Доказано: χ(ℝ⁴) ≤ 43, χ(ℝ⁵) ≤ 132, χ(ℝ⁷) ≤ 1029, χ(ℝ⁹) ≤ 7203, χ(ℝ¹⁰) ≤ 45619 (было 49, 140, 1372, 17253, 3¹⁰) и точные ширины запрещённых интервалов до ℝ¹² и ℝ²⁶. Численно (кусочный сертификат диаметра в плавающей точке, статус [Ч]): χ(ℝ¹⁰) ≤ 28812.
Авторы: Л. Л. Иванов, Н. В. Глушкова (распределение вкладов — CONTRIBUTIONS.md).
Исследование верхних оценок хроматического числа евклидова пространства с запрещённым интервалом расстояний (методология Л.Л. Иванова): пространство раскрашивается периодически по подрешётке Γ ⊂ Λ, число цветов k = [Λ:Γ] = |det(M)|, а корректность раскраски определяется нормированным запрещённым расстоянием d = D/diam(V₀) ≥ 1. Репозиторий содержит статьи, вычислительные пакеты, точные сертификаты и журнал работы:
Chromatic/
├── paper/ — статьи и краткие сообщения (см. «Что читать» ниже), рисунки
├── audit-data/ — пакет chromatic_research: кампании, опорные данные и
│ сертификаты (results/), сырые выгрузки (runs/), тесты
├── voronoi/ — python-пакет voronoi4d (эталонная реализация, размерность 4)
├── combigeo/ — C++ ядро + python-модуль (pybind11)
├── chromatic/ — фасад над voronoi4d и combigeo
├── articles/ — первоисточник Q-поиска (Qpoisk.c) и ссылки на предшествующие статьи
├── journal/ — датированные аудиты, планы, ревью и разборы литературы
├── RESULTS.md — хроника кампаний со статусами
├── CONTRIBUTIONS.md — учёт вкладов авторов
└── Makefile — install · test · lint · figures · paper · clean
| Нужно | Документ |
|---|---|
| Пять доказанных оценок с протоколом проверки | статья 1 — paper/article1/bounds.pdf (16 стр.); по-английски — paper/arxiv-en/bounds-en.pdf (9 стр., первой идёт на arXiv) |
| Метод и его границы: тождество, лестницы ширин, экраны, мозаики | статья 2 — paper/article2/widths.pdf |
| Краткое сообщение | paper/note-dan/dan.pdf — для «Докладов РАН» (5 стр.) |
| Поисковые программы, хроника кампаний, отрицательные экраны | audit-data/ и RESULTS.md |
| Перепроверить пять оценок | python -m chromatic_research.campaigns.verify_main_results (из audit-data/) |
Комплект публикации (иллюстрации строит paper/figures.py; план разделения
исходной полной рукописи и его ревью —
journal/PLAN-2026-09-03-paper-split.md,
journal/REVIEW-2026-09-03-split-proposals.md):
- статья 1 —
paper/article1/bounds.tex: только пять доказанных оценок 43/132/1029/7203/45619 и единый протокол точной проверки (16 стр.); - статья 2 —
paper/article2/widths.tex: ширина как ресурс — эйзенштейново тождество, лестницы ширин, ламинирование с численными кандидатами, строгие экраны индекса, мозаики; - краткое сообщение для Докладов РАН —
paper/note-dan/dan.tex: все пять оценок — явные конструкции 43/132/1029/7203 с точными инвариантами и вывод 45619 (5 стр.); - английская версия для arXiv —
paper/arxiv-en/bounds-en.tex: все пять оценок с данными сертификатов (9 стр.).
Пять заголовочных утверждений перепроверяются одной командой из audit-data/:
python -m chromatic_research.campaigns.verify_main_results (флаг --full
запускает и полные верификаторы).
Шкала статусов: [Т] — теорема, [С] — точный рациональный сертификат,
[Ч] — численный результат (сертификат в плавающей точке), [Э] —
отрицательный экран на фиксированной форме. Хроника всех кампаний и честные
статусы — в RESULTS.md; изложение — в статьях 1–2. Полная
рукопись, из которой они выделены, с 16.09.2026 хранится только в истории git.
