Transcripción Raúl Villalobos Vega C18555

docs/1_0_2_combinatorio.md

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-### Presentación
+# Algunos resultados útiles del análisis combinatorio
 
-[0 - Teoría de conjuntos y análisis combinatorio](https://www.overleaf.com/read/rdsdsqffjcwc#f222aa)
+## Regla de la multiplicación
 
-### Secciones
+En un diagrama tipo árbol donde el $i$-ésimo nivel tiene $n_i$ ramas, entonces la cantidad de posibles combinaciones en $r$ niveles es:
 
-- Algunos resultados útiles del análisis combinatorio (20 - 30)
+$$
+n_1 \times n_2 \cdots \times n_r
+$$
+
+**Ejemplo**
+
+!!! example
+    - ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados y tres conos distintos?
+    - ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados, tres conos distintos y diez *toppings*?
+
+---
+
+## Posibles arreglos de un mazo de cartas con 52 cartas
+
+**Regla de la multiplicación:**
+
+$$
+\textbf{52!} = 80\,658\,175\,170\,943\,878\,571\,660\,636\,856\,403\,766\,975\,289\,505\,440\,883\,277\,824\,000\,000\,000\,000
+$$
+
+Este número es **grande**.
+
+---
+
+## Combinatoria enumerativa: contar (números grandes)
+
+En muchos análisis de la situación que se estudia, es necesario "contar" todos los resultados elementales posibles de un experimento. Este puede ser un número muy grande.
+
+Los principales tipos son **combinaciones**, **permutaciones**, **particiones** y **composiciones**.
+
+---
+
+## Combinaciones
+
+!!! tip "Combinaciones"
+    Es la selección de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden no importa*.
+
+    $$
+    _n\mathbf{C}_k \equiv \binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n-k)!}
+    $$
+
+    Se lee $_n\mathbf{C}_k$ como “de $n$ escoge $k$” y $\binom{n}{k}$ es el **_coeficiente binomial_**.
+
+**Ejemplo**
+
+!!! example
+    Para hacer un grupo de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay
+
+    $$
+    _{30}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{30}{5} \equiv \frac{30!}{5! (30-5)!} = 142\,506
+    $$
+
+    combinaciones posibles.
+
+> Fuentes: **MathWorld** (<http://mathworld.wolfram.com/Combination.html>) y **Wikipedia** (<https://en.wikipedia.org/wiki/Combination>)
+
+---
+
+## Permutaciones
+
+!!! tip "Permutaciones"
+    Es el arreglo de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden sí importa*.
+
+    $$
+    _n\mathbf{P}_k \equiv \frac{n!}{(n-k)!}
+    $$
+
+    Se lee $_n\mathbf{P}_k$ como "de $n$ escoge $k$".
+
+**Ejemplo**
+
+!!! example
+    Para hacer una *junta directiva* de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay
+
+    $$
+    _{30}\mathbf{P}_5 \equiv \frac{30!}{(30-5)!} = 17\,100\,720
+    $$
+
+    permutaciones posibles.
+
+> Fuentes: **MathWorld** (<http://mathworld.wolfram.com/Permutation.html>) y **Wikipedia** (<https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation>)
+
+---
+
+## Particiones
+
+!!! tip "Particiones"
+    Sean $r_{1}, ..., r_{l}$, con $l$ un entero positivo, números tales que $r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{l} = n$. Entonces, la cantidad de formas en las que una población de $n$ elementos puede ser particionada en $l$ sub-poblaciones donde la primera contiene $r_{1}$ elementos, la segunda $r_{2}$ y así sucesivamente, es:
+
+    $$
+    \frac{n!}{r_{1}!r_{2}! \cdots r_{l}!}
+    $$
+
+    Este coeficiente es conocido como **_coeficiente multinominal_**.
+
+**Ejemplo**
+
+!!! example
+    Un vendedor de autos tiene 6 carros disponibles de distinto modelo cada uno y los quiere acomodar en grupos de 1, 2 y 3 carros respectivamente por un tema de espacio. ¿De cuántas formas distintas los puede acomodar?
+
+    $$
+    n_E = \frac{6!}{1!\times 2! \times 3!} = 60
+    $$
+
+> Fuente: Stark, H., Woods, J. (2012) *Probability, Statistics, and Random Processes for Engineers*. Nueva Jersey: Pearson.
+
+---
+
+## Composiciones
+
+!!! tip "Composiciones"
+    Una composición en análisis combinatorio es un arreglo ordenado de $k$ elementos no negativos que suman $n$. Es por tanto una partición en la que el orden sí importa.
+
+    Por ejemplo, hay ocho composiciones de 4:
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    4 &= 4 \\\\
+      &= 3+1 \\\\
+      &= 2+2 \\\\
+      &= 2+1+1 \\\\
+      &= 1+3 \\\\
+      &= 1+2+1 \\\\
+      &= 1+1+2 \\\\
+      &= 1+1+1+1
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    Un entero positivo $n$ tiene $2^{(n-1)}$ composiciones.
+
+    El número de composiciones de $n$ en $k$ partes (donde 0 no es una parte) está dado por:
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    \mathbf{C}_k(n) &= {n-1 \choose k-1} \\\\
+                    &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+> Fuente: Stover, Christopher y Weisstein, Eric W. "Composition". De MathWorld -- A Wolfram Web Resource. <http://mathworld.wolfram.com/Composition.html>
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+---
+
+## Otros ejemplos
+
+!!! example
+    - Una “mano de poker” consiste en cinco cartas escogidas de un mazo de 52 cartas, ¿cuántas posibilidades hay?
+
+
+    $$
+    _{52}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{52}{5} \equiv \frac{52!}{5! (52-5)!} = 2\,598\,960
+    $$
+
+!!! example
+    - Las placas de carros en el país tienen tres consonantes y tres números, ¿cuántas placas son posibles? ¿Se agotarán pronto?
+
+
+    $$
+    21 \times 21 \times 21 \times 10 \times 10 \times 10 = 9\,261\,000
+    $$
+
+
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+---
+
+## Videos y referencias en internet
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+Cuando sea posible, las presentaciones tendrán referencias a videos o artículos útiles... o al menos entretenidos.
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+- ▶ **How secure is 256 bit security?**, *3Blue1Brown*: <https://youtu.be/S9JGmA5_unY>
+- ▶ **Mathematical Impressions: Change Ringing**, *SimonsFoundation*: <https://youtu.be/3lyDCUKsWZs>
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+Muchas veces los videos serán en inglés, quizá con subtítulos. Aunque espero que no sea un inconveniente, ojalá sirva de gentil recordatorio de la importancia de seguir aprendiendo inglés.