜링 머신과 같은 추가 컴퓨터로 회로 모형을 보강해야 한다.
이때 이 추가 고전 컴퓨터의 실행 시간도 입력의 크기에 따라 다항식이어야 한다.
다항식 크기의 양자 회로는 고전적으로 간결하게 기술할 수 있기 때문에 동일한 개념을 사용해 양자 회로 모형을 보강할 수 있다.
최종 측정: 양자 컴퓨터를 사용하여 문제를 해결하더라도 손쉽게 받아적거나 친구들과 공유할 수 있는 고전적인 정보로 출력하는 쪽이 편하다.
고전적인 결과를 얻으려면 양자 계산이 끝날 때 측정을 수행해야 하며, 판독 절차에 뭔가 복잡한 게 숨어드는 것은 바람직하지 않다.
따라서 표준 기저를 기준으로 큐비트(또는 큐비트의 일부 부분집합)를 측정하여 각 큐비트에 대해 0 또는 1이라는 결과를 얻는 방식으로 최종 판독을 수행한다고 가정한다.
7.4.2 계산 가능성 및 효율성
요약하자면, 양자 모형의 구성 요소는 다음과 같다.
- 확장 가능한 큐비트 수
- 표준 초기 상태 준비
- 범용 양자 게이트 집합
- 균일한 양자 회로군을 설계하기 위한 고전 컴퓨터
- 표준 기저를 바탕으로 하는 판독
고전 컴퓨터는 양자 컴퓨터가 하는 모든 작업을 수행할 수 있으므로 계산 가능성에는 차이가 없으며, 양자 컴퓨터로 계산할 수 있는 것은 고전 컴퓨터로도 가능하다.
양자 모형과 기존 모형의 중요한 차이점은 효율성에 관한 것이다.
일반적으로 고전적인 컴퓨터가 양자 컴퓨터를 시뮬레이션하려면 큐비트 수에 따라 기하급수적인 차원을 가진 공간에서 벡터를 처리해야 한다.
가장 어려운 문제의 경우, 큐비트 수에 따라 기하급수적으로 증가하는 자원을 사용하지 않고는 고전 컴퓨터에서 이러한 시뮬레이션을 수행할 수 있는 방법은 알려지 있지 않다.
7.4.3 양자 하드웨어
양자 하드웨어가 갖추어야 할 기준을 다시 살펴보자.
- 제어 가능한 큐비트를 갖춘 확장 가능한 시스템
- 충분히 정확한 |0⟩ 상태의 큐비트
- 게이트 실행 시간에 비해 충분히 긴 큐비트 결맞음 시간
- 충분히 정확한 범용 양자 게이트 집합
- 표준 기저에서의 충분히 정확한 큐비트 측정
이온 트랩에서는 단일 큐비트 양자 게이트 또한 간단하고 꽤 정확하게 구현할 수 있다.
레이저 펄스를 사용해 정해진 시간 동안 큐비트의 두 기저 상태 사이에 결맞는 결합을 유도할 수 있는데, 이렇게 하면 원하는 유니터리 연산을 큐비트에 적용할 수 있다.
이온 트랩의 경우에도 대부분의 다른 양자 플랫폼과 마찬가지로 두 원자가 서로 강하게 상호작용해야 하는 2큐비트 게이트 얽힘을 수행하는 것이 가장 어렵다.
단일 큐비트 게이트를 실행하는 방식은 개념적으로 이온 트랩에서 사용되는 방식과 유사하지만, 큐비트가 레이저가 아닌 마이크로파 펄스에 의해 구동된다는 점이 다르다.
불필요하게 더 높은 에너지 준위로 전환하는 일이 없도록 펄스 형태를 잘 만들면 수십 나노초 안에 1%보다 훨씬 낮은 단일 큐비트 게이트 오류율을 달성할 수 있다.
이온 트랩과 초전도 회로는 현재 큐비트 기술을 선도하는 두 가지 기술로, 각각 특유의 장단점이 있다.
원자는 서로 거의 비슷하며 결맞음 시간이 매우 길다.
또한 2큐비트 게이트를 트랩의 모든 이온 쌍에 작동시킬 수 있으며, 게이트의 정확도는 이온들 간의 공간적 거리와 거의 무관하다.
반면, 초전도 큐비트의 결맞음 시간은 제작 방식의 불완전성으로 인해 제한적이며, 큐비트마다 특성이 다르고 시간이 지나면서 달라질 수도 있다.
7.5 양자 동역학 시뮬레이션
중요한 응용 분야는 시간에 따른 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것, 즉 몇 가지 다체 해밀토니언을 따르는 n-양자계가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 알아내는 것이다.