Главные верхние оценки (в заголовок вынесены только доказанные — статус [Т] или [С]; результаты статуса [Ч] сильнее, но доказательствами не являются):
- χ(ℝ⁴) ≤ 43 (было 49) — эйзенштейнова решётка (ℤ[ω]-модуль ранга 2, Aut ≅ ℤ/6 сохраняет подрешётку; 43 = N(7+ω)), ширина 1.00411, ключевое неравенство доказано в точной рациональной арифметике двумя независимыми способами [С]. Для более широких интервалов лучше решётки общего положения: 45 цветов при ℓ ≤ 1.015 и 48 при ℓ ≤ 1.0396 [С]. Найдено симметрийным сужением поиска — см. ниже.
- χ(ℝ⁵) ≤ 132 (было 140) — портфель дискретных бассейнов + деформация метрики; рациональный сертификат, ширина 1.0109 [С].
- χ(ℝ⁷) ≤ 1029 (было 1372) — ламинирование E₆*/343 с точным
рациональным сертификатом: d² = 103332736237500000/96858928789031597,
ширина 1.032878, интервал [1, 103/100] [С]. Все 30 368 вершин ячейки
сертифицированы над ℤ, полнота — точное замыкание по 1-скелету, без
предположения простоты многогранника. Решётка общего положения даёт
1323 при ширине 1.0070 — самостоятельный результат [С], но слабее.
Оценка получена и вторым, независимым путём: точный слоёный сертификат
работает в шестимерной базе и семимерную ячейку не строит вообще
(167 кусков, из них 103 доказано пустыми; max φ = 1.7496 < 7/4, откуда
diam² ≤ 6.99847 < 7 = D²_min). Два пути не делят ни одной вычислительной
детали —
campaigns/dim7_1029_layer_cert.py. - χ(ℝ⁹) ≤ 7203 (было 17253) — ламинирование E₈/2401 слоем кратности 3, точный рациональный сертификат [С], ширина 1.0166127. Ячейка: 752 фасеты и 1 654 230 вершин (4590 непростых), diam² = 1119552292542693/165294140000000 < 7 = D²_min. Априорной границы diam² ≤ 6 + t² = 7.3224 не хватает, поэтому полный список вершин необходим; полнота — точное замыкание по 1-скелету. Продуктовое исчисление даёт ту же размерность короче, но слабее: E₈/2401 (цена 6/7) × одномерный блок на 4 цвета (цена 1/9), сумма 61/63 < 1, откуда 9604 при ширине √(63/61) = 1.0163 [Т] — ни одного численного шага. Лестница ширин ℝ⁹ вплоть до предела √(7/6).
- χ(ℝ¹⁰) ≤ 45619 (было 3¹⁰ = 59049) — произведение E₈/2401 ⊕ aA₂/19, ширина √(217/214) [Т]; первая оценка в ℝ¹⁰ ниже классической башни 3ⁿ. Слоевое ламинирование (A₂-слой над E₈/2401) с полосным сертификатом двумерного слоя опускает до 28812 при ширине 1.0433 — [Ч]. Кандидат 21609 проходит сертификат с запасом лишь 5·10⁻⁴ и ждёт рационализации.
- Ширины без новых индексов: ℝ¹² — √(3/2) при 3¹² на Коксетере–Тодде [Т]; ℝ²⁴ — ровно √(7/6) при 7¹² (тождество эйзенштейновых конструкций) [Т]; ℝ²⁵/ℝ²⁶ — 4·7¹² и 19·7¹² против 3ⁿ (в 15.3 и 9.7 раза лучше) [Т].
- Плоскость: нерешёточные мозаики с точными рациональными сертификатами χ(ℝ²,[1,ℓ]) ≤ 8 (ℓ ≤ 1.4414) и ≤ 15 (ℓ ≤ 2.2815) [С] — первые, насколько нам известно, точно сертифицированные раскраски этого класса (численно более сильные мозаики — де Грей–Партс и Партс, Geombinatorics 2022–2023).
- Точные ширины всех конструкций АБПР (arXiv:2112.13438) для 4 ≤ n ≤ 9 и доказанное тождество D² = (7/3)λ₁² эйзенштейновых конструкций (статья §7).
