From 5342cba7aacad00a65528a8566d45d712e756906 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: thirofoo <83126064+thirofoo@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 22 Aug 2024 20:19:30 +0900
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Maximum=20vs=20Merin=20=E3=81=AE=20Grundy=20?=
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---
maximum-vs-merin/grundy_proof.md | 930 +++++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 930 insertions(+)
create mode 100644 maximum-vs-merin/grundy_proof.md
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--- /dev/null
+++ b/maximum-vs-merin/grundy_proof.md
@@ -0,0 +1,930 @@
+# Grundy 数の一般項の証明
+
+以下、体力 $H$ のスライムの Grundy 数を $g(H)$ と表現する。( $g(0) = 0, D$ は正の整数 ) \
+三段階に分けて一般項を証明。
+
+1. $D = \infty$ の場合 ($k$ は非負整数)
+
+- $g(4k + 1) = 4k + 1$
+- $g(4k + 2) = 4k + 2$
+- $g(4k + 3) = 4k + 4$
+- $g(4k + 4) = 4k + 3$
+
+
+
+2. $D \neq \infty$ の場合に $g(0)$ を除いて先頭 $D + D \bmod 2$ 項目まで 1. に従う
+
+
+
+3. 以降 $D + D \bmod 2 = X$ とおく。以下が成立することを示す ※ $s, t$ は正の整数
+
+- $D \equiv 0 \pmod 2$ の場合 :
+
+ - $g(Xt + 1) = 0$
+ - $g(Xt + 2) = D + 1$
+ - $g(Xt + 2 + 4s + 1)=4s + 1$
+ - $g(Xt + 2 + 4s + 2)=4s + 2$
+ - $g(Xt + 2 + 4s + 3)=4s + 4$
+ - $g(Xt + 2 + 4s + 4)=4s + 3$
+ - s に関連する項は $D$ 項分だけ従う
+
+- $D \equiv 1 \pmod 2$ の場合
+ - $g(Xt + 1) = 0$
+ - $g(Xt + 1 + 4s + 1)=4s + 2$
+ - $g(Xt + 1 + 4s + 2)=4s + 1$
+ - $g(Xt + 1 + 4s + 3)=4s + 3$
+ - $g(Xt + 1 + 4s + 4)=4s + 4$
+ - s に関連する項は $D$ 項分だけ従う
+
+
+
+## 1. の証明
+
+$D = \infty$ の場合 ($k$ は非負整数)
+
+- $g(4k + 1)=4k + 1$
+- $g(4k + 2)=4k + 2$
+- $g(4k + 3)=4k + 4$
+- $g(4k + 4)=4k + 3$
+
+が成り立つことを数学的帰納法で証明する。\
+なお、 $g(0) = 0$ であることは明らかとして利用する。
+
+### (ⅰ) $k = 0$ の場合
+
+$$
+\begin{align*}
+ g(1) &= \text{mex}\lbrace g(0) \rbrace \\
+ &= \text{mex}\lbrace 0 \rbrace \\
+ &= 1 \ (= 4 \times 0 + 1)
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\begin{align*}
+ g(2) &= \text{mex}\lbrace g(0), g(1), g(1) \oplus g(1) \rbrace \\
+ &= \text{mex}\lbrace 0, 1, 0 \rbrace \\
+ &= 2 \ (= 4 \times 0 + 2)
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\begin{align*}
+ g(3) &= \text{mex}\lbrace g(0), g(1), g(2), g(1) \oplus g(2) \rbrace \\
+ &= \text{mex}\lbrace 0, 1, 2, 1 \oplus 2 \rbrace \\
+ &= \text{mex}\lbrace 0, 1, 2, 3 \rbrace \\
+ &= 4 \ (= 4 \times 0 + 4)
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\begin{align*}
+ g(4) &= \text{mex}\lbrace g(0), g(1), g(2), g(3), g(1) \oplus g(3), g(2) \oplus g(2) \rbrace \\
+ &= \text{mex}\lbrace 0, 1, 2, 4, 1 \oplus 4, 2 \oplus 2 \rbrace \\
+ &= \text{mex}\lbrace 0, 1, 2, 4, 5, 0 \rbrace \\
+ &= 3 \ (= 4 \times 0 + 3)
+\end{align*}
+$$
+
+よって、 $k = 0$ の場合成立する。
+
+### (ⅱ) $k = 0, 1, \cdots , n$ で命題が成立すると仮定した際の $k = n + 1$ の場合
+
+- $g(4k + 1)$
+
+ - 攻撃遷移は、仮定より $\lbrace g(v) | 0 \leq v \leq 4k \rbrace = \lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k \rbrace$ の状態に到達可能である。
+ - 分裂遷移の遷移先は $g(1) \oplus g(4k), g(2) \oplus g(4k-1), \cdots , g(4k) \oplus g(1)$ と表せるが、仮定よりこれらは全て以下のいずれかのパターンで表せる ($s, t$ は非負整数)
+
+ - $g(4s + 1) \oplus g(4t + 4) = (4s + 1) \oplus (4t + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4s + 2) \oplus g(4t + 3) = (4s + 2) \oplus (4t + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4s + 3) \oplus g(4t + 2) = (4s + 4) \oplus (4t + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4s + 4) \oplus g(4t + 1) = (4s + 3) \oplus (4t + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ よって、分裂の遷移で $4k + 1$ に到達することはない。
+
