3_10_2_independencia_ortogonalidad

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-### Presentación
+## Independencia y ortogonalidad
 
-[10 - Momentos de las variables aleatorias múltiples](https://www.overleaf.com/read/kggsyrzbdrxc#998b1f)
+### Independencia y correlación
 
-### Secciones
-- Independencia y ortogonalidad y sus ejemplos (10-15)
-- Momentos centrales conjuntos (16 - 22)
+!!! tip "Independencia y correlación"
+    La independencia estadística de $X$ y $Y$ es suficiente para garantizar que **no** están correlacionadas.
+
+!!! note ""
+    El recíproco de esta afirmación, que $X$ y $Y$ son independientes si no están correlacionadas, **no es necesariamente cierto**.  
+    Una excepción importante: **variables gaussianas no correlacionadas sí son independientes**.
+
+### Ortogonalidad
+
+!!! tip "Ortogonalidad"
+    Si $R_{XY} = 0$ para dos variables aleatorias $X$ y $Y$, estas se denominan ortogonales.
+
+### En síntesis
+
+- Si $R_{XY} = E[XY] = E[X]E[Y]$, entonces $X$ y $Y$ **no están correlacionadas**.
+- La independencia, es decir, $f_{XY}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$, **garantiza** que no estén correlacionadas, pero no a la inversa.
+- Si $R_{XY} = 0$, las variables son **ortogonales**.
+
+---
+
+## Ejemplo de correlación y ortogonalidad
+
+:material-pencil-box: **EJEMPLO**
+
+!!! example "Correlación y ortogonalidad entre $X$ y $Y$"
+    Sea $X$ una variable aleatoria con valor medio $\overline{X} = E[X] = 3$ y varianza $\sigma_X^2 = 2$, y sea $Y = -6X + 22$.
+
+    Determinar si $X$ y $Y$ están correlacionadas y si son ortogonales.
+
+1. Calculamos el segundo momento de $X$ alrededor del origen:
+
+\begin{equation}
+E[X^2] = \sigma_X^2 + \left( E[X] \right)^2 = 2 + 9 = 11
+\end{equation}
+
+2. Valor esperado de $Y$:
+
+\begin{equation}
+E[Y] = -6E[X] + 22 = -6 \cdot 3 + 22 = 4
+\end{equation}
+
+3. Producto cruzado:
+
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+R_{XY} &= E[XY] \\
+&= E[X(-6X + 22)] = E[-6X^2 + 22X] \\
+&= -6E[X^2] + 22E[X] = -6(11) + 22(3) = 0
+\end{aligned}
+\end{equation}
+
+!!! note ""
+    $X$ y $Y$ **son ortogonales** porque $R_{XY} = 0$.  
+    Sin embargo, **no están no correlacionadas** en el sentido de la media, ya que $E[X]E[Y] = 3 \cdot 4 = 12 \neq R_{XY}$.
+
+!!! important ""
+    Dos variables aleatorias pueden ser ortogonales incluso si una es función lineal de la otra: $Y = aX + b$.
+
+---
+
+## Momentos centrales conjuntos
+
+### Definición
+
+!!! tip "Momentos centrales conjuntos"
+    Para dos variables aleatorias $X$ y $Y$:
+
+    \begin{equation}
+    \begin{aligned}
+    \mu_{nk} &= E\left[ (X - \overline{X})^n (Y - \overline{Y})^k \right] \\
+    &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x - \overline{X})^n (y - \overline{Y})^k f_{X,Y}(x,y) ~\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y
+    \end{aligned}
+    \end{equation}
+
+**Momentos importantes**:
+
+- $\mu_{20} = E[(X - \overline{X})^2] = \sigma_X^2$
+- $\mu_{02} = E[(Y - \overline{Y})^2] = \sigma_Y^2$
+
+---
+
+## Covarianza de dos variables aleatorias
+
+!!! tip "Covarianza"
+    La covarianza $C_{XY}$ es el momento central conjunto de orden (1,1):
+
+    \begin{equation}
+    \begin{aligned}
+    C_{XY} &= E[(X - \overline{X})(Y - \overline{Y})] \\
+    &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x - \overline{X})(y - \overline{Y}) f_{X,Y}(x,y) ~\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y \\
+    &= E[XY] - E[X]E[Y] = R_{XY} - E[X]E[Y]
+    \end{aligned}
+    \end{equation}
+
+**Propiedades**:
+
+1. Si $X$ y $Y$ son independientes o no correlacionadas: $C_{XY} = 0$  
+2. Si $X$ y $Y$ son ortogonales: $C_{XY} = -E[X]E[Y]$  
+   - Si además $E[X] = 0$ o $E[Y] = 0$, entonces $C_{XY} = 0$
+
+---
+
+## Coeficiente de correlación de Pearson
+
+El coeficiente de correlación normalizado es:
+
+\begin{equation}
+\rho = \frac{\mu_{11}}{\sqrt{\mu_{20} \mu_{02}}} = \frac{C_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}
+\end{equation}
+
+También puede escribirse como:
+
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\rho &= \frac{E[(X - \overline{X})(Y - \overline{Y})]}{\sigma_X \sigma_Y} \\
+&= E\left[ \frac{(X - \overline{X})}{\sigma_X} \cdot \frac{(Y - \overline{Y})}{\sigma_Y} \right]
+\end{aligned}
+\end{equation}
+
+**Rango**: $-1 \leq \rho \leq 1$
+
+### Visualización de casos especiales del coeficiente de correlación de Pearson
+
+![Ejemplo: Ubicación del "centro de gravedad"](images/10_pearson.svg)
+
+---
+
+## Funciones características conjuntas
+
+### Definición
+La función característica conjunta de dos variables aleatorias $X$ y $Y$ está definida por: 
+
+
+\begin{equation}
+\Phi_{X,Y}(\omega_1, \omega_2) = E\left[ e^{j\omega_1 X + j\omega_2 Y} \right]
+\end{equation}
+
+donde $\omega_1, \omega_2$ son números reales. Una forma equivalente es:
+
+\begin{equation}
+\Phi_{X,Y}(\omega_1, \omega_2) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) e^{j\omega_1 x + j\omega_2 y} ~\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y
+\end{equation}
+
+Lo anterior es la transformada bidimensional de Fourier (con signos cambiados para $\omega_1, \omega_2$) de la función de densidad conjunta. De la transformada inversa de Fourier se tiene:
+
+\begin{equation}
+f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi_{X,Y}(\omega_1, \omega_2) e^{-j\omega_1 x - j\omega_2 y} ~\mathrm{d}\omega_1 ~\mathrm{d}\omega_2
+\end{equation}
+
+Con poner $\omega_2 = 0$ u $\omega_1 = 0$, se obtiene las funciones características de $X$ o $Y$, de $\Phi_{X,Y}(\omega_1, \omega_2)$. Estas se llaman funciones características marginales: 
+
+- $\Phi_X(\omega_1) = \Phi_{X,Y}(\omega_1, 0)$
+- $\Phi_Y(\omega_2) = \Phi_{X,Y}(0, \omega_2)$
+
+Los momentos conjuntos $m_{nk}$ pueden hallarse de la función característica conjunta como sigue:
+
+\begin{equation}
+m_{nk} = \left. (-j)^{n+k} \frac{\partial^{n+k} \Phi_{X,Y}(\omega_1, \omega_2)}{\partial \omega_1^n ~\partial \omega_2^k} \right|_{\omega_1 = 0,~ \omega_2 = 0}
+\end{equation}