양자 컴퓨터로 시간에 따른 변화를 시뮬레이션하면 해밀토니언 H가 국소적인 경우 n에 대한 다항식에 따라 증가한다.
여기서는 최첨단 양자 알고리즘을 직접 설명하기보다는 이러한 지수함수적 양자 속도 향상이 가능한 이유를 설명한다.
...
일단은 물리적인 계의 크기가 커짐에 따라 최선의 범용 고전 알고리즘은 지수함수적으로 스케일링되는 반면, 양자 컴퓨팅 실행 시간은 다항함수적으로 스케일링된다는 핵심만 짚고 넘어가는 정도로 이해하자.
7.6 에너지 고윳값 및 고유상태
시간에 따른 변화를 기술하는 연산자 U (t) = exp(−iHt)
에 대한 효율적인 양자 회로를 구축한 후에 행렬의 고윳값을 추정하기 위한 일반 적인 절차를 적용하면 된다.
위상 추정phase estimation이라 하는 이 일반적인 절차는 양자 컴퓨터에서 푸리에 변환을 평가하는 데 매우 효율적인 절차를 활용한다.
위상 추정은 쇼어의 인수분해 알고리즘을 비롯한 다양한 양자 알고리즘에서 사용 되는 필수적인 기본 요소이다.
7.6.1 양자 푸리에 변환
양자 컴퓨터에서는 푸리에 변환을 구현하기가 매우 쉬운데, 이는 N이 지수함수적으로 큰 경우에도 다르지 않다.
반면 고전적인 ‘고속 푸리에 변환’ 알고리즘은 O(N log N )의 실행 시간을 요구한다.
7.6.2 위상 추정
위상 추정은 QFT를 서브루틴으로 사용하여 단일 연산자 U의 고윳값을 추정하는 양자 알고리즘이다.
...
고유상태의 준비와 해당 고유상태에 대한 추가 측정은 모두 비결정론적이기 때문에 통계적으로 유용한 정보를 얻기 위해 전체 절차를 여러 번 반복해야 할 수도 있다.
또한 특정 고유상태를 찾을 확률은 위상 추정이 적용되는 데이터 레지스터의 초기 상태에 따라 달라진다.
7.6.3 해밀토니안 고유상태
해밀토니안 H를 따르는 양자적인 변화를 시뮬레이션할 수 있다면 위상 추정 알고리즘을 사용하여 고윳값을 찾고 H의 고유상태를 준비할 수 있다.
여기에서는 지수함수적인 양자 이점이 있다는 것을 최대한 단순하게 설명한다.
7.6.4 초기 상태 준비
경우에 따라 바닥 상태와 상당 부분 중첩되는 초기 상태를 준비하는 것이 어려울 수 있다는 점이다.
복잡도 이론상으로 비교적 약한 가정을 바탕으로 얘기할 때 1차원 버전의 바닥 상태 에너지 문제 중에도 난해한 문제는 있다는 뜻이다.
일반적인 문제는 양자 난해 수준이지만, 국소 양자계 중에는 기저 상태 에너지를 계산하는 것이 고전적으로는 난해해도 양자적으로는 쉬운 것도 있다고 추측할 수 있다.
7.7 양자 오류 정정
신뢰할 수 있는 양자 하드웨어를 구축하는 것이 어려운 이유는 양자계를 정확하게 제어하기 어렵기 때문이다.
양자 게이트에서 발생하는 작은 오류는 대규모 회로 속에서 누적되어 결국 계산을 망치는 큰 오류로 이어질 수 있다.
양자 컴퓨터에서는 이러한 결어긋남이 양자 프로세스에서 처리해야할 섬세한 중첩 상태에 돌이킬 수 없는 손상을 입힐 수 있다.
양자 오류 정정 코드를 이용하면 양자 정보를 노이즈로부터 더 잘 보호할 수 있는 데, 이때 ‘논리’ 정보는 여러 물리적인 큐비트 블록에 중복적으로 인코딩된다.
고전적인 코드에서는 비트가 뒤집히는 것만 방지하면 되지만 양자 코드는 비트가 뒤집히는 것은 물론 위상 오류까지 모두 방지해야 하기 때문이다.
7.7.1 양자 오류 정정의 조건
코드 블록 중 작은 부분계를 조사했을 때 논리 큐비트의 모든 상태는 똑같아 보이게 된다.
상태를 제대로 보호하려면 논리 상태를 고도로 얽히게 만들어서 어떤 논리 정보도 국소적으로 접근할 수 없도록 만들어야 한다.
7.7.2 보호된 양자 메모리와 위상론적 질서
고전 오류 정정과 양자 오류 정정의 차이를 보다 물리적인 용어로 표현하면
보호된protected 고전적 메모리의 예로 강자 성체를 들 수 있는데, 대부분의 스핀이 위를 향하는지 아래를 향하는지에 따라 한비트를 저장할 수 있다.
