daily: elevator dispatch 2019-07-31

daily/2019-07-31.md

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+## 每日一题 - 小飞电梯调度问题
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+### 信息卡片
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+- 时间： 2019-07-31
+- 题目链接：暂无
+- tag：`Math` `Dynamic Programming`
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+### 题目描述：
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+```
+微软亚洲研究所所在的希格玛大厦一共有6部电梯。在高峰时间，每层都有人上下，电梯在每层都停。实习生小飞常常会被每层都停的电梯弄得很不耐烦，于是他提出了这样一个办法：
+由于楼层并不太高看没在繁忙的上下班时间，每层电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。所有的乘客都从一楼上电梯，到达某层楼后，电梯停下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。
+在一楼的时候，每个乘客选择自己的目的层，电梯则自动计算出应停的楼层。
+问：电梯停在哪一层楼，能够保证这次乘坐电梯的所有乘客爬楼梯的层数之和最少。
+
+扩展：
+
+1.如何在O(n)的时间复杂度完成？
+2.往上爬楼梯，总是比往下走要累的。假设往上爬一个楼层，要耗费k单位的能量，而往下走只需要耗费1单位的能量，那么如果题目条件改为让所有人消耗的能量最少，这个问题怎么解决呢？
+这个问题可以用类似上面的分析方法来解答看，因此笔者不再累述，留给读者自行解决。
+3.在一个高楼里面，电梯只在某一个楼层停，这个政策还是不太人性化。如果电梯会在k个楼层停呢？读者可以发挥自己的想象力，看看如何寻找最优方案。
+```
+
+### 参考答案
+
+
+题意是
+每层都停 => 只停一层，其余让人爬楼梯；所有人爬梯之和最小 
+选择目的层(i)，在i层下的人数是T[i]，根据大家选择的目的层计算在哪一层(X)停最优 
+sum(1～N){T[i]*|i-x|}的最小值 
+
+从简单易想到的方式开始； 
+从1楼开始直到顶层，算出在每层人需要爬梯的总和数组result 
+找出Min(result)下标 
+时间复杂度是O(N^2) 
+
+```js
+/**
+* 两个测试数据
+* nPerson = [0, 1, 3, 4, 2, 3]
+* nPerson = [0, 1, 0, 2, 2, 6]
+*/
+function original(nPerson) { // nPerson首元素设0，使楼层与下标对应
+  // nPerson[i] 在i层下的人， N 总楼层
+  let result = [0]; // 存各层结果
+  let target = 1; // 最小值下标
+  for(let x = 1; x < nPerson.length; x++) { // 目标楼层x
+    result[x]=0;
+    for(let i = 1; i < nPerson.length; i++) { // 人在哪层停留
+      result[x] += nPerson[i]*Math.abs(x-i);
+    }
+    if(result[target] > result[x]) {
+      target = x
+    }
+  }
+  return target;
+}
+```
+
+进一步考虑(动态规划)
+假设在i层停，共需要爬Y阶；在i层有N2人，在i层以下共N1人，i层以上共N3人   
+如果在i-1层停，相比i层变化Y+N2+N3-N1 = Y - (N1-N2-N3) => N1 > (N2 + N3)时会减少爬阶数  
+如果在i+1层停，相比i层变化Y-N3+N2+N1 = Y - (N3-N2-N1) => N3 > (N2 + N1)时会减少爬阶数  
+所以在N1 > N2+N3时应该在i-1层停，N3 > N2+N1时应该在i+1层停; 否则在i层停 
+
+初始状态电梯停在第一层，向上进行状态的变迁，开始时N2 + N1 - N3 < 0  
+sum越来越小，直到某一层N2 + N1 >= N3，就没有必要在往上走了。这时已求出最合适的楼层了  
+
+```js
+function betterOne(nPerson) { // 首元素设空, 下标就与楼层对应了，nPerson的长度-1就是楼层数
+    let N1 = 0;
+    let N2 = nPerson[1];
+    let N3 = 0;
+    let target = 1;
+    // 第一层时，算出人需要走的楼梯数Y和在一楼以上的人数N3
+    for(let i = 2; i < nPerson.length; i++) {
+        N3 += nPerson[i];
+    }
+    // 再来优化
+    for(let i = 2; i < nPerson.length; i++) {
+        if (N1+N2 < N3) { // 在i+1层停较优
+            target = i;
+            N1 += N2
+            N3 -= nPerson[i]
+            N2 = nPerson[i]
+        } else {
+            break
+        }
+    }
+    return target
+}
+```
+
+扩展问题2的解
+向上爬比向下走更耗费体力，假设上楼是下楼耗费能量的k倍；k大于1  
+比较消耗能量的大小决定楼层，只需在动态规划方式上增加权重即可
+
+```js
+function betterOnewithWeight(nPerson, k) { // 首元素设空, 下标就与楼层对应了，nPerson的长度-1就是楼层数
+    let N1 = 0;
+    let N2 = nPerson[1];
+    let N3 = 0;
+    let target = 1;
+    // 第一层时，算出人需要走的楼梯数Y和在一楼以上的人数N3
+    for(let i = 2; i < nPerson.length; i++) {
+        N3 += nPerson[i];
+    }
+    // 再来优化
+    for(let i = 2; i < nPerson.length; i++) {
+        if (N1+N2 < N3*k) { // 在i+1层停比较好
+            target = i;
+            N1 += N2
+            N3 -= nPerson[i]
+            N2 = nPerson[i]
+        } else {
+            break;
+        }
+    }
+    return target
+}
+```
+
+### 其他优秀解答
+中位数方法
+
+假设两个人在2楼和9楼下。那么在2-9楼之间任意层停，两人走楼梯的层数和是不变的  
+换一组(第二小、第二大)人也是这么处理  
+将每个人要去的楼层从低到高逐一排列，找到中位数，此中位数就是最优楼层  
+
+时间复杂度O(N)
+
+```js
+/**
+* 中位数方法
+*/
+function median(nPerson) {
+    const newArr = []; // 存楼层
+    for(let i=0; i < nPerson.length; i++) {
+      while(nPerson[i] > 0) {
+        newArr.push(i)
+        nPerson[i]--
+      }
+    }
+    let len = newArr.length;
+    // 返回楼层中位数
+    return len % 2 == 1 ? newArr[(len+1)/2] : newArr[len/2]
+}
+```

daily/README.md

@@ -209,6 +209,12 @@ tag: `几何`
 
 时间：2019-07-30
 
+### [电梯调度问题](./2019-07-31.md)
+
+tag: `Math` `Dynamic Programming`
+
+时间：2019-07-31
+
 ### [105.从前序与中序遍历序列构造二叉树](./2019-08-05.md)
 
 tag: `Tree` `Array`
@@ -241,7 +247,7 @@ tag: `并查集`  `BFS`
 
 ### [771.jewels-and-stones](./2019-08-22.md)
 
-tag：String` `Hash Table`
+tag：`String` `Hash Table`
 
 时间: 2019-08-22