Pourquoi les boréliens ?

[boisgera]

... et sous ce titre provocateur, je veux dire "à quel problème important est-ce que les boréliens apportent une solution, compte tenu de ce qui est fait/connu avant". (J'ai une idée partielle, mais pas complétement satisfaisante; aujourd'hui je ne saurais pas faire beacoup mieux que "faites-moi confiance, ça sert", ce qui est un peu le dernier recours didactiquement ...)

Je résume d'où l'on vient:

• si l'on se place dans le cadre de R muni d'une fonction positive p d'intégrale égale à 1 (densité), alors il aura déjà été évoqué dans le cours Calcul Intégral II que vouloir intégrer p sur n'importe quel ensemble n'est pas possible (l'intégral n'est pas définie. Point.) et qu'il faut se limiter à certains ensembles (le fin mot de l'histoire devra attendre Calcul Intégral IV, mais ça aura été défriché).

• on aura montré que les ensembles "qui vont bien" forment une tribu (par contre je vais revenir en arrière sur ce point et ne pas mentionner le terme; juste les propriétés élémentaires que ces ensembles vérifient; je laisse le soin à la proba de commencer à "algébriser" ce point de vue). Les ensembles "qui vont bien" ont aussi le bon goût de contenir tous les ouverts (Calcul Int 2 tjs)

• par contre, ces ensembles sont plus nombreux que les Boréliens: l'intégrale de jauge mène naturellement à la mesure de Lebesgue, pas à l'intégrale de Borel-Lebesgue. En particulier, la mesure associée est complète (si A est mesurable de mesure nulle et B est inclus dans A, il est aussi mesurable et de mesure nulle).

Donc les boréliens ne "résultent" pas naturellement du cas à densité. Dans mon esprit, les boréliens sont "le plus petit dénominateur commun" à un "pool" de mesures qui contiennent les mesures absolument continues et discrètes ... mais bon courage pour vendre ça comme ça à ce stade !

Il y a un autre aspect technique qui justifie l'introducton des boréliens, c'est le fait de vouloir préserver la mesurabilité par composition (mais à nouveau c'est technique). En gros:

• la notion de fonction mesurable introduite dans Calcul Int 2 est mesurable Lebesgue -> Borel
  (attention: ça n'est pas DU TOUT évident dans la présentation qui en est faite, à savoir que les fcts mesurables sont définies comme limite simple de fct intégrables; la notion de tribu n'est pas explicitement, pas plus que tribus engendrée par les ouverts, etc.).

• Si f est L -> B mesurable et que l'on veut que g o f soit aussi mesurable, alors il est raisonnable de demander que g soit mesurable B -> B, notion qui n'est pas dans calcul intégral.
  (ce qui est le plus proche, en exo: on montre que si g est continue, ça colle).

Mmmmm ....

[tromary]

De mon point de vue, les boréliens sont utiles pour définir une tribu sur tout espace topologique. En proba, l'espace fondamental $\Omega$ peut prendre des formes très diverses (cf. exemples en début de proba 1) et on a besoin d'y définir une tribu pour ensuite y définir une proba. On ne peut pas se limiter à $\Omega = \R$ ou $\R^n$. On peut ensuite définir les variables aléatoire, fonctions aléatoires, etc. comme applications mesurables de $\Omega$ vers ce que l'on veut !

Par ailleurs, il est important de les voir pour une question de vocabulaire. Le terme reviendra dans les cours suivants dès celui de sciences des données, puis processus stochastiques, geostat, etc.

[boisgera]

On est d'accord sur la valeur ajoutée comme point de vocabulaire (ça serait intéressant de voir plus en détail l'usage effectif en TC en aval ; je fais un noeud à mon mouchoir). Je mentionne juste une difficulté technique et didactique (pas stratégique) sur le "comment l'introduire" (de façon simple, cohérente avec les sessions précédentes et "nécessaire", où l'on voit quel est le pb que les boréliens résolvent).

• Les étudiants n'auront fait qu'au mieux effleurer la notion d'espace topologique "pour leur culture" dans la demi-session qui est consacrée à la topo (avec plein d'autres choses; le coeur: espaces métriques, complétude, compacité). On ne donc peut pas capitaliser là-dessus pour justifier leur introduction.

• Il me semble que Omega=R ou R^n couvrent l'essentiel des besoins de l'UE. Il faut donc être en mesure de justifier les Boréliens dans ce cadre, ou bien la position est fragile.
  Les cas d'usage qui ont besoin de plus (espace de trajectoires par exemple) ne sont pas ne pourront pas être traités par les étudiants à l'issue de l'UE n'est-ce pas ? [1] . C'est très bien de mentionner un exemple de ce type de façon précoce pour la perspective, pas de pb, mais on peut difficilement l'utiliser pour justifier une nouvelle notion (non triviale selon moi) si on n'a pas vocation à le traiter.
  L'autre besoin concerne spécifiquement la théorie asymptotique, mais c'est technique et plus tardif. On a discuté de ça en détail avec Emilie, c'est ce qui a donné lieu à l'architecture actuelle de l'EC 2 avec théorie abstraite de la mesure, une 1/2 sessions "applis proba" de ce cadre, puis la session théorie asymptotique. Une idée de ce déroulé progressif c'est d'introduire les notions (et le coût associé) au plus proche du moment où l'on en a besoin, le plus tardivement possible; et non de faire un "qui peut le plus peut le moins".