보호된 양자 메모리의 전형적인 예는 위상론적 질서topological order를 가지는 2차원 매체이다.
강자성체와는 달리 이 매체에서의 오류는 구역벽이 아니라 점 같은 들뜸(애니온anyon)을 만든다.
애니온에는 두 가지 종류가 있으며 각각 e 애니온(전기적 electric)과 m 애니온(자기적magnetic)으로 부른다.
‘Z 2 위상론적 질서’라고 부르는 이유는 e 애니온이 m 애니온 주위를 돌거나 m 애니온이 e 애니온 주위를 돌면 다체 파동 함수가 -1의 ‘위상론적 위상topological phase’을 획득하기 때문이다.
7.7.3 표면 코드 정확도 임곗값
안정적인 양자 메모리를 생성하기 위해 반드시 위상론적으로 정렬된 물질을 합성할 필요는 없다.
대신 일반적인 양자 컴퓨팅 하드웨어를 사용해 물질을 시뮬레이션할 수 있다.
키타예프는 Z 2 위상론적 질서를 보이는 간단한(각각의 격자 사이트에 큐비트가 위치한) 이차원 격자 모형(표면 코드)을 구축했다.
비록 이 방식은 약 25년 전에 처음 제안되었지만 표면 코드는 여전히 확장성 있는 결함 허용 양자 컴퓨팅을 위한 유망한 방법으로 꼽힌다.
여기에는 두 가지 주요 이점이 있다.
첫째, 오류를 진단하고 수정하는 데 필요한 양자 처리가 매우 간단하다.
둘째, 첫째 이점과 무관하지 않은데, 비교적 높은 게이트 오류율을 견딜 수 있다는 점이다.
7.7.4 확장 가능한 양자 컴퓨팅
지금까지는 보호된 큐비트 한 개에 대한 저장 오류의 확률만을 고려했지만 확장 가능한 결함 허용 양자 컴퓨팅에서는 보호된 큐비트가 여러 개 필요하며, 이러한 큐비트에 작용하는 고도로 신뢰할 수 있는 범용 양자 게이트를 동작시켜야 한다.
대규모 결함 허용 양자 컴퓨팅을 실용화하기 위해서는 여러 가지 심각한 시스템 엔지니어링 문제를 포함한 많은 난제를 해결해야 한다.
결함 허용 방식이 확장 가능하려면 무엇이 필요한지, 노이즈 모형은 어떤 조건을 충족해야 하는지 등 원칙 적인 문제도 고려해야만 한다.
한 가지 필수 요건은 노이즈로 인해 발생하는 엔트로피를 빼내기 위한 일종의 냉각 과정이다.
7.8 전망
파인만은 1981년 강연을 마무리하며 ‘이건 멋진 문제입니다. 왜냐하면 그리 쉽지 않아 보이기 때문이지요.’라고 말했는데, 정말 맞는 말이었다.
양자 컴퓨팅 시스템을 구축하려는 사람들은 어려운 공학적 도전에 직면해 있지만, 거기에는 그 이상의 의미가 담겨 있다.
물리적 게이트 오류율(현재 2-큐비트 게이트 얽힘의 경우 약 1%)을 몇 배로 개선할 수 있다면 실용적인 양자 컴퓨팅 응용 분야에 대한 전망이 크게 달라질 것이다.
지금까지의 진보는 큐비트 설계, 제어 기술, 제조 방법 및 재료의 발전에 힘입어 이루어졌으며, 앞으로도 점진적인 개선은 분명 기대할 수 있다.
그러나 양자 하드웨어는 아직 초기 단계에 있으며, 진정한 전환점은 양자 정보를 강력하게 인코딩하고 조작하는 방법에 대한 새로운 아이디어에서 비롯될 수 있다.
양자 커뮤니티는 양자 하드웨어 구축과 운영에 대한 새로운 접근 방식에 대해 폭넓고 창의적인 사고를 계속해야 한다.
CHAPTER 7 40년 후의 양자 컴퓨팅
존 프레스킬
리처드 P. 파인만 이론물리학 석좌교수 캘리포니아 공과대학교
7.1 파인만과 양자 계산
7.1.1 파인만의 1981년 강연
1981년 5월, 파인만은 한 학회에서 ‘컴퓨터로 물리학을 시뮬레이션하는 방법’이 라는 주제로 강연을 했다.
이 강연에서 그는 기존의 고전적인 디지털 컴퓨터로는 시뮬레이션하기 어려운 양자계를 양자 컴퓨터로 시뮬레이션하자는 아이디어를 제안했다.
