Debería repasar el algoritmo de división

ACC/Ejercicios/Relación7.2.tex

@@ -62,18 +62,11 @@
 \]
 
 \end{solucion}
-\newpage
-
-\begin{ejercicio}{7.2.4}
 
-\end{ejercicio}
-\begin{solucion}
-
-\end{solucion}
 
 \newpage
 
-\begin{ejercicio}{7.2.5}
+\begin{ejercicio}{7.2.4}
 Let $M_{τ}$ be the matrix of the linear transformation taking $x_1,\dots , x_n$ to $x_{τ(1)},\dots , x_{τ(n)}$.
 This means that if $e_1, \dots, e_n$ is the standard basis of $k^n$, then $M_τ \cdot(\sum_j x_je_j) =\sum_j x_{τ(j)}e_j$.
 \begin{enumerate}[a.]
@@ -94,6 +87,14 @@
 \end{solucion}
 \newpage
 
+\begin{ejercicio}{7.2.5}
+
+\end{ejercicio}
+\begin{solucion}
+
+\end{solucion}
+\newpage
+
 \begin{ejercicio}{7.2.6}
 
 \end{ejercicio}
@@ -118,7 +119,7 @@
 is closed under addition and multiplication and contains the constant polynomials.}
 
 
-Que contiene a los polinomios constantes es trivial. Si $f$ y $g$ son invariantes por $G$, entonces $f(x)+g(x)=f(Ax)+f(Ax)$ para toda $A\in G$ luego la suma es también invariante. Similarmente para la multiplicación, $f(x)g(x)=f(Ax)g(Ax)$. 
+Que contiene a los polinomios constantes es trivial. Si $f$ y $g$ son invariantes por $G$, entonces $f(x)+g(x)=f(Ax)+g(Ax)$ para toda $A\in G$ luego la suma es también invariante. Similarmente para la multiplicación, $f(x)g(x)=f(Ax)g(Ax)$. 
 \end{solucion}
 
 \newpage
@@ -132,4 +133,144 @@
 Si las componentes homogéneas son invariantes entonces $f$ es invariante por linealidad. Recíprocamente, al evaluar $f(Ax)$ no se modifica el grado de ningún monomio por ser una transformación lineal, de modo que para cada $m$, $f_m(Ax)=\sum_j c_jf_{m,j}(x)$ con $c_j\in k$. Pero para que $f(Ax)=f(x)$ debe cumplirse que $f(Ax)=\sum_m f_m(Ax)=\sum_m\sum_j c_jf_{m,j}(x)=f(x)=\sum_m\sum_j f_{m,j}$ por lo que necesariamente $c_j=1$ para todo $j$ y hemos terminado.
 
