Obrázky nově nakreslené pomocí LaTeXového balíku Asymptote. Proto jse…

…m musel přejmenovat soubory a přidat Makefile.

.gitignore

@@ -2,3 +2,7 @@
 *.log
 *.out
 *.synctex.gz
+*.asy
+cviceni_NUM_A4-*.pdf
+cviceni_NUM_kindle-*.pdf
+*.pre

Makefile

@@ -0,0 +1,7 @@
+all: cviceni_NUM.tex cviceni_NUM_A4.tex cviceni_NUM_kindle.tex
+	pdflatex cviceni_NUM_kindle.tex
+	asy cviceni_NUM_kindle*.asy
+	pdflatex cviceni_NUM_kindle.tex
+	pdflatex cviceni_NUM_A4.tex
+	asy cviceni_NUM_A4*.asy
+	pdflatex cviceni_NUM_A4.tex

cviceni_NUM.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-%!TEX root = cvičení NUM - kindle.tex
+%!TEX root = cviceni_NUM_kindle.tex
 %
 %  Cvičení z NUM
 %
@@ -40,7 +40,8 @@
 \usepackage{amsthm}
 \usepackage{latexsym}
 
-\usepackage{graphicx}
+\usepackage[pdftex]{graphicx}
+\usepackage{asymptote}
 
 
 \newtheorem{definition}{Definice}
@@ -51,6 +52,8 @@
 
 \newcommand{\inte}[2]{\int\limits_0^1 #1\,\mathrm{d}#2}
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\bbA}{\mathbb{A}}
+\newcommand{\bbF}{\mathbb{F}}
 \newcommand{\pa}{\partial}
 
 \title{Zápisky z cvičení NUM 2011}
@@ -230,7 +233,8 @@
 
 	Hledáme přesnost aproximace
 	$$ \psi = L_h(P_h y ) - P_h(L_y).$$
-	$P_h$ je projekce funkcí definovaných na $(a, b)$ do funkcí definovaných na síti $\overline{\omega_h}$.
+	$P_h$ je projekce funkcí definovaných na $(a, b)$ do funkcí definovaných na síti
+	$\overline{\omega_h}$.
 	\begin{align*}
 		\psi &= -(p(P_h y)_{\overline{x}})_x + qP_hy - f - P_h(-(py')' + qy - f) \\
 		\psi_j &= -(p(P_h y)_{\overline{x}})_x - P_h(-(py')') \quad \rightarrow O(h)
@@ -241,10 +245,42 @@
 	$$ p_{i \pm \frac{1}{2}} = p\left(a + \left(i \pm \frac{1}{2}\right)h \right) \quad
 	\rightarrow O(h^2)$$
 	\begin{enumerate}
-		\item ~\\ \includegraphics{mexson1.pdf}
+		\item ~\\ \vspace{-1cm}
+			\begin{asy}
+				size(7cm);
+				draw((0,0.5)--(1,0.5));	// vodorovná čára
+				draw((0.1,0.48)--(0.1,0.52));	// první svislítko
+				label("$i-1$",(0.1,0.48),S);
+				draw((0.5,0.48)--(0.5,0.52));	// druhé svislítko
+				label("$i$",(0.5,0.48),S);
+				label("$p_i$",(0.5,0.52),N);
+				draw((0.9,0.48)--(0.9,0.52));	// třetí svislítko
+				label("$i+1$",(0.9,0.48),S);
+				label("$p_{i+1}$",(0.9,0.52),N);
+			\end{asy}
 			$$ (pu_{\overline{x}})_x = \frac{(pu_{\overline{x}})_{i+1} - (pu_{\overline{x}})_i}
 			{h} = \frac{1}{h^2} (p_{i+1}(u_{i+1} - u_i) - p_i(u_i - u_{i-1})) $$
-		\item ~\\ \includegraphics{mexson2.pdf}
+		\item ~\\ \vspace{-1cm}
+			\begin{asy}
+				size(12cm);
+				draw((0,0.5)--(1,0.5));	// vodorovná čára
+				draw((0.1,0.49)--(0.1,0.51));	// první svislítko
+				label("$i-1$",(0.1,0.49),S);
+				label("$p_{i-1}$",(0.1,0.56),N);
+				label("$u_{i-1}$",(0.1,0.51),N);
+				draw((0.3,0.49)--(0.3,0.51));	// druhé svislítko
+				label("$p_{i-\frac{1}{2}}$",(0.3,0.53),N);
+				draw((0.5,0.49)--(0.5,0.51));	// třetí svislítko
+				label("$i$",(0.5,0.49),S);
+				label("$p_i$",(0.5,0.55),N);
+				label("$u_i$",(0.5,0.51),N);
+				draw((0.7,0.49)--(0.7,0.51));	// čtvrté svislítko
+				label("$p_{i+\frac{1}{2}}$",(0.7,0.53),N);
+				draw((0.9,0.49)--(0.9,0.51));	// páté svislítko
+				label("$i+1$",(0.9,0.49),S);
+				label("$p_{i+1}$",(0.9,0.55),N);
+				label("$u_{i+1}$",(0.9,0.51),N);
+			\end{asy}
 			$$ (pu')' \approx \frac{pu'|_{i + \frac{1}{2}} - pu'|_{i - \frac{1}{2}}}{h} =
 			\frac{1}{h^2}(p_{i + \frac{1}{2}}(y_{i+1} - y_i) - p_{i - \frac{1}{2}}(y_i - y_{i-1}))$$
 			\begin{align*}
@@ -253,4 +289,14 @@
 			\end{align*}
 	\end{enumerate}
 
+	Máme úlohu $ -(py')' + qy = F(y) $ na $(a,b),\ y(a)= \gamma_1,\ y(b)= \gamma_2,\ F(0) = 0,\ 
+	g \geq 0,\ F$ omezená, lipschitzovská.
+
+	Použijeme 1. schéma:
+	$$ -\frac{1}{h} \left( p_{i+1} \frac{u_{i+1} - u_i}{h} - p_{i} \frac{u_i - u_{i-1}}{h} \right)
+	+ q_i u_i = F(u_i), \quad i \in \widehat{m-1} $$
+	Maticový zápis:
+	$$ \bbA_h u= \bbF(u)+\varphi_h \qquad \bbA_h \in \R^{m-1,m-1};\ \varphi_h \in \R^{m-1};\ 
+	\bbF(n) \in \R ^{m-1} $$
+
 \end{document}