이후 간결하게 편집된 강의록 형태로 출판된 파인만의 강연은 양자 컴퓨팅이라는 새로운 학문 분야를 만들어내는 데 중요한 역할을 한 것으로 평가 받는다.
당시 63세에 가까웠던 파인만은 근본적으로 새로운 유형의 컴퓨팅 머신을 요구 했고, ‘자연의 시뮬레이션’이라는 자연스러운 응용을 예견했다.
이러한 비전을 실현하는 것은 참으로 ‘근사한 문제’이며, 40년이 지난 지금도 여전히 ‘쉽지 않아 보인다.’
7.1.2 마닌과 베니오프
저명한 수학자 유리 마닌Yuri Manin을 비롯한 몇몇 학자들도 계산의 양자역학적인 모형을 고민하고 있었다.
마닌은 1980년 저서 『계산할 수 있는 것과 계산할 수 없는 것』에서 파인만과 마찬가지로 여러 개의 입자를 다루는 입자 시스템을 시뮬레이션할 때는 고전적인 컴퓨터로 기하급수적인 비용이 든다는 점을 강조했다.
1980년에 폴 베니오프Paul Benioff는 근본적으로 양자역학적인 관점에서 계산을 어떤 식으로 기술할지에 대해 설명했다.
마닌이나 파인만과 달리 베니오프는 양자 복잡성에는 관심이 없었다.
오히려 그는 양자 컴퓨터가 손실 없이 작동할 수 있는지에 주로 집중했다. 파인만도 이 문제에 깊은 관심을 가졌고, 1984년 CLEO/IQEC 학회에서 했던 강연 ‘양자역학 컴퓨터’ 에서 이 문제를 자세히 다루었다.
7.1.3 파인만에서 쇼어, 그리고 그 너머
쇼어의 발견과 그것이 암호 해독 영역에 끼친 시사점으로 인해 양자 컴퓨팅에 대한 관심이 폭증했다.
하지만 롤프 란다우, 빌 언루Bill Unruh, 세르주 아로슈Serge
Haroche같은 저명한 물리학자들은 양자 컴퓨터가 과연 효과적으로 작동할 수 있을지에 대해 매우 회의적인 의견을 표명했다.
이들은 일반적인 조건에서 결어긋남decoherence의 약화 효과 때문에 복잡한 다입자 양자계가 양자 동작을 하지 못한 다는 점을 잘 알고 있었고, 양자 컴퓨팅을 ‘컴퓨터 과학자에게는 꿈, 실험물리학자에게는 악몽’으로 보았다.
놀랍게도 양자 오류 정정 코드와 잡음이 많은 하드웨어에서도 양자 계산을 안정적으로 실행하는 결함 허용 방법을 발견해 중추적인 발전을 이끈 것도 쇼어였다.
7.1.4 미래에 대한 상상
1980년대 초 컴퓨터 과학자들에게 양자 물리학은 궁극적으로 전기 회로의 소형화를 가로막는 장애물로 여겨졌지만, 파인만에게 양자 물리학은 눈부신 기회였다.
계산에 관한 강의에서도 알 수 있듯이, 그는 물리적으로 실현 가능한 범용 컴퓨터는 다른 모든 컴퓨터를 (‘효율적으로’의 기준을 느슨하게 잡을 때) 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다고 주장하는 ‘확장된 처치-튜링 논제’도 충분히 이해하고 있었다.
1981년 강연의 가장 중요하고 놀라운 통찰은, 우리가 알고 있는 이야기를 다시 써야 한다는 것이다.
7.2 우리가 가는 곳, 우리가 있는 곳
7.2.1 양자 컴퓨터는 어떻게 사용될까?
파인만이 제안한 양자 컴퓨터로 양자계를 시뮬레이션하는 일은 여전히 세상에 널리 영향을 미칠 것으로 보이는 응용 분야이다.
양자 컴퓨터에도 한계가 있다는 점을 분명히 하는 것도 중요하다.
특히, 양자 컴퓨터가 NP-하드 최적화 문제의 정확한 해를 효율적으로 찾을 수 있을 것이라고는 기대하지 않는다.
양자 컴퓨터를 사용하여 어떤 해를 무작정 탐색하는 과정을 가속하는 일반적인 방법(그로버의 알고리즘)이 있지만, 이 경우에도 속도 향상은 이차적 수준이다.
7.2.2 NISQ 시대의 개막
이는 잡음이 있는 중간 규모의 양자Noisy Intermediate-Scale Quantum를 줄인 말이다.
‘중간 규모’란 오늘날 50개 이상의 잘 제어된 큐비트를 갖춘 양자 장치는 현존하는 가장 강력한 고전적인 슈퍼컴퓨터로도 무차별 대입 시뮬레이션이 불가능하다는 것을 의미하며, ‘잡음이 있다’는 것은 이러한 장치가 오류 정정 기능이 없고 잡음으로 인해 계산 능력이 제한된다는 것을 뜻한다.
