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@@ -261,6 +261,7 @@ leetcode 题解，记录自己的 leetcode 解题之路。
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problems/611.valid-triangle-number.md

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+## 题目地址(611. 有效三角形的个数)
+
+https://leetcode-cn.com/problems/valid-triangle-number/
+
+## 题目描述
+
+```
+给定一个包含非负整数的数组，你的任务是统计其中可以组成三角形三条边的三元组个数。
+
+示例 1:
+
+输入: [2,2,3,4]
+输出: 3
+解释:
+有效的组合是:
+2,3,4 (使用第一个 2)
+2,3,4 (使用第二个 2)
+2,2,3
+注意:
+
+数组长度不超过1000。
+数组里整数的范围为 [0, 1000]。
+
+```
+
+## 前置知识
+
+- 排序
+- 双指针
+- 二分法
+- 三角形边的关系
+
+## 暴力法（超时）
+
+### 思路
+
+首先要有一个数学前提： `如果三条线段中任意两条的和都大于第三边，那么这三条线段可以组成一个三角形`。即给定三个线段 a，b，c，如果满足 a + b > c and a + c > b and b + c > a，则线段 a，b，c 可以构成三角形，否则不可以。
+
+力扣中有一些题目是需要一些数学前提的，不过这些数学前提都比较简单，一般不会超过高中数学知识，并且也不会特别复杂。一般都是小学初中知识即可。
+
+> 如果你在面试中碰到不知道的数学前提，可以寻求面试官提示试试。
+
+### 关键点解析
+
+- 三角形边的关系
+- 三层循环确定三个线段
+
+### 代码
+
+代码支持: Python
+
+```py
+class Solution:
+    def is_triangle(self, a, b, c):
+        if a == 0 or b == 0 or c == 0: return False
+        if a + b > c and a + c > b and b + c > a: return True
+        return False
+    def triangleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
+        n = len(nums)
+        ans = 0
+        for i in range(n - 2):
+            for j in range(i + 1, n - 1):
+                for k in range(j + 1, n):
+                    if self.is_triangle(nums[i], nums[j], nums[k]): ans += 1
+
+        return ans
+```
+
+**复杂度分析**
+
+- 时间复杂度：$O(N ^ 3)$，其中 N 为 数组长度。
+- 空间复杂度：$O(1)$
+
+## 优化的暴力法
+
+### 思路
+
+暴力法的时间复杂度为 $O(N ^ 3)$， 其中 $N$ 最大为 1000。一般来说， $O(N ^ 3)$ 的算法在数据量 <= 500 是可以 AC 的。1000 的数量级则需要考虑 $O(N ^ 2)$ 或者更好的解法。
+
+OK，到这里了。我给大家一个干货。 应该是其他博主不太会提的。原因可能是他们不知道， 也可能是他们觉得太小儿科不需要说。
+
+1. 由于前面我根据数据规模推测到到了解法的复杂度区间是 $N ^ 2$, $N ^ 2 * logN$，不可能是 $N$ （WHY？）。
+2. 降低时间复杂度的方法主要有： `空间换时间` 和 `排序换时间`（我们一般都是使用基于比较的排序方法）。而`排序换时间`仅仅在总体复杂度大于 $O(NlogN)$ 才适用（原因不用多说了吧？）。
+
+这里由于总体的时间复杂度是 $O(N ^ 3)$，因此我自然想到了`排序换时间`。当我们对 nums 进行一次排序之后，我发现：
+
+- is_triangle 函数有一些判断是无效的
+
+```py
+    def is_triangle(self, a, b, c):
+        if a == 0 or b == 0 or c == 0: return False
+        # a + c > b 和  b + c > a 是无效的判断，因为恒成立
+        if a + b > c and a + c > b and b + c > a: return True
+        return False
+```
+
+- 因此我们的目标变为找到`a + b > c`即可，因此第三层循环是可以提前退出的。
+
+```py
+for i in range(n - 2):
+    for j in range(i + 1, n - 1):
+        k = j + 1
+        while k < n and num[i] + nums[j] > nums[k]:
+            k += 1
+        ans += k - j - 1
+```
+
+- 这也仅仅是减枝而已，复杂度没有变化。通过进一步观察，发现 k 没有必要每次都从 j + 1 开始。而是从上次找到的 k 值开始就行。原因很简单， 当 nums[i] + nums[j] > nums[k] 时，我们想要找到下一个满足 nums[i] + nums[j] > nums[k] 的 新的 k 值，由于进行了排序，因此这个 k 肯定比之前的大（单调递增性），因此上一个 k 值之前的数都是无效的，可以跳过。
+
+```py
+for i in range(n - 2):
+    k = i + 2
+    for j in range(i + 1, n - 1):
+        while k < n and nums[i] + nums[j] > nums[k]:
+            k += 1
+        ans += k - j - 1
+```
+
+由于 K 不会后退，因此最内层循环总共最多执行 N 次，因此总的时间复杂度为 $O(N ^ 2)$。
+
+> 这个复杂度分析有点像单调栈，大家可以结合起来理解。
+
+### 关键点分析
+
+- 排序
+
+### 代码
+
+```py
+class Solution:
+    def triangleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
+        n = len(nums)
+        ans = 0
+        nums.sort()
+        for i in range(n - 2):
+            if nums[i] == 0: continue
+            k = i + 2
+            for j in range(i + 1, n - 1):
+                while k < n and nums[i] + nums[j] > nums[k]:
+                    k += 1
+                ans += k - j - 1
+        return ans
+```
+
+**复杂度分析**
+
+- 时间复杂度：$O(N ^ 2)$
+- 空间复杂度：取决于排序算法
+
+更多题解可以访问我的 LeetCode 题解仓库：https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 30K star 啦。
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