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## Distribución de probabilidad
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# Conceptos básicos
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## Probabilidad
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Por ahora, os basta la siguiente definición de probabilidad:
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<lclass = "definition">Probabilidad. </l>Medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento que aún no ha sucedido y que se expresa como un número entre 0 y 1, ambos incluidos.
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<divclass = "example">
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**Ejemplo**
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La probilidad de que salga cara cuando tiramos una moneda no trucada es $p = \frac{1}{2} = 0.5$
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</div>
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## Variable aleatoria
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<lclass = "definition">[Variable aleatoria](https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria).</l> Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Las hay de dos tipos: discretas y continuas.
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-
<lclass = "definition">[Distribución de probabilidad](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_probabilidad).</l> En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra.
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- <lclass = "definition">Variable aleatoria discreta.</l> Solamente puede tomar un número finito de valores.
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- <lclass = "definition">Variable aleatoria continua.</l> Puede tomar como valores un intervalo (finito o infinito) de números reales.
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<divclass = "example">
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**Ejemplo**
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La variable aleatoria $X$ que cuenta el número de caras que salen al tirar una moneda $n$ veces es una variable aleatoria discreta
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</div>
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## Funciones de probabilidad y densidad
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+
- <lclass = "definition">Función de probabilidad.</l> Asocia a cada punto del dominio de $X$ la probabilidad de que ésta lo asuma. Es útil cuando $X$ es v.a. discreta. De ser $X$ v.a. continua, la función de probabilidad es la función nula.
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- <lclass = "definition">Función de densidad.</l> Cuando $X$ es v.a. continua, la función de densidad describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
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+
## Función de distribución
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+
<lclass = "definition">Función de distribución.</l> Describe la probabilidad de que $X$ tenga un valor menor o igual que $x$.
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- Es creciente
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- Toma valores entre 0 y 1
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## Esperanza de una variable aleatoria
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<lclass = "definition">Esperanza</l>
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<lclass = "definition">Esperanza de una variable aleatoria discreta.</l> E$[X]= \sum_{i=1}^nx_n\cdot p\{X=x_i\}$. Es decir, es la suma del producto de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria discreta por su probabilidad.
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+
<lclass = "definition">Esperanza de una variable aleatoria continua.</l> E$[X]= \int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)$. Es decir, es la integral de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria continua por su función de densidad.
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## Varianza de una variable aleatoria
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<lclass = "definition">Varianza</l>
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<lclass = "definition">Varianza.</l>
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## Distribución de probabilidad
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<lclass = "definition">[Distribución de probabilidad](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_probabilidad).</l> En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra.
Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de repeticiones independientes del experimento hasta haber conseguido éxito", diremos que $X$ se distribuye como una Geométrica con parámetro $p$
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$$X\sim \text{Geom}(p)$$
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+
donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q = 1-p$ es la probabilidad de fracaso
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+
- El **dominio** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}$ o bien $X(\Omega) = \{1,2,\dots\}$ en función de si empieza en 0 o en 1
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156
+
- La **función de probabilidad** vendrá dada por $$f(k) = (1-p)^{k}p \qquad\text{ si empieza en 0}$$
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$$f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}$$
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+
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## Distribución Geométrica
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-**Esperanza** E$(X) = \frac{1-p}{p}$ si empieza en 0 y E$(X) = \frac{1}{p}$ si empieza en 1
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-**Varianza** Var$(X) = \frac{1-p}{p^2}$
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- No tiene memoria. Es decir, $p\{X>m+n:\ X>m\} = p\{X>n\}$
<p>Por ahora, os basta la siguiente definición de probabilidad:</p>
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+