물리학자들에게 NISQ 기술은 이전에는 실험적으로 접근할 수 없었던 영역에서 매우 복잡한 다입자 양자계의 특성을 탐구할 수 있는 새로운 도구를 제공한다는 점에서 매우 흥미롭다.
7.2.3 NISQ 시대의 양자 시뮬레이션
아날로그 양자 시뮬레이터는 우리가 연구하고 이해하려는 모형계의 동역학과 유사한 동역학을 가지는 여러 큐비트로 구성된 시스템을 뜻한다.
반면 디지털 양자 시뮬레이터는 게이트 기반의 범용 양자 컴퓨터로 적절히 프로그래밍함으로써 관심 있는 모든 물리계를 시뮬레이션할 수 있으며, 다른 용도로도 사용할 수 있다.
단기적인 디지털 시뮬레이터 활용 경험이 향후더 원대한 시뮬레이션을 수행할 수 있는 토대를 마련한다는 점을 염두에 두어야 한다.
NISQ 기술을 보다 광범위하게 적용하는 데에도 마찬가지다.
7.2.4 NISQ에서 FTQC로
NISQ 시대의 장치는 양자 오류 정정으로 보호되지 않으며, 잡음으로 인해 NISQ 기술을 사용하여 정확하게 실행할 수 있는 계산 규모가 심각 하게 제한된다.
장기적으로는 양자 오류 정정Quantum Error Correction(QEC)과 결함허용 양자 컴퓨팅Fault-Tolerant Quantum Computing(FTQC)을 사용하여 잡음으로 인한 이러한 한계를 극복할 수 있을 것으로 기대하지만, QEC는 필요한 큐비트 수와 논리 게이트 수 측면에서 높은 오버헤드 비용을 수반한다.
7.3 양자 정보
7.3.1 양자역학 대 고전역학
전형적인 거시적 시스템은 주변 환경과 잘 분리되어 있지 않으며, 환경과의 상호작용을 통해 계를 지속적으로 ‘측정’하게 된다.
이를 결어긋남decoherence 이라고 부른다.
주변 환경에 의해 지속적으로 관찰되는 양자 계는 고전 물리학으로도 잘 설명된다.
그러나 주변 환경으로부터 충분히 잘 격리된 양자계(일반적으로 미시계)가 전달하는 정보는 고전적 정보와는 다른 내재적인 intrinsic 특징을 지닌다.
무작위성
일상생활에서 흔히 접하는 무지에서 비롯되는 무작위성과 구별하기 위해 여기서는 내재적인 무작위성이라고 부른다.
동전을 던지면 앞면이나 뒷면이 나온다는 것은 알지만 보기 전까지는 어느 쪽인지알 수 없다.
그래서 동전을 보기 전에 나의 무지를 반영하여 가능한 두 결과에 확률을 할당한다.
불확정성
양자 이론에서 관측 가능한 것들, 즉 우리가 측정할 수 있는 것들에 반드시 교환 법칙이 성립하지 않음을 뜻한다.
즉, 관측 가능한 서로 다른 변수들이 우리가 실험을 대충 해서가 아니라 근본적인 이유로 인해 서로 간섭할 수 있다는 뜻이다.
얽힘
양자 얽힘이란 우리가 전체 계에 대한 모든 정보를 알고 있다고 해도 각 부분들에 대해 전부를 알 수는 없다는 원리다.
7.3.2 큐비트
비트에 대응되는 분할 불가능한 양자 정보 단위가 큐비트이다.
비트는 0 또는 1 중 하나의 값을 갖는 이진 상태 시스템이지만 큐비트는 수학적으로 복소 힐베르트 공간의 벡터로 기술할 수 있으며, 두 개의 서
로 직교하는 기저 상태를 각각 |0⟩과 |1⟩로 표기한다.
7.3.3 텐서 곱
두 개의 개별 양자계 A와 B가 있다고 하자.
그러면 복합계 AB는 수학적으로 어떻게 설명해야 할까?
A계의 기저 상태를 B계의 기저 상태와 결합하는 경우, 시스템 A계의 기저 상태가 상호 직교하면 복합 상태를 완벽하게 구분할 수 있다.
이와 같이 구성한 것을 두 힐베르트 공간의 텐서 곱tensor product
H A ⊗ H B 라고 한다.
7.4 양자 컴퓨터란 무엇일까?
7.4.1 양자 회로 모형
힐베르트 공간: 먼저 양자 계산이 이루어지는 영역, 즉 힐베르트 공간 H = C 2 n 을 지정하자.