Инструменты, на которых это стоит (по разделам статьи):
-
симметрийное сужение поиска (статья §4.1) — требование «решётка допускает заданный автоморфизм конечного порядка S ∈ GL₄(ℤ)» превращает Λ в модуль над порядком: Φ₃²/Φ₆² → ℤ[ω]-модуль ранга 2, Φ₄² → ℤ[i], Φ_m при φ(m)=4 → ℤ[ζ_m]-модуль ранга 1. Пространство инвариантных форм в ℝ⁴ становится 4-мерным (3 параметра с точностью до масштаба) вместо 10-мерного и, что важно, определено над ℚ — рационализация не выводит из семейства. Инвариантные подрешётки — подмодули, их индекс обязан быть нормой идеала; при простом p ≡ 1 (mod 3) их ровно 2(p+1) против 1+p+p²+p³ эрмитовых форм. Так найдено χ(ℝ⁴) ≤ 43 там, где CMA-ES по девяти существенным параметрам стоял на 0.971;
core/eisenstein4.py,campaigns/dim4_eisenstein_scan.py; -
тождество эйзенштейновых конструкций
D((3+ω)Λ) = √(7/3)·λ₁для всех эйзенштейновых решёток [Т] — обе половины доказаны: снизу планарная теорема (проекция ячейки на плоскость минимального вектора), сверху — явная точкаq = (2w + ωw)/3в ячейке. Следствия: горизонтальные полы √7 стали теоремой, α-лестница над ℤ, ℤ[i], ℤ[ω] и кватернионами Гурвица превратилась из неравенства в равенство, а невозможность 7⁶ в ℝ¹² перестала опираться на перебор. Контроль:eisenstein_identity_checks.json; -
ламинирование — две однострочные леммы (P1/P2) и кусочный сертификат диаметра слоёной решётки: диаметр вычисляется, а не оценивается (калибровка на точно известном 12005 сходится с зазором 10⁻⁶); полосное обобщение на двумерный слой — редукцией к двухслойной задаче;
-
правило d = 2/ρ для Γ = 3Λ [Т], инрадиусная лемма
D(v) ≤ |v| − λ₁(следствие: при ρ < 2 подгруппы строго между 3Λ и Λ невозможны), башня ламинаций E₈ для n = 10…12; -
продуктовое исчисление ширин
Σ 1/dᵢ² ≤ 1— ширина как расходуемый ресурс с точным законом сложения; α-лестницы четырёх порядков (ℤ, ℤ[i], ℤ[ω], кватернионы Гурвица); теорема о бюджете слояR_L ≤ (diam₀/2)·√(d₀²−1); -
экраны и полы: объёмный экран Минковского (диагностика, указавшая на размерность 9, где старая оценка стояла в 10.5 раза выше препятствия), инрадиусный экран, пол 2ⁿ для всех мозаичных раскрасок, точный учёт
k = F(Λ)/δ_C(Γ)и окно 0.85 % эйзенштейновой лестницы (Кабатянский–Левенштейн); -
оболочечный экран — и два доказанных оптимума [Т]: норма вектора решётки пробегает не континуум, а оболочки, и первая оболочка над инрадиусным порогом бывает запрещена целиком; тогда λ₁(Γ)² поднимается скачком. Запрет доказывается однострочным радиальным свидетелем (Коши–Буняковский плюс целочисленность скалярных произведений), поэтому доказательства проверяются вручную, без перечисления векторов. На двух классических родителях пол совпал с рекордом:
родитель n пол был стал рекорд вывод A₃* (ОЦК) 3 11 15 15 оптимум E₆* 6 176 305 343 окно [305, 342], осталось 11 % E₈ 8 1154 2401 2401 оптимум K₁₂ 12 111 019 177 979 3¹² запас 2.99× (условно по γ₁₂) Λ₂₄ (Лич) 24 — 5 688 009 064 7¹² запас 2.43×, безусловно То есть
χ(ℝ⁸) ≤ 2401на родителе E₈ неулучшаемо: цели 2389, 2359, 2352 и производные каскады в ℝ⁹/ℝ¹⁰ не существуют. Приём режет ровно на решётках с редким спектром норм и молчит на решётках общего положения: у решётки рекорда ℝ⁴/43 в окне 51 различная норма и пол лишь 25, поэтому цель 42 остаётся открытой (campaigns/shell_floor.py); -
отрицательные результаты с механизмом: 7⁶ в ℝ¹² невозможно (D_min ровно на планарном полу); слой ранга 2 упирается в плотность оболочек; E₈ — локальный минимум ρ среди эйзенштейновых решёток; спуск ниже 43 в ℝ⁴ не пробит (плотная сетка по эйзенштейнову семейству × исчерпывающий перебор всех подрешёток, k = 31…42; лестница подступов поднята по всем индексам 39…42 до 0.950/0.950/0.956/0.958, но порог не взят; мозаичная свобода при k = 42 даёт ровно ноль улучшения — решёточная точка строго локально максимальна; статус [Э]); экраны ближайших индексов в ℝ⁵–ℝ⁹.