+ - したがって、 $\lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k \rbrace$ には到達できるが、 $4k + 1$ には到達できないため、 $g(4k + 1) = 4k + 1$ が成立する。
+
+- $g(4k + 2)$
+
+ - 攻撃遷移は、仮定より $\lbrace g(v) | 0 \leq v \leq 4k + 1 \rbrace = \lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k, 4k + 1 \rbrace$ の状態に到達可能である。
+ - 分裂遷移の遷移先は $g(1) \oplus g(4k + 1), g(2) \oplus g(4k), \cdots , g(4k + 1) \oplus g(1)$ と表せるが、仮定よりこれらは全て以下のいずれかのパターンで表せる ($s, t$ は非負整数)
+
+ - $g(4s + 1) \oplus g(4t + 1) = (4s + 1) \oplus (4t + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4s + 2) \oplus g(4t + 4) = (4s + 2) \oplus (4t + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4s + 3) \oplus g(4t + 3) = (4s + 4) \oplus (4t + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4s + 4) \oplus g(4t + 2) = (4s + 3) \oplus (4t + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ よって、分裂の遷移で $4k + 2$ に到達することはない。
+
+ - したがって、 $\lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k, 4k + 1 \rbrace$ には到達できるが、 $4k + 2$ には到達できないため、 $g(4k + 2) = 4k + 2$ が成立する。
+
+- $g(4k + 3)$
+
+ - 攻撃遷移は、仮定より $\lbrace g(v) | 0 \leq v \leq 4k + 2 \rbrace = \lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k, 4k + 1, 4k + 2 \rbrace$ の状態に到達可能である。
+ - 分裂遷移の遷移先は $g(1) \oplus g(4k + 2), g(2) \oplus g(4k + 1), \cdots , g(4k + 2) \oplus g(1)$ と表せるが、仮定よりこれらは全て以下のいずれかのパターンで表せる ($s, t$ は非負整数)
+
+ - $g(4s + 1) \oplus g(4t + 2) = (4s + 1) \oplus (4t + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4s + 2) \oplus g(4t + 1) = (4s + 2) \oplus (4t + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4s + 3) \oplus g(4t + 4) = (4s + 4) \oplus (4t + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4s + 4) \oplus g(4t + 3) = (4s + 3) \oplus (4t + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ $g(1) \oplus g(4k + 2) = 1 \oplus (4k + 2) = 4k + 3$ であるため、分裂の遷移で $4k + 3$ に到達することは可能。
+
+ ただし、分裂の遷移で $4k + 4$ に到達することは不可能。
+
+ - したがって、 $\lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 \rbrace$ には到達できるが、 $4k + 4$ には到達できないため、 $g(4k + 3) = 4k + 4$ が成立する。
+
+- $g(4k + 4)$
+
+ - 攻撃遷移は、仮定より $\lbrace g(v) | 0 \leq v \leq 4k + 3 \rbrace = \lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 4 \rbrace$ の状態に到達可能である。
+ - 分裂遷移の遷移先は $g(1) \oplus g(4k + 3), g(2) \oplus g(4k + 2), \cdots , g(4k + 3) \oplus g(1)$ と表せるが、仮定よりこれらは全て以下のいずれかのパターンで表せる ($s, t$ は非負整数)
+
+ - $g(4s + 1) \oplus g(4t + 3) = (4s + 1) \oplus (4t + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4s + 2) \oplus g(4t + 2) = (4s + 2) \oplus (4t + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4s + 3) \oplus g(4t + 1) = (4s + 4) \oplus (4t + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4s + 4) \oplus g(4t + 4) = (4s + 3) \oplus (4t + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ よって、分裂の遷移で $4k + 3$ に到達することは不可能。
+
+ - したがって、 $\lbrace 0, 1, 2, 4, 3, \cdots , 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 4 \rbrace$ には到達できるが、 $4k + 3$ には到達できないため、 $g(4k + 4) = 4k + 3$ が成立する。
+
+ したがって、 $k = 0, 1, \cdots , n$ で命題が成立すると仮定すると、 $k = n + 1$ の場合も命題が成立する。
+
+以上、(ⅰ), (ⅱ) より、命題が成立する。
+
+## 2. の証明
+
+先頭 $D + D \bmod 2$ 項目まで 1. に従うことを示す。
+
+スライムの体力を $d$ として、 $1 \leq d \leq D$ の場合は、攻撃の遷移で $d$ 未満の全ての状態に遷移出来るので、 1 (ⅱ) の議論と同様にして 1. に従うことが示せる。
+
+よって以下では $D + 1$ 以降について議論をする。
+
+### (ⅰ) $D \equiv 0 \pmod 2$ の場合
+
+- スライムの体力が $D + 1$ の場合、攻撃遷移で到達可能な $\lbrace g(k) | 1 \leq k \leq D, k は整数 \rbrace$ に $0$ が存在しないため、分裂遷移で $0$ に到達可能かを考える。
+
+- $x \oplus y = 0$ となるには、 $x = y$ が必要十分条件だが、 $D + 1 ≡ 1 \pmod 2$ であるため、分裂の遷移で到達する状態の Grundy 数は $g(2s) \oplus g(2t + 1) \neq 0$ ($s, t$ は非負整数) となるため、 $0$ に到達不可能。