힐베르트 공간은 매우 큰 벡터 공간일 뿐만 아니라 작은 하위계, 즉 n
개의 큐비트의 텐서 곱으로 자연스럽게 분해된다는 점이 중요하다.
초기 상태: 계산의 자연스러운 시작점인 초기 상태는 곱 상태이다.
‘곱 상태’라고 말할 때 우리는 이미 큐비트 단위로 쪼개는 바람직한(선호하는) 분해 방식을 염두에 두고 있다.
범용 양자 게이트: 이제 양자 상태 |0⟩ ⊗n 에서 시작하여 양자 상태를 구축하거나 계산을 수행하는 방법으로 시작한다.
양자 하드웨어는 신뢰성이 아주 높지 않기 때문에 더욱 견고하게 만들려면 양자 오류 수정 코드를 사용해야 한다.
그리고 일단 코드를 선택하고 나면 코드 구조와 호환되는 1큐비트 및 2큐비트 게이트의 유한한 집합만이 효율적이고 정확 하게 수행될 수 있다.
이 유한 집합에서 강건한 게이트만 게이트 집합에 포함시킬수 있으며, 보편성을 유지하려면 이러한 게이트를 선택해야 한다.
고전적인 제어: 우리는 해결하려는 문제와 입력의 크기를 지정하면 해당 회로를 설계하는 튜링 머신과 같은 추가 컴퓨터로 회로 모형을 보강해야 한다.
이때 이 추가 고전 컴퓨터의 실행 시간도 입력의 크기에 따라 다항식이어야 한다.
다항식 크기의 양자 회로는 고전적으로 간결하게 기술할 수 있기 때문에 동일한 개념을 사용해 양자 회로 모형을 보강할 수 있다.
최종 측정: 양자 컴퓨터를 사용하여 문제를 해결하더라도 손쉽게 받아적거나 친구들과 공유할 수 있는 고전적인 정보로 출력하는 쪽이 편하다.
고전적인 결과를 얻으려면 양자 계산이 끝날 때 측정을 수행해야 하며, 판독 절차에 뭔가 복잡한 게 숨어드는 것은 바람직하지 않다.
따라서 표준 기저를 기준으로 큐비트(또는 큐비트의 일부 부분집합)를 측정하여 각 큐비트에 대해 0 또는 1이라는 결과를 얻는 방식으로 최종 판독을 수행한다고 가정한다.
7.4.2 계산 가능성 및 효율성
요약하자면, 양자 모형의 구성 요소는 다음과 같다.
고전 컴퓨터는 양자 컴퓨터가 하는 모든 작업을 수행할 수 있으므로 계산 가능성에는 차이가 없으며, 양자 컴퓨터로 계산할 수 있는 것은 고전 컴퓨터로도 가능하다.
양자 모형과 기존 모형의 중요한 차이점은 효율성에 관한 것이다.
일반적으로 고전적인 컴퓨터가 양자 컴퓨터를 시뮬레이션하려면 큐비트 수에 따라 기하급수적인 차원을 가진 공간에서 벡터를 처리해야 한다.
가장 어려운 문제의 경우, 큐비트 수에 따라 기하급수적으로 증가하는 자원을 사용하지 않고는 고전 컴퓨터에서 이러한 시뮬레이션을 수행할 수 있는 방법은 알려지 있지 않다.
7.4.3 양자 하드웨어
양자 하드웨어가 갖추어야 할 기준을 다시 살펴보자.
이온 트랩에서는 단일 큐비트 양자 게이트 또한 간단하고 꽤 정확하게 구현할 수 있다.
레이저 펄스를 사용해 정해진 시간 동안 큐비트의 두 기저 상태 사이에 결맞는 결합을 유도할 수 있는데, 이렇게 하면 원하는 유니터리 연산을 큐비트에 적용할 수 있다.
이온 트랩의 경우에도 대부분의 다른 양자 플랫폼과 마찬가지로 두 원자가 서로 강하게 상호작용해야 하는 2큐비트 게이트 얽힘을 수행하는 것이 가장 어렵다.
단일 큐비트 게이트를 실행하는 방식은 개념적으로 이온 트랩에서 사용되는 방식과 유사하지만, 큐비트가 레이저가 아닌 마이크로파 펄스에 의해 구동된다는 점이 다르다.
불필요하게 더 높은 에너지 준위로 전환하는 일이 없도록 펄스 형태를 잘 만들면 수십 나노초 안에 1%보다 훨씬 낮은 단일 큐비트 게이트 오류율을 달성할 수 있다.
이온 트랩과 초전도 회로는 현재 큐비트 기술을 선도하는 두 가지 기술로, 각각 특유의 장단점이 있다.
원자는 서로 거의 비슷하며 결맞음 시간이 매우 길다.
