¿Quién trabaja para mí? Yung Beef

ACC/Ejercicios/Relación3.1.tex

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 \title{Ejercicios de Ideals, Varieties, and Algorithms (4ª Edición)}
 \author{Diego Pedraza López, Javier Aguilar Martín, Rafael González López}
 \maketitle
-
 \begin{ejercicio}{3.1.1}
 Let $I\subset k[x_1,\dotsc,x_n]$ be an ideal.
 \begin{enumerate}[a.]

ACC/Ejercicios/Relación3.2.tex

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 Probémoslo por doble contención. Por el Lema 1, $\pi_1(V)\subseteq\V(I_1)$, luego es claro que
 $$
 \pi_1(V)\cup (\V(I_1)\cap \V(c_1,\dots, c_s))\subset \V(I_1)
-$$ Por otro lado, sean los $c_i$ como los del Teorema de Extensión y $a=(a_{l+1},\dots, a_n)\in \V(I_1)$. Si $a\in \V(c_1,\dotsc, c_s)$, y por tanto en $\V(c_1,\dotsc,c_s)\cap I_1$, o bien $a \notin \V(c_1,\dotsc,c_s)$. En el segundo caso, por el Teorema de Extensión, $a$ puede extenderse a una solución en $V$, por lo que $a\in \pi_1(V)$.
+$$ Por otro lado, sean los $c_i$ como los del Teorema de Extensión y $a=(a_{l+1},\dots, a_n)\in \V(I_1)$. Si $a\in \V(c_1,\dotsc, c_s)$, y por tanto en $\V(c_1,\dotsc,c_s)\cap \V(I_1)$, o bien $a \notin \V(c_1,\dotsc,c_s)$. En el segundo caso, por el Teorema de Extensión, $a$ puede extenderse a una solución en $V$, por lo que $a\in \pi_1(V)$.
 \end{solucion}
 
 \newpage
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 Theorem. Also, the only varieties contained in $\C$ are either $\C$ or finite subsets of $\C$.
 \end{ejercicio}
 \begin{solucion}
-Si $I_1 \neq \{0\}$ entonce $\exists f \in k[y]$ tal que $f \in I_1$. Dado que $\gene{f}\subset I_1$, $\V(I_1) \subset \V(f)$, luego es finito, pues $f$ se anula en $n$ puntos. Ahora bien, si $\pi_1(V)$ es un conjunto finito de puntos es, en particular, una variedad en $\C$. Por el Teorema 3, $\V(I_1)$ es la menor variedad que contiene a $\pi_1(V)$, pero por ser variedad, la menor variedad que la contiene es ella misma.
+Si $I_1 \neq \{0\}$ entonce $\exists f \in k[y]$ tal que $f \in I_1$. Dado que $\gene{f}\subset I_1$, $\V(I_1) \subset \V(f)$, luego es finito, pues $f\in k[y]$ se anula en un número finito de puntos. Ahora bien, si $\pi_1(V)$ es un conjunto finito de puntos es, en particular, una variedad en $\C$. Por el Teorema 3, $\V(I_1)$ es la menor variedad que contiene a $\pi_1(V)$, pero por ser variedad, la menor variedad que la contiene es ella misma.
 
 
 \end{solucion}

ACC/Ejercicios/Relación3.3.tex

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 \begin{enumerate}[a.]
 \item[]
 \item Basta tomar $N = |multideg(h)|$. Damos un ejemplo. Si $h=x^2z+y^3+z+1$ entonces 
-$$g^3h = g^3x^2z+g^3y^3+g^3z+g^3 = g_1g_2^3g_3^2(g_1x)^2(g_3z)+g_1^3g_3^3(gy)^3+g_1^3g_2^3g_3^2(gz)+g^3
+$$g^3h = g^3x^2z+g^3y^3+g^3z+g^3 = g_1g_2^3g_3^2(g_1x)^2(g_3z)+g_1^3g_3^3(g_2y)^3+g_1^3g_2^3g_3^2(g_3z)+g^3
 $$
 \item Si renombramos $y_i = g_ix_i$ y consideramos el orden lexicográfico dado por $$t_1 > \dotsc > t_m  > y_1 > \dotsc > y_n$$
 entonces es claro que podemos dividir por $\{y-f_i\}$ y obtener
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 G=\{v^2 - yz, x^2yz - z^4, u - z, vx - z^2, vz^2 - xyz \}
 $$
 de donde se deduce trivialmente el resultado con el Teorema de Eliminación.
-\item En este caso $W=\V(uv)$. Notemos que siguiendo Probemos la igualdad del enunciado. Es claro que $\forall (u,v)\in \C^2\setminus W$
+\item En este caso $W=\V(uv)$. Probemos la igualdad del enunciado. Es claro que $\forall (u,v)\in \C^2\setminus W$
 $$
 j(u,v)=\left(\frac{1}{uv},u,v,\frac{u^2}{v},\frac{v^2}{u},u\right) \in \V(J)
 $$