+
+よって、 $g(D + 1) = 0$ で $D + 1$ 項目は 1. に従わない。
+
+### (ⅱ) $D \equiv 1 \pmod 2$ の場合
+
+- スライムの体力が $D + 1$ の場合、攻撃遷移で到達可能な $\lbrace g(k) | 1 \leq k \leq D, k は整数 \rbrace = \lbrace 1, 2, \cdots , D - 1, D \rbrace$ で、 $0$ が存在しないため、分裂遷移で $0$ に到達可能かを考える。
+
+ - $D + 1 ≡ 0 \pmod 2$ であるため、 $g((D + 1)/2) \oplus g((D + 1)/2) = 0$ といった遷移が存在し、分裂の遷移で $0$ に到達可能。
+ - $0$ 以外の到達可能かの議論は、1. と同様に議論することで $D + 1$ 項が 1. に従うことが示される。
+
+- スライムの体力が $D + 2$ の場合、攻撃遷移で到達可能な $\lbrace g(k) | 1 \leq k \leq D + 1, k は整数 \rbrace$ に $0$ が存在しないため、分裂遷移で $0$ に到達可能かを考える。
+
+ - $x \oplus y = 0$ となるには、 $x = y$ が必要十分条件だが、 $D + 2 ≡ 1 \pmod 2$ であるため、分裂の遷移で到達する状態の Grundy 数は $g(2s) \oplus g(2t + 1) \neq 0$ ($s, t$ は非負整数) となるため、 $0$ に到達不可能。
+
+よって、 $g(D + 2) = 0$ で $D + 2$ 項目は 1. に従わない。
+
+以上より、先頭 $D + D \bmod 2$ 項目まで 1. に従うことが示された。
+
+## 3. の証明
+
+以降 $D + D \bmod 2 = X$ とおく。以下が成立することを示す ※ $s, t$ は正の整数
+
+(ⅰ) $D \equiv 0 \pmod 2$ の場合
+
+- $g(Xt + 1) = 0$
+- $g(Xt + 2) = D + 1$
+- $g(Xt + 2 + 4s + 1)=4s + 1$
+- $g(Xt + 2 + 4s + 2)=4s + 2$
+- $g(Xt + 2 + 4s + 3)=4s + 4$
+- $g(Xt + 2 + 4s + 4)=4s + 3$
+- s に関連する項は $D$ 項分だけ従う
+
+(ⅱ) $D \equiv 1 \pmod 2$ の場合
+
+- $g(Xt + 1) = 0$
+- $g(Xt + 1 + 4s + 1)=4s + 2$
+- $g(Xt + 1 + 4s + 2)=4s + 1$
+- $g(Xt + 1 + 4s + 3)=4s + 3$
+- $g(Xt + 1 + 4s + 4)=4s + 4$
+- s に関連する項は $D$ 項分だけ従う
+
+
+
+### (ⅰ)
+
+- まず、 $D \equiv 0 \pmod 2$ の時の一般項は、先頭 $D$ 項と、2 周期目以降の $0, D + 1$ 以外の周期の項が一致するので、下記のような周期であるともとらえられる
+
+ - $g(X(t - 1) + 4s + 1)=4s + 1$
+ - $g(X(t - 1) + 4s + 2)=4s + 2$
+ - $g(X(t - 1) + 4s + 3)=4s + 4$
+ - $g(X(t - 1) + 4s + 4)=4s + 3$
+ - $g(X(t - 1) + D + 1) = 0$
+ - $g(X(t - 1) + D + 2) = D + 1$
+
+- したがって、上記数列が成立することを示せば、元の数列も成立するので、上記数列を $t$ における数学的帰納法で証明する。
+
+#### (Ⅰ) $t = 1$ の場合
+
+- $g(1)$ から $g(D + 1)$ は 1. 2. で証明済み。
+
+- $g(D + 2) = D + 1$
+
+ - 攻撃遷移では、 $D \equiv 0 \pmod 4 の時は \lbrace 2, 4, 3, 5, \cdots , D, D - 1, 0 \rbrace$、 $D \equiv 2 \pmod 4 の時は \lbrace 2, 4, 3, 5, \cdots , D - 1, D, 0 \rbrace$、に到達可能。($1$ 以外の要素に到達可能。)
+ - $g(X + 1) \oplus g(1) = 0 \oplus 1 = 1$ のため、分裂遷移で $1$ に到達可能。
+ - $D + 1$ に分裂遷移で到達可能かを下記の 4 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 0 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y$ は非負整数)
+
+ - $g(1) \oplus g(D + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(8x + 2) \oplus g(8y + 8) = (8x + 2) \oplus (8y + 7) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 3) \oplus g(8y + 7) = (8x + 4) \oplus (8y + 8) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 4) \oplus g(8y + 6) = (8x + 3) \oplus (8y + 6) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 5) \oplus g(8y + 5) = (8x + 5) \oplus (8y + 5) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 6) \oplus g(8y + 4) = (8x + 6) \oplus (8y + 3) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 7) \oplus g(8y + 3) = (8x + 8) \oplus (8y + 4) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 8) \oplus g(8y + 2) = (8x + 7) \oplus (8y + 2) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 1) \oplus g(8y + 1) = (8x + 1) \oplus (8y + 1) \equiv 0 \pmod 8$
+
+ - $D + 1 \equiv 1 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 2 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y$ は非負整数)
+
