【Hackathon 5th No.56】A Physics-Informed Neural Network to solve 2D st…

…eady-state heat equation (PaddlePaddle#692)

* Add Hackathon 5th Science 56 RFC

* 1. Fix $T$ display

* Add  punctuation after each equation

hackathon/hackathon_5th/20231009_science_56.md

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+# Science 56 设计文档
+
+| API 名称                                                         | 新增 API 名称          |
+| ---------------------------------------------------------------- | ---------------------- |
+| 提交作者<input type="checkbox" class="rowselector hidden">       | Gxinhu                 |
+| 提交时间<input type="checkbox" class="rowselector hidden">       | 2023-10-09             |
+| 版本号                                                           | V1.0                   |
+| 依赖 CINN 版本<input type="checkbox" class="rowselector hidden"> | PaddlePaddle 2.5.0     |
+| 文件名                                                           | 20231009_science_56.md |
+
+# 1. 概述
+
+## 1.1 相关背景
+
+热传导是自然界中的常见现象，广泛应用于工程、科学和技术领域。了解和模拟传热过程对于设计和优化热传导设备、材料和系统至关重要。2D 定常传热方程描述了稳态热传导过程，其数学表达形式为：
+
+$$
+\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0,
+$$
+
+其中， $T$ 表示温度分布，传统的求解方法涉及使用数值方法如有限元法或有限差分法，这些方法通常需要离散化领域并求解大规模矩阵系统。近年来，基于物理信息的神经网络（Physics-informed neural networks, PINN）逐渐成为求解偏微分方程的新方法。PINN 结合了神经网络的灵活性和对物理约束的建模能力，能够直接在连续领域中解决偏微分方程问题。
+
+## 1.2 功能目标
+
+基于 PaddleScience API 复现 [Heat-PINN](https://github.com/314arhaam/heat-pinn/tree/main)
+
+## 1.3 意义
+
+本文档的目标是介绍基于物理信息的神经网络（PINN）以及如何将其应用于求解 2D 定常传热方程。我们将探讨神经网络的架构设计、损失函数的构建、数据准备和模型训练等关键步骤，以及如何在求解传热方程过程中保持与复现项目的一致性。
+
+# 2. PaddleScience 现状
+
+由于 Heat-PINN 里面的传热方程就是 2D-Laplace 方程，恰好 PaddleScience API 也已经实现了 [2D-Laplace 方程](https://github.com/PaddlePaddle/PaddleScience/blob/develop/examples/laplace/laplace2d.py)，因此可以直接调用。
+
+复现算法使用的模型 MLP 在 PaddleScience 也有现成的例子可以直接调用。
+
+# 3. 目标调研
+
+## 3.1 要解决的问题和使用的方法
+
+在参考项目中，使用基于物理信息的神经网络（PINN）来解决二维热传导方程，并将最终结果与基于有限差分法（FDM）的解进行比较。
+
+控制方程为：
+
+$$
+\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0,
+$$
+
+在以下区域内：
+
+$$
+D = \\{(x, y)|-1 \leq x \leq +1,-1 \leq y \leq +1 \\},
+$$
+
+具有以下边界条件：
+
+$$
+\begin{cases}
+T(-1, y) = 75.0 ^\circ{C}, \\
+T(+1, y) = 0.0 ^\circ{C}, \\
+T(x, -1) = 50.0 ^\circ{C},\\
+T(x, +1) = 0.0 ^\circ{C}.
+\end{cases}
+$$
+
+## 3.2 复现目标
+
+1. 对齐 train loss
+2. 对齐 PINN 预测的结果与 FDM 求出来的结果误差
+
+# 4. 设计思路与实现方案
+
+以下是一个可能的实现步骤：
+
+## 4.1 定义 PDE 约束
+
+首先，需要明确定义需要求解的 2D 定常传热方程，幸运的是 PaddleScience 存在相关的 2D Laplace 方程，因此直接调用即可：
+
+```python
+# set equation
+equation = {"heat": ppsci.equation.Laplace(dim=2)}
+
+# set geometry
+geom = {"rect": ppsci.geometry.Rectangle((-1.0, -1.0), (1.0, 1.0))}
+
+# set train dataloader config
+train_dataloader_cfg = {
+    "dataset": "IterableNamedArrayDataset",
+    "iters_per_epoch": ITERS_PER_EPOCH,
+}
+
+NPOINT_PDE = 99**2
+# set constraint
+pde_constraint = ppsci.constraint.InteriorConstraint(
+    equation["heat"].equations,
+    {"laplace": 0},
+    geom["rect"],
+    {**train_dataloader_cfg, "batch_size": NPOINT_PDE},
+    ppsci.loss.MSELoss("mean"),
+    weight_dict={
+        "laplace": 1,
+    },
+    evenly=True,
+    name="EQ",
+)
+```
+
+## 4.2 构建边界条件约束
+
+根据参考项目所示，边界条件为 Dirichlet 边界条件，即边界条件为固定的值。可以参考 PaddleScience 其他相关项目 [ldc2d_steady_Re10.py](https://paddlescience-docs.readthedocs.io/zh/latest/zh/examples/ldc2d_unsteady/?h=ldc) 来构建边界条件约束。
+
+```python
+bc_top = ppsci.constraint.BoundaryConstraint(
+    {"u": lambda out: out["u"]},
+    {"u": 0},
+    geom["rect"],
+    {**train_dataloader_cfg, "batch_size": NPOINT_TOP},
+    ppsci.loss.MSELoss("mean"),
+    weight_dict={
+        "u": 0.25,
+    },
+    criteria=lambda x, y: np.isclose(y, 1),
+    name="BC_top",
+)
+
+# Other boundary constraints (bc_bottom, bc_left, bc_right) follow a similar structure.
+```
+
+## 4.3 构建神经网络模型
+
+构建一个神经网络模型，该模型可以表示温度分布 $T$ 。模型的输入是 2D 空间中的坐标 $(x,y)$，输出是对应点的温度 $T$。
+
+神经网络的架构可以根据具体问题进行设计，通常包括多层感知机。参考项目使用的为9层、隐藏层维度为20的多层感知机网络模型。将上面的描述转化为 PaddleScience 代码为：
+
+```python
+model = ppsci.arch.MLP(("x", "y"), ("T",), 9, 20, "tanh")
+```
+
+## 4.4 训练模型
+
+使用优化算法（如梯度下降或 Adam）来最小化损失函数，以训练神经网络模型。
+
+## 4.5 评估模型
+
+在训练完成后，与 FDM 求解的结果进行对比。
+
+# 5. 测试和验收的考量
+
+测试与验收参考 [PaddleScience 模型复现流程及验收标准](https://paddlescience-docs.readthedocs.io/zh/latest/zh/reproduction/)。
+
+1. 提供完整的基于 PaddleScience 的复现代码。
+2. 提供复现完成后需提供必要的训练产物，包括训练结束后保存的打印信息日志文件、`.pdparams` 格式的模型权重参数文件、撰写的案例文档。
+
+# 6. 可行性分析和排期规划
+
+## 6.1 可行性分析
+
+参考项目的难度较小，能够有效准时完成项目。
+
+## 6.2 排期规划
+
+- 202309：调研
+- 202310：完成基于 PaddleScience 的复现
+- 202310：整理项目产出，撰写案例文档
+
+# 7. 影响面
+
+对其他部分毫无影响。