Скрипты, данные и сертификаты — audit-data/;
эксперименты больших размерностей описаны отдельно в
audit-data/README-dim5-9.md (для каждого
указан результат и раздел статьи). Ранние аудит, план и отчёт — в
journal/ (предшествуют результату χ(ℝ⁴) ≤ 43).
| Проект | Что это | Размерность | Документация |
|---|---|---|---|
| voronoi/ | Пакет voronoi4d на чистом python (numpy/scipy/sympy). Эталон, на котором отлажен алгоритм. |
только 4 | voronoi/README.md, voronoi/docs/USAGE.md |
| combigeo/ | Быстрое ядро на C++17 + python-обёртка. Геометрия любой размерности (GJK, теорема Вороного); модуль bigdim (min‑conflicts, запрещённое множество через опорные полупространства, безвершинный радиус покрытия) работает до ℝ⁹. Без внешних зависимостей кроме pybind11. |
ячейка с вершинами — 2…5 (6 — для специальных решёток); поиск раскрасок до 7–9 | combigeo/README.md, combigeo/docs/USAGE.md |
| chromatic/ | Над-проект: единый python-API с явным выбором бэкенда и кросс-валидацией. | по бэкенду | chromatic/README.md, chromatic/docs/USAGE.md |
| audit-data/ | Исследовательский пакет chromatic_research (не путать с фасадом chromatic): кампании поиска, точные верификаторы, опорные данные статьи. |
2…26 | audit-data/README.md |
- Нужен только python и размерность 4 — берите voronoi4d напрямую.
- Нужна скорость или размерности 2/3/5/6 — собирайте combigeo.
- Хотите единый интерфейс с возможностью переключать движок и сверять результаты — используйте chromatic (он вызывает один из первых двух).
- git и Python ≥ 3.10 — обязательно.
- Компилятор C++17, CMake ≥ 3.20 и Ninja — только для
combigeo(pybind11 подтянется автоматически при установке). - TeX Live с поддержкой кириллицы — только чтобы пересобрать статью в
paper/(готовый PDF уже лежит там).
git clone https://github.com/ivaleo/Chromatic.git Chromatic
cd Chromatic
python3 -m venv .venv && source .venv/bin/activate
pip install -e voronoi # voronoi4d (+ numpy, scipy, sympy)
pip install ./combigeo # combigeo (нужен компилятор C++; pybind11 подтянется)
pip install -e 'chromatic[dev]' # фасад + pytest (кавычки обязательны в zsh)
pip install -e 'audit-data[solvers]' # chromatic_research: кампании и верификаторы
python -c "import chromatic; print(chromatic.available_backends())"
# ['combigeo', 'voronoi4d']То же одной командой — make install. Дальше: make test (все тесты
монорепо), make lint (ruff), make figures (рисунки статьи из данных),
make paper (все PDF), make clean. Те же тесты и ruff гоняет CI
(.github/workflows/ci.yml) на каждый push.
Для быстрого LLL в voronoi4d опционально:
pip install -e voronoi[fast](fpylll).
chromatic импортирует voronoi4d и/или combigeo как бэкенды (через
importlib.util.find_spec) — жёсткой зависимости нет, работает с любым доступным.
Бэкенд выбирается явно по имени: chromatic.get_backend("combigeo").
В размерности 4 доступны оба, что позволяет независимую кросс-валидацию
(chromatic.compare_backends): combigeo использует GJK по вершинам, voronoi4d —
каскад проекций по граням; совпадение результатов подтверждает корректность.
Полное изложение — в paper/; ранний текст с обоснованием метода (22.07.2026) — voronoi/docs/article.tex.
- Решётка Λ задаёт периодическое разбиение ℝⁿ на ячейки Вороного.
- Подрешётка Γ индекса k разбивает Λ на k классов смежности — k цветов.
- Расстояние между одноцветными ячейками: D(v) = 2·dist(v/2, V₀) (лемма Иванова).
