Add foundational theorems on comparison and inequalities in Surreal Numbers

Author: weilycoder

source/_posts/surreal.md

@@ -32,19 +32,23 @@ $$
 
 + $x\ge y$ 和 $x\le y$ 的定义
 
-  + $x\ge y$ 当且仅当
-
-    $$
-    \tag{1} (\not\exists x_R\le y)\land(\not\exists y_L\ge x);
-    $$
-
-  + $x\le y$ 当且仅当 $y\ge x$。
+  $$
+  \tag{1}
+  \begin{aligned}
+  (x\ge y) &\Leftrightarrow ((\not\exists x_R\le y)\land(\not\exists y_L\ge x)); \\\\
+  (x\le y) &\Leftrightarrow (y\ge x)
+  \end{aligned}
+  $$
 
-+ $x=y$，$x\gt y$，$x\lt y$ 的定义
++ $x=y$、$x\gt y$、$x\lt y$ 的定义
 
-  + $x=y$ 当且仅当 $(x\ge y)\land(y\ge x)$；
-  + $x\gt y$ 当且仅当 $(x\ge y)\land(y\not\ge x)$；
-  + $x\lt y$ 当且仅当 $y\gt x$。
+  $$
+  \begin{aligned}
+  (x=y) &\Leftrightarrow ((x\ge y)\land(y\ge x)) \\\\
+  (x\gt y) &\Leftrightarrow ((x\ge y)\land(y\not\ge x)) \\\\
+  (x\lt y) &\Leftrightarrow (y\gt x)
+  \end{aligned}
+  $$
 
 + $x+y$ 的定义
 
@@ -57,13 +61,17 @@ $$
   $$
   \tag{3} -x=\\{-x_R\mid -x_L\\}
   $$
-  
+
 + $xy$ 的定义
 
   $$
   \tag{4} xy=\\{x_Ly+xy_L-x_Ly_L,x_Ry+xy_R-x_Ry_R\mid x_Ly+xy_R-x_Ly_R,x_Ry+xy_L-x_Ry_L\\}
   $$
 
+由于等号 $=$ 的特殊性，需要指出，这里的等号意义比“相等”要弱一些，具体表现在，我们可以构造一种运算 $f$，使得 $x=y$ 于 $f(x)=f(y)$ 不等价。
+
+因此，后文中定义变量的时候，使用 $:=$ 表示赋值；使用 $\equiv$ 表示两个数的 $L$ 和 $R$ 分别相等（这时若 $x\equiv y$，则显然可以将式子中的一切 $y$ 替换为 $x$）。
+
 ## 超限归纳
 
 不加说明地引入“超限归纳法”。
@@ -82,11 +90,21 @@ $$
 
 显然伪数也应该满足超限归纳法。
 
-## 一些构造
+## 创造日
+
+由于数的定义是递归进行的，因此每个数的构造必须依赖曾经构造的数。但当我们还没有构造任何一个数的时候，我们所能使用的数集只有 $\varnothing$。
 
-<p class="item-img" data-src="/image/ONAG-22.png" data-lg-id="1fbdc6d4-9755-4bc2-ae7d-fbb453610836">
-  <img src="/image/ONAG-22.png" style="zoom:27%; float:right"/>
-</p>
+因此，我们在最开始的时候只能构造 $\\{\mid\\}$，我们将它称为 $0$。我们不妨称这是第 $0$ 天。
+
+接下来，我们可以使用 $0$ 作为 $L$ 或 $R$ 中的元素，因此可以构造出 $\\{0\mid \\}$ 和 $\\{\mid 0\\}$，分别称它们为 $1$ 和 $-1$，并称这时为第 $1$ 天。
+
+如此不断进行下去，第 $n$ 天构造的所有数中，$n$ 是最大的一个，而 $-n$ 是最小的一个。
+
+由于允许无限集合的出现，这个过程可以持续到第 $\omega$ 天，并可以继续下去。由此可以看到，Surreal Numbers 的数量至少和序数同样多，这样 $\mathbf{No}$ 不能成为一个集合（set）而只能成为一个类（class）。
+
+![Surreal Numbers](/image/ONAG-22.png)
+
+## 一些构造
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -104,11 +122,68 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-可以验证，上述命名符合我们的习惯（$1+1=2,0\lt 1\lt 2,\cdots$）。
+可以验证，上述命名符合我们使用实数的习惯（$1+1=2,0\lt 1\lt 2,\cdots$）。
 
 这里给出一个可以简化比较的引理：
 
 + 若 $y\not\ge x$，则 $\\{y,x_L\mid x_R\\}=x$；
 + 若 $y\not\le x$，则 $\\{x_L\mid y,x_R\\}=x$。
 
-## 未完待续
+## 基础定理
+
+若无说明，以下定理适用于全体游戏。
+
+### 关于比较的定理
+
+#### 等号的自反性
+
+$$
+\tag{T0}
+\begin{aligned}
+\text{(i)} \quad & x \not\ge x_R \\\\
+\text{(ii)} \quad & x_L \not\ge x \\\\
+\text{(iii)} \quad & x \ge x \\\\
+\text{(iv)} \quad & x = x
+\end{aligned}
+$$
+
+> **证明：**
+> 
+> 首先，回想“大于”的定义：$x\ge y$ 当且仅当 $\not\exists x_R\le y$ 且 $\not\exists y_L\ge x$。
+>
+> 1. 将定义中的 $y$ 使用 $x_R$ 替换，发现一定有 $x_R\le x_R'$，因此 $x\ge x_R$ 不成立。
+> 2. 同理可证。
+> 3. 令 $y:=x$，我们已经证明不存在 $x_R\le y$ 且不存在 $y_L\ge x$，因此 $x\ge y$。
+> 4. 由等号的定义得。
+
+#### 不等号的传递性
+
+$$
+\tag{T1}
+((x\ge y)\land (y\ge z)) \Rightarrow x\ge z
+$$
+
+> **证明：**
+>
+> 因为 $x\ge y$，因此不存在 $x_R\le y$，由归纳假设，不存在 $x_R\le z$，同理得不存在 $z_L\ge x$，因此 $T_1(x,y,z)$ 成立。
+
+请注意这条定理的推论之一是，若 $x=y$，则 $x\gt x$ 等价于 $y\gt z$。
+
+#### 不等号的连接性
+
+这条定理需要用到 $\text{(0)}$，因此对于游戏不适用。
+
+$$
+\tag{T2}
+\begin{aligned}
+\forall &(x\in\mathbf{No})(\forall x_L,x_R (x_L\lt x\lt x_R)) \\\\
+\forall &(x,y\in\mathbf{No})(x\le y\lor y\le x)
+\end{aligned}
+$$
+
+> **证明：**
+>
+> 1. 已经证明，$x\not\ge x_R$ 故只需证明 $x_R\ge x$。根据定义，它成立当且仅当 $x_{RR}\le x$ 或 $x_R\le x_L$。若前者成立，根据归纳假设，有 $x_R\lt x_{RR}\le x$。而后者根据 $\text{(0)}$ 不成立。
+> 2. 若 $x\not\ge y$，则 $x_R\le y$ 或 $x\le y_L$，即 $x\lt x_R\le y$ 或 $x\le y_L\lt y$。
+
+因此，全体数字是全序的。