 \end{solucion}
+
+\newpage
+
+\begin{ejercicio}{7.2.12}
+In Example 13, we studied polynomials $f ∈ k[x, y]$ with the property that $f (x, y) =
+f (−x,−y)$. If $f =\sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j$, show that the above condition is equivalent to $a_{ij} = 0$
+whenever $i + j$ is odd.
+\end{ejercicio}
+\begin{solucion}
+Que $f(x,y)=f(-x,-y)$ significa
+\[
+\sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j=\sum_{i,j} a_{ij}(-x)^i(-y)^j=\sum_{i,j} a_{ij}(-1)^ix^i(-1)^jy^j=\sum_{i,j} (-1)^{i+j}a_{ij}x^iy^j
+\]
+con lo que $a_{ij}=(-1)^{i+j}a_{ij}$, de donde se deduce el resultado. 
+\end{solucion}
+\newpage
+\begin{ejercicio}{7.2.13}
+In Example 13, we discovered the algebraic relation $x^2\cdot y^2 = (xy)^2$ between the invariants
+$x^2$, $y^2$, and $xy$. We want to show that this is essentially the only relation. More precisely,
+suppose that we have a polynomial $g(u, v, w) ∈ k[u, v, w]$ such that $g(x^2, y^2, xy) = 0$.
+We want to prove that $g(u, v, w)$ is a multiple in $k[u, v, w]$ of $uv − w^2$ (which is the
+polynomial corresponding to the above relation).
+\begin{enumerate}[a.]
+\item If we divide $g$ by $uv − w^2$ using lex order with $u > v > w$, show that the remainder
+can be written in the form $uA(u, w) + vB(v, w) + C(w)$.
+\item Show that a polynomial $r = uA(u, w) + vB(v, w) + C(w)$ satisfies $r(x^2, y^2, xy) = 0$
+if and only if $r = 0$.
+\end{enumerate}
+
+\end{ejercicio}
+\begin{solucion}
+\end{solucion}
+\newpage
+\begin{ejercicio}{7.2.14}
+Consider the finite matrix group $C_4 ⊆ GL(2,\C)$ generated by
+$$A =\begin{pmatrix}
+i & 0\\
+0 & -i
+\end{pmatrix}
+∈ GL(2,\C).$$
+\begin{enumerate}[a.]
+\item Prove that $C_4$ is cyclic of order 4.
+\item Use the method of Example 13 to determine $\C[x, y]^{C_4}$.
+\item Is there an algebraic relation between the invariants you found in part (b)? Can you
+give an example to show how uniqueness fails?
+\item Use the method of Exercise 13 to show that the relation found in part (c) is the only
+relation between the invariants.
+\end{enumerate}
+\end{ejercicio}
+\begin{solucion}\
+\begin{enumerate}[a.]
+\item
+\[
+A^2=\begin{pmatrix}
+-1 & 0\\
+0 & -1
+\end{pmatrix}, A^3=\begin{pmatrix}
+-i & 0\\
+0 & i
+\end{pmatrix}, A^4=I
+\]
+\item Como $A^2=-I$, sabemos que $\C[x, y]^{C_4}$ es un subgrupo del conjunto invariante encontrado en el ejercicio \ref{ejer:7.2.12}. Usamos índices $l,j$ para evitar la confusión con la unidad imaginaria. De $A$ y $A^3$ obtenemos además las relaciones
+\[
+a_{lj}=(-1)^li^{l+j}a_{lj}, a_{lj}=(-1)^ji^{l+j}a_{lj}
+\]
+De la primera ecuación obtenemos que $a_{lj}=0$ en los siguientes casos:
+\[
+\begin{cases}
+l\equiv 1\mod 2 & l+j\equiv 0,1,3\mod 4\\
+l\equiv 0\mod 2 & l+j\equiv 1,2,3\mod 4
+\end{cases}
+\]
+De la segunda obtenemos que $a_{lj}= 0$ en los siguientes casos:
+
+\[
+\begin{cases}
+j\equiv 1\mod 2 & l+j\equiv 0,1,3\mod 4\\
+j\equiv 0\mod 2 & l+j\equiv 1,2,3\mod 4
+\end{cases}
+\]
+
+Vemos que en todos estos casos se cumple que si $l+j$ es impar, $a_{lj}=0$.  Tenemos por tanto los invariantes homogéneos
+\[
+x^ly^j=\begin{cases}
+x^{2k+1}y^{4h-2k-1} & l\equiv 1\mod 2,l+j\equiv 0\mod 4\\
+x^{2k+1}y^{4h-2k} & l\equiv 1\mod 2,l+j\equiv 1\mod 4\\
+x^{2k+1}y^{4h-2k+2} & l\equiv 1\mod 2,l+j\equiv 3\mod 4\\
+x^{2k}y^{4h-2k} & l\equiv 0\mod 2,l+j\equiv 0\mod 4\\
+x^{2k}y^{4h-2k+2} & l\equiv 0\mod 2,l+j\equiv 2\mod 4\\
+x^{2k}y^{4h-2k+3} & l\equiv 0\mod 2,l+j\equiv 3\mod 4\\
+x^{4h-2k-1}y^{2k+1} & j\equiv 1\mod 2,l+j\equiv 0\mod 4\\
+x^{4h-2k}y^{2k+1} & j\equiv 1\mod 2,l+j\equiv 1\mod 4\\
+x^{4h-2k+2}y^{2k+1} & j\equiv 1\mod 2,l+j\equiv 3\mod 4\\
+x^{4h-2k+1}y^{2k} & j\equiv 0\mod 2,l+j\equiv 1\mod 4\\
+x^{4h-2k+2}y^{2k} & j\equiv 0\mod 2,l+j\equiv 2\mod 4\\
+x^{4h-2k+3}y^{2k} & j\equiv 0\mod 2,l+j\equiv 2\mod 4\\
+\end{cases}
+\]
+
+\item Tenemos
+\[
+x^{2k+1}y^{4h-2k-1}\cdot x^{4h-2k+3}y^2k=x^{4(h+1)}y^{4h}
+\]
+y
+\[
+x^{2k+1}y^{4h-2k-1}\cdot x^{4h-2k-1}y^{2k+1}=x^{4h}y^{4h}
+\]
+por lo que el primero se consigue multiplicando el segundo por $x$, por lo que si aparece algún término con $x^{4(h+1)}y^{4h}$, podrá escribirse de dos formas usando los invariantes encontrados.
+\item
+\end{enumerate}
+\end{solucion}
+
+\newpage
+\begin{ejercicio}{7.2.15}
+Consider
+\[
+V_4 =\left\{\pm\begin{pmatrix}
+1 & 0\\
+0 & 1
+\end{pmatrix},\pm\begin{pmatrix}
+0 & 1\\
+1 & 0
+\end{pmatrix}\right\}\subseteq GL(2, k)
+\]
+\begin{enumerate}[a.]
+\item Show that $V_4$ is a finite matrix group of order 4.
+\item Determine $k[x, y]^{V_4}$.
+\item Show that any invariant can be written uniquely in terms of the generating invariants
+you found in part (b).
+\end{enumerate}
+\end{ejercicio}
+\begin{solucion}\
+\begin{enumerate}[a.]
+\item Trivial.
+\item En el Ejemplo 12 aparece calculado $k[x, y]^{V_4}=k[x^2,y^2]$. 
+\item Como $x^2$ es algebraicamente independiente de $y^2$ se sigue el resultado.
+\end{enumerate}
+\end{solucion}
+
 \end{document}
+