또한 2큐비트 게이트를 트랩의 모든 이온 쌍에 작동시킬 수 있으며, 게이트의 정확도는 이온들 간의 공간적 거리와 거의 무관하다.
반면, 초전도 큐비트의 결맞음 시간은 제작 방식의 불완전성으로 인해 제한적이며, 큐비트마다 특성이 다르고 시간이 지나면서 달라질 수도 있다.
7.5 양자 동역학 시뮬레이션
중요한 응용 분야는 시간에 따른 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것, 즉 몇 가지 다체 해밀토니언을 따르는 n-양자계가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 알아내는 것이다.
양자 컴퓨터로 시간에 따른 변화를 시뮬레이션하면 해밀토니언 H가 국소적인 경우 n에 대한 다항식에 따라 증가한다.
여기서는 최첨단 양자 알고리즘을 직접 설명하기보다는 이러한 지수함수적 양자 속도 향상이 가능한 이유를 설명한다.
...
일단은 물리적인 계의 크기가 커짐에 따라 최선의 범용 고전 알고리즘은 지수함수적으로 스케일링되는 반면, 양자 컴퓨팅 실행 시간은 다항함수적으로 스케일링된다는 핵심만 짚고 넘어가는 정도로 이해하자.
7.6 에너지 고윳값 및 고유상태
시간에 따른 변화를 기술하는 연산자 U (t) = exp(−iHt)
에 대한 효율적인 양자 회로를 구축한 후에 행렬의 고윳값을 추정하기 위한 일반 적인 절차를 적용하면 된다.
위상 추정phase estimation이라 하는 이 일반적인 절차는 양자 컴퓨터에서 푸리에 변환을 평가하는 데 매우 효율적인 절차를 활용한다.
위상 추정은 쇼어의 인수분해 알고리즘을 비롯한 다양한 양자 알고리즘에서 사용 되는 필수적인 기본 요소이다.
7.6.1 양자 푸리에 변환
양자 컴퓨터에서는 푸리에 변환을 구현하기가 매우 쉬운데, 이는 N이 지수함수적으로 큰 경우에도 다르지 않다.
반면 고전적인 ‘고속 푸리에 변환’ 알고리즘은 O(N log N )의 실행 시간을 요구한다.
7.6.2 위상 추정
위상 추정은 QFT를 서브루틴으로 사용하여 단일 연산자 U의 고윳값을 추정하는 양자 알고리즘이다.
...
고유상태의 준비와 해당 고유상태에 대한 추가 측정은 모두 비결정론적이기 때문에 통계적으로 유용한 정보를 얻기 위해 전체 절차를 여러 번 반복해야 할 수도 있다.
또한 특정 고유상태를 찾을 확률은 위상 추정이 적용되는 데이터 레지스터의 초기 상태에 따라 달라진다.
7.6.3 해밀토니안 고유상태
해밀토니안 H를 따르는 양자적인 변화를 시뮬레이션할 수 있다면 위상 추정 알고리즘을 사용하여 고윳값을 찾고 H의 고유상태를 준비할 수 있다.
여기에서는 지수함수적인 양자 이점이 있다는 것을 최대한 단순하게 설명한다.
7.6.4 초기 상태 준비
경우에 따라 바닥 상태와 상당 부분 중첩되는 초기 상태를 준비하는 것이 어려울 수 있다는 점이다.
복잡도 이론상으로 비교적 약한 가정을 바탕으로 얘기할 때 1차원 버전의 바닥 상태 에너지 문제 중에도 난해한 문제는 있다는 뜻이다.
일반적인 문제는 양자 난해 수준이지만, 국소 양자계 중에는 기저 상태 에너지를 계산하는 것이 고전적으로는 난해해도 양자적으로는 쉬운 것도 있다고 추측할 수 있다.
7.7 양자 오류 정정
신뢰할 수 있는 양자 하드웨어를 구축하는 것이 어려운 이유는 양자계를 정확하게 제어하기 어렵기 때문이다.
양자 게이트에서 발생하는 작은 오류는 대규모 회로 속에서 누적되어 결국 계산을 망치는 큰 오류로 이어질 수 있다.
양자 컴퓨터에서는 이러한 결어긋남이 양자 프로세스에서 처리해야할 섬세한 중첩 상태에 돌이킬 수 없는 손상을 입힐 수 있다.
양자 오류 정정 코드를 이용하면 양자 정보를 노이즈로부터 더 잘 보호할 수 있는 데, 이때 ‘논리’ 정보는 여러 물리적인 큐비트 블록에 중복적으로 인코딩된다.
고전적인 코드에서는 비트가 뒤집히는 것만 방지하면 되지만 양자 코드는 비트가 뒤집히는 것은 물론 위상 오류까지 모두 방지해야 하기 때문이다.
