prob theory raidboss: a bit more typos

probability-theory_16-17_2course/raidboss-lectures/lecture_raidboss_02_31.01.2017.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-н\section{Лекция от 31.01.2017}
+\section{Лекция от 31.01.2017}
 
 \subsection{Числа Каталана. Реккурентное соотношение. Производящая функция}
 \begin{lemma}

probability-theory_16-17_2course/raidboss-lectures/lecture_raidboss_10_30.03.2017.tex

@@ -377,11 +377,11 @@ \subsection{Устройство компонент в случайном гра
   так как $k_1$ и $k_2$ становятся пренебрежительно маленькими и почти не влияют
   друг на друга, то есть
 
-  \[
+  \begin{multline}
     \E{U_n^{(k_1)} U_n^{(k_2)}} = \binom{n}{k_1} C(k_1, k_1) p^{k_1} 
-    (1 - p)^{\binom{k_1}{2} - k_1 + k_1(n - k_1)} \binom{n - k_1}{k_2} 
-    C(k_2, k_2) p^{k_2} (1 - p)^{\binom{k_2}{2} - k_2 + k_2(n - k_2)} (1 - p)^{k_1k_2}
-  \]
+    (1 - p)^{\binom{k_1}{2} - k_1 + k_1(n - k_1)}\cdot\\\cdot \binom{n - k_1}{k_2} 
+    C(k_2, k_2) p^{k_2} (1 - p)^{\binom{k_2}{2} - k_2 + k_2(n - k_2)} (1 - p)^{-k_1k_2}
+  \end{multline}
 
   Такое равенство можно написать из-за того, что $k_1 \neq k_2$ и не посчитаем
   пары унициклов несколько раз.

probability-theory_16-17_2course/raidboss-lectures/lecture_raidboss_12_11.04.2017.tex

@@ -318,7 +318,7 @@ \subsection{Теорема об остановке}
   \{\tau_A \leq t\}=
     \begin{cases}
       \emptyset \in \F_t, \text{ если } t < k \\
-      A \in \F_k \subset \F_t, \text{ если } k \leq s < n\\
+      A \in \F_k \subset \F_t, \text{ если } k \leq t < n\\
       \Omega \in \F_t
     \end{cases}
   \]

probability-theory_16-17_2course/raidboss-lectures/lecture_raidboss_13_18.04.2017.tex

@@ -302,20 +302,20 @@ \subsection{Оценка вероятности разорения в модел
   Вместо того, чтобы сразу считать матожидание, посчитаем условное матожидание.
   \begin{multline}
     \E{e^{-v(X_t - X_s)} \given N_t = m, N_s = k} = 
-    \E{e^{-v\left(c(t - s)) - \sum\limits_{j = N_s + 1}^{N_t} \eta_j\right)} \given
-    N_t = m, N_s = k} =\\= \E{e^{-v\left(c(t - s)) - \sum\limits_{j = k + 1}^{m} 
+    \E{e^{-v\left(c(t - s) - \sum\limits_{j = N_s + 1}^{N_t} \eta_j\right)} \given
+    N_t = m, N_s = k} =\\= \E{e^{-v\left(c(t - s) - \sum\limits_{j = k + 1}^{m} 
     \eta_j\right)} \given N_t = m, N_s = k}
   \end{multline}
 
   У нас получаются независимые случайные величины в условии и самой величины,
   поэтому условие можно стереть.
 
   \[
-    = \E{e^{-v\left(c(t - s)) - \sum\limits_{j = k + 1}^{m} 
+    = \E{e^{-v\left(c(t - s) - \sum\limits_{j = k + 1}^{m} 
     \eta_j\right)}}
   \]
 
-  Первое это у нас константа, мы её и выносим, а также воспользуемся независимостью
+  Первое слагаемое это у нас константа, мы её и выносим, а также воспользуемся независимостью
   случайных величин.
 
   \[
@@ -466,7 +466,7 @@ \subsection{Оценка вероятности разорения в модел
   \geq \E{e^{-g(v)\tau} \I\{\tau \leq t\}}
 \] 
 
-Теперь мы хотим оценить первое слагаемое. Оценим его просто инфинумом по всем
+Теперь мы хотим оценить первый множитель. Оценим его просто инфинумом по всем
 $\tau = s \leq t$, поэтому получаем в итоге оценку:
 
 \[
@@ -508,6 +508,6 @@ \subsection{Оценка вероятности разорения в модел
 
 \begin{theorem}
   Пусть $v_0 > 0$ --- решение уравнения $\lambda(\psi(v) - 1) - vc = 0$, тогда
-  $\Pr{\tau < +\infty} \leq e^{-v_0y_0}$
+  $$\Pr{\tau < +\infty} \leq e^{-v_0y_0}$$
 \end{theorem}