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-### Presentación
+# Estacionaridad
 
-[13 - Procesos aleatorios](https://www.overleaf.com/read/qmfpvhzfjfdy#c270c9)
 
-### Secciones
-- Estacionaridad  (30 - 42)
+- Un **proceso** aleatorio se convierte en una **variable** aleatoria cuando *el tiempo se fija* en un valor particular.  
+- La **variable** aleatoria poseerá propiedades **estadísticas**, tales como valor medio, momentos, varianza, etcétera, relacionados con su función de densidad.  
+- Si **dos variables** aleatorias se obtienen del proceso para dos instantes del tiempo, tendrán propiedades estadísticas (medias, varianzas, momentos conjuntos, etcétera) relacionadas con su función de densidad conjunta.
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+
+> **Un proceso aleatorio se dice que es _estacionario_ si todas sus propiedades estadísticas _no cambian con el tiempo_.**
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+
+Otros procesos son denominados **no estacionarios**.
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+---
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+
+## Estacionaridad de primer orden
+
+
+Un proceso aleatorio es llamado estacionario de orden uno si su función de densidad de primer orden no cambia con un desplazamiento en el origen del tiempo. Es decir:
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+
+\[
+f_{X}(x_1; t_1) = f_{X}(x_1; t_1 + \Delta)
+\]
+
+
+Esto debe ser cierto para cualquier valor de \( t_1 \) y cualquier número real \( \Delta \).  
+Como consecuencia, \( f_{X}(x_1;t_1) \) es independiente de \( t_1 \) y el valor medio del proceso \( E[X(t)] \) es una constante:
+
+
+\[
+E[X(t)] = \overline{X} = \text{constante}
+\]
+
+
+Para probar lo anterior se calculan los valores medios de las variables aleatorias \( X_1 = X(t_1) \) y \( X_2 = X(t_2) \).
+
+
+Para \( X_1 \):
+
+
+\[
+E[X_1] = E[X(t_1)] = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_1) \, dx_1
+\]
+
+
+Para \( X_2 \):
+
+
+\[
+E[X_2] = E[X(t_2)] = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_2) \, dx_1
+\]
+
+
+(Solo se ha cambiado el nombre de la variable de integración por conveniencia.)
+
+
+Si ahora se considera \( t_2 = t_1 + \Delta \):
+
+
+\[
+\begin{aligned}
+E[X(t_2)] &= \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_1 + \Delta) \, dx_1 \\
+          &= \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_1) \, dx_1 \\
+          &= E[X(t_1)] = E[X_1]
+\end{aligned}
+\]
+
+
+Se concluye que:
+
+
+\[
+E[X(t_1 + \Delta)] = E[X(t_1)]
+\]
+
+
+lo cual implica que el valor esperado es constante porque \( t_1 \) y \( \Delta \) son arbitrarios.
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+
+---
+
+
+## Estacionaridad de segundo orden
+
+
+Un proceso es llamado estacionario de orden dos si su función de densidad de segundo orden cumple:
+
+
+\[
+f_X(x_1, x_2; t_1, t_2) = f_X(x_1, x_2; t_1 + \Delta, t_2 + \Delta)
+\]
+
+
+para todo \( t_1, t_2 \) y \( \Delta \).
+
+
+Aquí aparece una nueva relación de interés:
+
+
+\[
+R_{XX}(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]
+\]
+
+
+A esto se le llama **autocorrelación de un proceso aleatorio** \( X(t) \), y en general es función de \( t_1 \) y \( t_2 \).
+
+
+Una consecuencia importante de la ecuación anterior es que, para procesos estacionarios de segundo orden, la autocorrelación depende solo de la diferencia temporal:
+
+
+\[
+\tau = t_2 - t_1
+\]
+
+
+Por lo tanto:
+
+
+\[
+R_{XX}(t_1, t_1 + \tau) = E[X(t_1)X(t_1 + \tau)] = R_{XX}(\tau)
+\]
+
+
+---
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+
+## Estacionaridad en sentido amplio
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+
+Muchos problemas prácticos requieren conocer la función de autocorrelación y el valor medio de un proceso aleatorio. Estas soluciones se simplifican si dichas cantidades **no dependen del tiempo absoluto**.