7.7.1 양자 오류 정정의 조건
코드 블록 중 작은 부분계를 조사했을 때 논리 큐비트의 모든 상태는 똑같아 보이게 된다.
상태를 제대로 보호하려면 논리 상태를 고도로 얽히게 만들어서 어떤 논리 정보도 국소적으로 접근할 수 없도록 만들어야 한다.
7.7.2 보호된 양자 메모리와 위상론적 질서
고전 오류 정정과 양자 오류 정정의 차이를 보다 물리적인 용어로 표현하면
보호된protected 고전적 메모리의 예로 강자 성체를 들 수 있는데, 대부분의 스핀이 위를 향하는지 아래를 향하는지에 따라 한비트를 저장할 수 있다.
보호된 양자 메모리의 전형적인 예는 위상론적 질서topological order를 가지는 2차원 매체이다.
강자성체와는 달리 이 매체에서의 오류는 구역벽이 아니라 점 같은 들뜸(애니온anyon)을 만든다.
애니온에는 두 가지 종류가 있으며 각각 e 애니온(전기적 electric)과 m 애니온(자기적magnetic)으로 부른다.
‘Z 2 위상론적 질서’라고 부르는 이유는 e 애니온이 m 애니온 주위를 돌거나 m 애니온이 e 애니온 주위를 돌면 다체 파동 함수가 -1의 ‘위상론적 위상topological phase’을 획득하기 때문이다.
7.7.3 표면 코드 정확도 임곗값
안정적인 양자 메모리를 생성하기 위해 반드시 위상론적으로 정렬된 물질을 합성할 필요는 없다.
대신 일반적인 양자 컴퓨팅 하드웨어를 사용해 물질을 시뮬레이션할 수 있다.
키타예프는 Z 2 위상론적 질서를 보이는 간단한(각각의 격자 사이트에 큐비트가 위치한) 이차원 격자 모형(표면 코드)을 구축했다.
비록 이 방식은 약 25년 전에 처음 제안되었지만 표면 코드는 여전히 확장성 있는 결함 허용 양자 컴퓨팅을 위한 유망한 방법으로 꼽힌다.
여기에는 두 가지 주요 이점이 있다.
첫째, 오류를 진단하고 수정하는 데 필요한 양자 처리가 매우 간단하다.
둘째, 첫째 이점과 무관하지 않은데, 비교적 높은 게이트 오류율을 견딜 수 있다는 점이다.
7.7.4 확장 가능한 양자 컴퓨팅
지금까지는 보호된 큐비트 한 개에 대한 저장 오류의 확률만을 고려했지만 확장 가능한 결함 허용 양자 컴퓨팅에서는 보호된 큐비트가 여러 개 필요하며, 이러한 큐비트에 작용하는 고도로 신뢰할 수 있는 범용 양자 게이트를 동작시켜야 한다.
대규모 결함 허용 양자 컴퓨팅을 실용화하기 위해서는 여러 가지 심각한 시스템 엔지니어링 문제를 포함한 많은 난제를 해결해야 한다.
결함 허용 방식이 확장 가능하려면 무엇이 필요한지, 노이즈 모형은 어떤 조건을 충족해야 하는지 등 원칙 적인 문제도 고려해야만 한다.
한 가지 필수 요건은 노이즈로 인해 발생하는 엔트로피를 빼내기 위한 일종의 냉각 과정이다.
7.8 전망
파인만은 1981년 강연을 마무리하며 ‘이건 멋진 문제입니다. 왜냐하면 그리 쉽지 않아 보이기 때문이지요.’라고 말했는데, 정말 맞는 말이었다.
양자 컴퓨팅 시스템을 구축하려는 사람들은 어려운 공학적 도전에 직면해 있지만, 거기에는 그 이상의 의미가 담겨 있다.
물리적 게이트 오류율(현재 2-큐비트 게이트 얽힘의 경우 약 1%)을 몇 배로 개선할 수 있다면 실용적인 양자 컴퓨팅 응용 분야에 대한 전망이 크게 달라질 것이다.
지금까지의 진보는 큐비트 설계, 제어 기술, 제조 방법 및 재료의 발전에 힘입어 이루어졌으며, 앞으로도 점진적인 개선은 분명 기대할 수 있다.
그러나 양자 하드웨어는 아직 초기 단계에 있으며, 진정한 전환점은 양자 정보를 강력하게 인코딩하고 조작하는 방법에 대한 새로운 아이디어에서 비롯될 수 있다.
양자 커뮤니티는 양자 하드웨어 구축과 운영에 대한 새로운 접근 방식에 대해 폭넓고 창의적인 사고를 계속해야 한다.