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+
<p><l class = "definition">Probabilidad. </l>Medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento que aún no ha sucedido y que se expresa como un número entre 0 y 1, ambos incluidos.</p>
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+
125
+
<div class="example">
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+
<p><strong>Ejemplo</strong></p>
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+
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+
<p>La probilidad de que salga cara cuando tiramos una moneda no trucada es \(p = \frac{1}{2} = 0.5\)</p></div>
<p><l class = "definition"><a href='https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria' title=''>Variable aleatoria</a>.</l> Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Las hay de dos tipos: discretas y continuas.</p>
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<p><l class = "definition"><a href='https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_probabilidad' title=''>Distribución de probabilidad</a>.</l> En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra.</p>
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+
<ul>
135
+
<li><l class = "definition">Variable aleatoria discreta.</l> Solamente puede tomar un número finito de valores.</li>
136
+
<li><l class = "definition">Variable aleatoria continua.</l> Puede tomar como valores un intervalo (finito o infinito) de números reales.</li>
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</ul>
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139
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<div class="example">
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<p><strong>Ejemplo</strong></p>
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<p>La variable aleatoria \(X\) que cuenta el número de caras que salen al tirar una moneda \(n\) veces es una variable aleatoria discreta</p></div>
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</article></slide><slide class=""><hgroup><h2>Funciones de probabilidad y densidad</h2></hgroup><article id="funciones-de-probabilidad-y-densidad">
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<ul>
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<li><p><l class = "definition">Función de probabilidad.</l> Asocia a cada punto del dominio de \(X\) la probabilidad de que ésta lo asuma. Es útil cuando \(X\) es v.a. discreta. De ser \(X\) v.a. continua, la función de probabilidad es la función nula.</p></li>
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<li><p><l class = "definition">Función de densidad.</l> Cuando \(X\) es v.a. continua, la función de densidad describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.</p></li>
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</ul>
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</article></slide><slide class=""><hgroup><h2>Función de distribución</h2></hgroup><article id="funcion-de-distribucion">
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<p><l class = "definition">Función de distribución.</l> Describe la probabilidad de que \(X\) tenga un valor menor o igual que \(x\).</p>
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<ul>
156
+
<li>Es creciente</li>
157
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<li>Toma valores entre 0 y 1</li>
158
+
</ul>
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</article></slide><slide class=""><hgroup><h2>Esperanza de una variable aleatoria</h2></hgroup><article id="esperanza-de-una-variable-aleatoria">
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<p><l class = "definition">Esperanza</l></p>
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<p><l class = "definition">Esperanza de una variable aleatoria discreta.</l> E\([X]= \sum_{i=1}^nx_n\cdot p\{X=x_i\}\). Es decir, es la suma del producto de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria discreta por su probabilidad.</p>
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<p><l class = "definition">Esperanza de una variable aleatoria continua.</l> E\([X]= \int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)\). Es decir, es la integral de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria continua por su función de densidad.</p>
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</article></slide><slide class=""><hgroup><h2>Varianza de una variable aleatoria</h2></hgroup><article id="varianza-de-una-variable-aleatoria">
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<p><l class = "definition">Varianza</l></p>
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<p><l class = "definition">Varianza.</l></p>
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</article></slide><slide class=""><hgroup><h2>Distribución de probabilidad</h2></hgroup><article id="distribucion-de-probabilidad">
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<p><l class = "definition"><a href='https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_probabilidad' title=''>Distribución de probabilidad</a>.</l> En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra.</p>
<p>Si \(X\) es variable aleatoria que mide el "número de repeticiones independientes del experimento hasta haber conseguido éxito", diremos que \(X\) se distribuye como una Geométrica con parámetro \(p\)</p>
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<p>\[X\sim \text{Geom}(p)\] donde \(p\) es la probabilidad de éxito y \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso</p>
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<ul>
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<li><p>El <strong>dominio</strong> de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}\) o bien \(X(\Omega) = \{1,2,\dots\}\) en función de si empieza en 0 o en 1</p></li>
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<li><p>La <strong>función de probabilidad</strong> vendrá dada por \[f(k) = (1-p)^{k}p \qquad\text{ si empieza en 0}\] \[f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}\]</p></li>
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