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+
+La estacionaridad de segundo orden es suficiente para esto, pero suele ser más restrictiva de lo necesario.  
+Por eso, se utiliza una forma más relajada llamada **estacionaridad en sentido amplio**:
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+
+\[
+E[X(t)] = \overline{X} \quad (\text{constante})
+\]
+
+
+\[
+E[X(t)X(t+\tau)] = R_{XX}(\tau)
+\]
+
+
+Esto se conoce como **WSS** (*Wide Sense Stationarity*).
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+### Estacionaridad conjunta
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+Dos procesos aleatorios \( X(t) \) y \( Y(t) \) son **conjuntamente estacionarios en sentido amplio** si:
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+
+1. Cada uno de ellos es estacionario en sentido amplio.  
+2. Su función de **correlación cruzada**:
+
+
+\[
+R_{XY}(t_1, t_2) = E[X(t_1) Y(t_2)]
+\]
+
+
+solo depende de la diferencia temporal \( \tau = t_2 - t_1 \):
+
+
+\[
+R_{XY}(t, t+\tau) = E[X(t) Y(t+\tau)] = R_{XY}(\tau)
+\]
+
+
+---
+
+
+## Ejemplo de estacionaridad en sentido amplio
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+
+Se demostrará que el proceso aleatorio
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+
+\[
+X(t) = A \cos(\omega_0 t + \Theta)
+\]
+
+
+es estacionario en sentido amplio si \( A \) y \( \omega_0 \) son constantes y \( \Theta \) es una variable aleatoria **uniformemente distribuida** en el intervalo \( [0, 2\pi] \).
+
+
+El valor medio es:
+
+
+\[
+E[X(t)] = \int_0^{2\pi} A \cos(\omega_0 t + \theta) \cdot \frac{1}{2\pi} \, d\theta = 0
+\]
+
+
+*(Aquí seguiría el cálculo de la función de autocorrelación para comprobar que depende solo de \( \tau \), completando así la verificación de WSS.)*
+La función de autocorrelación con \( t_1 = t \) y \( t_2 = t + \tau \) se convierte\footnote{Se utiliza la identidad \(\cos(x) \cos(y) = \frac{1}{2} (\cos(x-y) + \cos(x+y))\).} en
+
+
+\[
+\begin{aligned}
+ R_{XX}(t, t+\tau) &= E\left[ A \cos(\omega_0 t + \Theta) \cdot A \cos(\omega_0 t + \omega_0 \tau + \Theta) \right] \\
+                   &= \frac{A^2}{2} E\left[ \cos(\omega_0 \tau) + \cos(2 \omega_0 t + \omega_0 \tau + 2 \Theta) \right] \\
+                   &= \frac{A^2}{2} \cos(\omega_0 \tau)
+\end{aligned}
+\]
+
+
+La función de autocorrelación depende solamente de \(\tau\) y el valor medio es una constante, por lo que \( X(t) \) es estacionario en sentido amplio.
+## Estacionaridad en sentido estricto y de orden \(N\)
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+
+Un proceso aleatorio es estacionario de orden \(N\) si su función de densidad de orden \(N\) es invariante ante un desplazamiento en el origen temporal; es decir, si
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+
+\[
+f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) = f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1 + \Delta, \ldots, t_N + \Delta)
+\]
+
+
+para todo \(t_1, \ldots, t_N\) y \(\Delta\). La estacionaridad de orden \(N\) implica estacionaridad a todos los órdenes \(k \leq N\). Un proceso estacionario a todo orden \(N = 1, 2, \ldots\) es denominado estacionario en sentido estricto.
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+## Videos y referencias en internet
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+- ▶️ **¿Qué es un proceso estocástico?**
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+  *Luis Rincón*, [https://youtu.be/Gngu2xp3exU](https://youtu.be/Gngu2xp3exU