- Раскраска запрещает интервал расстояний с нормировкой d = D/diam(V₀); пригодна при d ≥ 1.
- Задача: для каждого k найти подрешётку с максимальным min_v D(v).
Актуальный источник результатов — статьи в paper/: доказанные оценки — статья 1, метод и его границы — статья 2.
Все три пакета — версия 1.1.0.
- audit-data/ — скрипты воспроизведения и сырые json-результаты; внутри README с индексом опорных файлов и сертификатов.
- journal/ — отчёты, ревью и планы кампаний (история процесса).
Проверенные интервальные константы — каждая строка означает χ(ℝⁿ, [1, ℓ]) ≤ k при ℓ < d (строка BCC с d = 1 — классическая оценка χ(ℝ³) ≤ 15; случай ℓ = d = 1 требует разбора границ ячеек, он выполнен Кулсоном; его же улучшенная раскраска даёт d = 1.0199, и ровно эти числа (diam² = 22, D² = 389/17) выдаёт точка α = 4/13 того семейства, в котором мы сертифицируем ℓ ≤ 1.02659):
| n | k | Решётка / конструкция | d (точно) | ≈ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 7 | A₂ | √7/2 | 1.3229 |
| 2 | 8 | нерешёточная мозаика (8 орбит) | рац. серт. | 1.4414 |
| 2 | 15 | нерешёточная мозаика (15 орбит) | рац. серт. | 2.2815 |
| 3 | 15 | BCC — основная конструкция Кулсона; интервал вырожден | 1 | 1.0000 |
| 3 | 15 | улучшенная раскраска Кулсона (её числа даёт α=4/13) | √(389/374) | 1.0199 |
| 3 | 15 | максимум семейства G(α), α* — корень 14α³−3α²−10α+3 | √((602α²−87α+143)/166) | 1.0265986 |
| 3 | 15 | сертификат в α=3137/10000 (даёт ℓ ≤ 102659/100000) | √(121967690/115730769) | 1.0265922 |
| 3 | 21 | FCC | √(7/6) | 1.0801 |
| 4 | 43 | эйзенштейнова — главный результат (paper §4) | рац., знам. 10⁵ | 1.00411 |
| 4 | 45 | генерическая (более широкий интервал) | рац., знам. ≤ 16 | 1.0163 |
| 4 | 48 | генерическая (более широкий интервал) | рац., знам. ≤ 12 | 1.0397 |
| 4 | 49 | D₄ (классическая) | √(7/6) | 1.0801 |
| 4 | 54 | A₄* | √(23/20) | 1.0724 |
| 5 | 132 | генерическая рациональная решётка | рац. сертификат | 1.01090 |
| 5 | 140 | A₅* (более широкий интервал) | √(39/35) | 1.0556 |
| 6 | 343 | (3+ω)E₆* | √(7/6) | 1.0801 |
| 7 | 1323 | генерическая рациональная решётка | рац. сертификат [С] | 1.0070 |
| 7 | 1029 | ламинирование E₆*/343, m=3 | точный рац. сертификат [С] | 1.032878 |
| 8 | 2401 | (3+ω)E₈ | √(7/6) | 1.0801 |
| 9 | 7203 | ламинирование E₈/2401, m=3, t=1.15 | точный рац. сертификат [С] | 1.0166127 |
| 9 | 9604 | E₈/2401 × ℤ/4 (произведение) | √(63/61) [Т] | 1.0163 |
| 9 | 9604 | ламинирование E₈/2401, m=4, t=0.93 | серт. диаметр [Ч] | 1.0581 |
| 10 | 45619 | E₈/2401 ⊕ aA₂/19 (произведение) | √(217/214) [Т] | 1.0070 |
| 10 | 28812 | E₈/2401 + A₂-слой, a=0.95 | серт. полосы [Ч] | 1.0433 |
| 12 | 3¹² | Γ=3K₁₂ (Коксетер–Тодд) | √(3/2), R из литературы | 1.2247 |
| 24 | 7¹² | (3+ω)Λ₂₄ (индекс — АБПР, ширина — тождество, точно) | √(7/6) | 1.0801 |
Отрицательные экраны в ℝ⁶, ℝ⁸ и ℝ⁹, точные индексы и следующий алгоритм —
в RESULTS.md и
audit-data/README-dim5-9.md.
MIT (см. LICENSE в каждом подпроекте).