• S'il y a un mismatch nécessaire avec ce qui tombe du calcul intégral (pourquoi la tribu de Lebesgue qui vient "naturellement" ne fait pas l'affaire ?), il faut être en mesure de l'expliquer.

Comme je le disais en au départ, je n'ai pas de solution satisfaisante, je me contente de souligner une difficulté et je vous laisse la traiter, c'est plus facile :). "Au pire", il est toujours possible de donner une telle définition in abstracto, mais l'intégration dans un narratif est un gros facilitateur pour l'apprentissage de nombreux étudiants; stratégie à utiliser avec parcimonie donc ...

[1]: Les enseignements avals plus spécialisés -- surtout électifs -- qui en ont besoin devront introduire les prérequis qui les concernent plus spécifiquement; par exemple dans un autre domaine, l'optimisation prendra en charge les ensembles et fonctions convexes, pas l'UE 11.

[tromary]

Je n'ai pas de problème à travailler avec la tribu de Lebesgue en soi, mais l'introduction rapide des Boréliens permettrait selon moi aux étudiants de "sémantiser" la notion (de la fixer une fois pour toutes et de ne pas être destabilisés quand ils retombent dessus). Sinon, il faudra leur dire quelque chose du genre : "bon, on a travaillé avec la tribu de Lebesgue mais en fait tout le monde utilise les boréliens hein" ce qui peut être assez domageable.

Une manière de faire pourrait être de dire que l'on a besoin de savoir construire des tribus sur des espaces assez généraux (munis d'une topologie aie !), ce qui vient facilement avec la notion de tribu engendrée et permet d'introduire les boréliens. Le pb est qu'il faut ensuite faire le lien avec la tribu de Lebesgue (en complément ?)

[boisgera]

Il y a deux choses distinctes: si tu ne vois pas "down the line" en quoi utiliser la tribu de Lebesgue pose un pb technique pour les objectifs de proba 1 et proba 2 (et je ne sais pas si c'est le cas, pas assez de temps/d'expertise, c'est vous qui allez devoir juger ça), cela pose à mon avis sérieusement la question du report de l'intro des boréliens à l'EC 2 (séance "Calcul intégral 5 / Applic. théorie abstraite de la mesure" typiquement, où on sera plus légitime pour considérer une multiplicité de tribus).
Et dans tous les cas, on a couvert le concept pour l'aval (TC 2nd semestre, pro. sto., etc.)

L'autre: si l'on veut introduir les boréliens dès l'EC 1, à la question "Pourquoi tout le monde utilise les boréliens ?" il faudrait pouvoir donner une réponse avec des trucs concrets qu'ils ont vu avant. Si tu n'en a pas de meilleure, la piste que j'évoquais plus haut (la tribu des Boréliens et la notion de fct mesurable associée B -> B "résoud" le pb de la composition des fcts mesurables au sens du chap Calc Int 2) reste une option. Mais à ce stade, ça me semble technique, conceptuel, et pas totalement satisfaisant. Je ne sais pas si tu veux creuser cette piste pour te faire une idée en partant de la ppté de mesurable du calc int 2 (comme image récip des ouverts mesurable) pour te faire ta propre idée où si l'on oublie.

[boisgera]

Si l'on veut retarder l'introduction des boréliens tout en gardant la capacité à faire de la composition de variables aléatoires(*):

• le calcul intégral va jusqu'à montrer que mesurable est équivalent à image réciproque de tout ouvert est mesurable (/ Lebesgue). En exo, on montre que composition mesurable par continu est mesurable
  (très facile). En pratique, si l'on étend ce résultat à continu par morceaux (montré ou admis), on a ce qui faut en pratique pour la composition, ce qui permet d'introduire si besoin des va "mixtes" (f(X)) pour
  X à densité, calculer des variances (ou plus généralement E[f(X)] et pas seulement E[X], quand X est à densité, etc.)

• le "bon" concept ici est celui de fct borélienne, mais suppose qq étapes abstraites/techniques:
  définir tribu de Borel (et tribue engendrée), réaliser que la notion de mesurable introduite équivaut à mesurable Lebesgue -> Borel; on généralise ainsi la notion de mesurable en paramétrant par rapport aux tribus de départ et d'arrivée et ALORS on peut définir fct borélienne. Plus tard, dans cadre théorie générale de la mesure.

(*) autre usage potentiel: mq donnée de fct répartition connue détermine de façon unique la proba. Chose qu'on sait faire directement dans les cas discret et à densité par ailleurs (dérivation pp d'une intégrale à paramètre)