Merge pull request #13 from kol9/patch-14

ticket 6 done

src/math-log-questions.md

@@ -736,10 +736,10 @@ $z$-максимальный в M, если нет такого $t\in M: z\sqsub
 
 * **Утв.** если A - алгебра Гейтинга, то ${\Gamma (A)}$ - алгебра Гейтинга
 
+* **Утв.** $\Gamma(A)$-Гёделева (Довольно очевидно по определению: Какого бы ни было отношение между элементами, a+b максимум даст w. А a+b =1 тогда, когда действительно один из элементов еденица)
 
-* Дизъюнктивность ИИВ. Если $\vdash\alpha\lor\beta$, то $\vdash\alpha$ или $\vdash\beta$
 
-* **Определение.**  Гомоморфизм:
+* **Определение.**  Гомоморфизм:
 
   Пусть у нас есть две алгебры $\mathcal{A,B}$. 
 
@@ -758,14 +758,70 @@ $z$-максимальный в M, если нет такого $t\in M: z\sqsub
     \phi(0_\mathcal{A}\rightarrow 0_\mathcal{A})=0_\mathcal{B}\rightarrow0_\mathcal{B}=1_\mathcal{B}
     $$
 
-* **Следствие** TODO
+* Пусть $f_\mathcal{A}: P\rightarrow V_\mathcal{A}$ (Оценка f в алгебре A это функция, которая отображает значения переменных в алгебру)
 
-  * 
+  Тогда будем говорить следующее:
 
-  <details><summary>Доказательство</summary>
-  * **Гомоморфизм** - TODO()
-  TODO()
-  </details>
+  * Пусть есть $f_\mathcal{A}$ - оценка переменных в алгебре A, и гомоморфизм $\phi: \mathcal{A\rightarrow B}$, причем $\phi(f_\mathcal{A})(x)=\phi(f_\mathcal{A}(x))$ ()
+
+    тогда
+
+    $F$ - некая формула  $[[F]]_{f_\mathcal{A}}$-ее оценка в $\mathcal{A}$, $[[F]]_{\phi(f_\mathcal{A})}$-ее оценка в $\mathcal{B}$
+
+    тогда, что $\phi([[F]]_{f_\mathcal{A}})=[[F]]_{\phi(f_\mathcal{A})}$  (Под этой записью подразумевается: *давайте перенесем все оценки для переменных в алгебру B из A, и все вычисления сделаем в новой алгебре по новому правилу*)
+
+    *Грубо говоря, если мы отображаем результат функции оценки, то это тоже самое, что мы сделаем новую оценку в новой алгебре*
+
+  * **Доказательство**
+
+    *индукция по структуре формулы*
+
+    ***База:*** $\phi([[P_i]]_{f_\mathcal{A})}=\phi(f_\mathcal{A}(P_i))=\phi(f_\mathcal{A})(P_i)$ (сделаем оценку для переменной $P_i$, все знаки равенства - по определению)
+
+    ***Переход:*** 
+    $$
+    \phi([[\alpha\star\beta]]_{f_\mathcal{A}})
+    =\phi([[\alpha]]_{f_\mathcal{A}}\star_{\mathcal{A}}[[\beta]]_{f_\mathcal{A}})
+    =\phi([[\alpha]]_{f_\mathcal{A}})\star_{\mathcal{B}}\phi([[\beta]]_{f_\mathcal{A}})
+    =[[\alpha]]_{\phi(f_\mathcal{A})}\star_{\mathcal{B}}[[\beta]]_{\phi(f_\mathcal{A})}
+    =[[\alpha\star\beta]]_{\phi(f_\mathcal{A})}
+    $$
+
+
+    (Второе равенство - по свойству гомоморфизма, третье равенство - по индукционному предположению)
+
+    Таким образом, 
+
+* Рассмотрим $\mathcal{L}$ - алгебру Линденбаума и  $\Gamma(\mathcal{L})$
+
+  $\phi: \Gamma(\mathcal{L})\rightarrow\mathcal{L}$ (Определим гомоморфизм)
+  $$
+  \phi(x) = \begin{cases}
+    \mathcal{1_L}=[\alpha\rightarrow\alpha]_\mathcal{L} & \mbox{если $x=1_{\Gamma(\mathcal{L})}$ или $x=w$}\\
+    [x]_\mathcal{L}, & \mbox{если $x\neq1_{\Gamma({\mathcal{L}})}$ и $x\neq w$}
+  \end{cases}
+  $$
+  //(w и 1 отображаем в старую единицу, а всех остальных оставляем на месте)
+
+* **Утв.** $\phi$ - гомоморфизм (без док-ва)
+
+* **Дизъюнктивность ИИВ.** Если $\vdash\alpha\lor\beta$, то $\vdash\alpha$ или $\vdash\beta$
+
+  $(NOTE)$ В классической логике это не так: $\vdash A \vee\neg A$, но $A$ и $\neg A$ опровержимы
+
+  * **Доказательство**
+
+    1. $[[\alpha\vee\beta]]_\mathcal{L}=1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ [[\alpha\vee\beta]]_{\Gamma(\mathcal{L})}$
+
+       Это выполнено, т. к. $\Gamma(\mathcal{L})$-алгебра Гейтинга. А значит в ней любая доказуемая формула оценивается в истину.
+
+    2. $[[\alpha]]_{\Gamma(\mathcal{L})}=1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ [[\alpha]]_{\mathcal{L}}=1$
+
+       У нас есть гомоморфизм, определенный выше. И у него выполнено такое свойство. 
+
+       $[[\alpha]]_\mathcal{L}=1\Rightarrow\vDash\alpha$ в алгебре Линденбаума.Но так как она полна, то $\vdash\alpha$
+
+    (Н.У.О доказывали для $\alpha$, поэтому теорема доказана)
 
  ##