+ - $g(1) \oplus g(X + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(8x + 2) \oplus g(8y + 2) = (8x + 2) \oplus (8y + 2) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 3) \oplus g(8y + 1) = (8x + 4) \oplus (8y + 1) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 4) \oplus g(8y + 8) = (8x + 3) \oplus (8y + 7) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 5) \oplus g(8y + 7) = (8x + 5) \oplus (8y + 8) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 6) \oplus g(8y + 6) = (8x + 6) \oplus (8y + 6) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 7) \oplus g(8y + 5) = (8x + 8) \oplus (8y + 5) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 8) \oplus g(8y + 4) = (8x + 7) \oplus (8y + 3) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 1) \oplus g(8y + 3) = (8x + 1) \oplus (8y + 4) \equiv 5 \pmod 8$
+
+ - $D + 1 \equiv 3 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 4 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y$ は非負整数)
+
+ - $g(1) \oplus g(X + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(8x + 2) \oplus g(8y + 4) = (8x + 2) \oplus (8y + 3) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 3) \oplus g(8y + 3) = (8x + 4) \oplus (8y + 4) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 4) \oplus g(8y + 2) = (8x + 3) \oplus (8y + 2) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 5) \oplus g(8y + 1) = (8x + 5) \oplus (8y + 1) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 6) \oplus g(8y + 8) = (8x + 6) \oplus (8y + 7) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 7) \oplus g(8y + 7) = (8x + 8) \oplus (8y + 8) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 8) \oplus g(8y + 6) = (8x + 7) \oplus (8y + 6) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 1) \oplus g(8y + 5) = (8x + 1) \oplus (8y + 5) \equiv 4 \pmod 8$
+
+ - $D + 1 \equiv 5 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 6 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y$ は非負整数)
+
+ - $g(1) \oplus g(X + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(8x + 2) \oplus g(8y + 6) = (8x + 2) \oplus (8y + 6) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 3) \oplus g(8y + 5) = (8x + 4) \oplus (8y + 5) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 4) \oplus g(8y + 4) = (8x + 3) \oplus (8y + 3) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 5) \oplus g(8y + 3) = (8x + 5) \oplus (8y + 4) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 6) \oplus g(8y + 2) = (8x + 6) \oplus (8y + 2) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 7) \oplus g(8y + 1) = (8x + 8) \oplus (8y + 1) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 8) \oplus g(8y + 8) = (8x + 7) \oplus (8y + 7) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 1) \oplus g(8y + 7) = (8x + 1) \oplus (8y + 8) \equiv 1 \pmod 8$
+
+ - $D + 1 \equiv 7 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - 以上より、 $g(D + 2) = D + 1$
+
+したがって、 $t = 1$ の場合に命題が成立する。
+
+#### (Ⅱ) $t = 1, 2, \cdots , n$ で命題が成立すると仮定する。 $t = n + 1$ の場合
+
+##### $s = 0$ の場合
+
+- $g(X(n + 1) + 1) = 1$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 4, 3, 5, 6, \cdots , 0, D + 1 \rbrace$ であり、 $1$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 1) \oplus g(Xw + D + 2) = 1 \oplus (D + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 2) \oplus g(Xw + D + 1) = 2 \oplus 0 = 2$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - $0$ には到達できるが、 $1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 1) \oplus g(Xw + D + 2) = 1 \oplus (D + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 2) \oplus g(Xw + D + 1) = 2 \oplus 0 = 2$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - $0$ には到達できるが、 $1$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 1) = 1$ が成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + 2) = 2$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 3, 5, 6, \cdots , 0, D + 1, 1 \rbrace$ であり、 $2$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 2) \oplus g(Xw + D + 2) = 2 \oplus (D + 1) \equiv D + 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 3) \oplus g(Xw + D + 1) = 3 \oplus 0 = 3$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - $0, 1$ には到達できるが、 $2$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 2) \oplus g(Xw + D + 2) = 2 \oplus (D + 1) \equiv D + 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 3) \oplus g(Xw + D + 1) = 4 \oplus 0 = 0$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - $0, 1$ には到達できるが、 $2$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 2) = 2$ が成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + 3) = 4$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 5, 6, \cdots , 0, D + 1, 1, 2 \rbrace$ であり、 $4$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 3) \oplus g(Xw + D + 2) = 4 \oplus (D + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4) \oplus g(Xw + D + 1) = 3 \oplus 0 = 3$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2, 3$ には到達できるが、 $4$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 3) \oplus g(Xw + D + 2) = 4 \oplus (D + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4) \oplus g(Xw + D + 1) = 3 \oplus 0 = 3$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2, 3$ には到達できるが、 $4$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 3) = 4$ が成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + 4) = 3$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 6, \cdots , 0, D + 1, 1, 2, 4 \rbrace$ であり、 $3$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 4) \oplus g(Xw + D + 2) = 3 \oplus (D + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 5) \oplus g(Xw + D + 1) = 5 \oplus 0 = 5$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2$ には到達できるが、 $3$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 4) \oplus g(Xw + D + 2) = 3 \oplus (D + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 5) \oplus g(Xw + D + 1) = 5 \oplus 0 = 5$
+ - $g(Xz + 4x + 2) \oplus g(Xw + 4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 3) \oplus g(Xw + 4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 4) \oplus g(Xw + 4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 4x + 1) \oplus g(Xw + 4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2$ には到達できるが、 $3$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 4) = 3$ が成立する。
+
+したがって、 $s = 0$ の場合に命題が成立する。
+
+##### $s = n$ で命題が成立すると仮定した際の $s = n + 1$ の場合
+
+- まず、下記のように表現ができる。
+
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 1) = g(Xt + 1 + 4n + 1 + 4)$
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 2) = g(Xt + 1 + 4n + 2 + 4)$
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 3) = g(Xt + 1 + 4n + 3 + 4)$
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 4) = g(Xt + 1 + 4n + 4 + 4)$
+
+- これは $s = n$ に $4$ 項を追加したことを意味するが、 $4$ 項を追加しても分裂遷移にありうるパターンは $s = n$ と変わらない。
+
+したがって、 $s = n + 1$ も $s = n$ と同様の議論を展開できることから、命題が成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + D + 1) = 0$
+
+ - スライムの体力が $D + 1$ の場合、攻撃遷移で到達可能な $\lbrace g(k) | 1 \leq k \leq D, k は整数 \rbrace$ に $0$ が存在しないため、分裂遷移で $0$ に到達可能かを考える。
+
+ - $x \oplus y = 0$ となるには、 $x = y$ が必要十分条件だが、 $D + 1 ≡ 1 \pmod 2$ であるため、分裂の遷移で到達する状態の Grundy 数は $g(2s) \oplus g(2t + 1) \neq 0$ ($s, t$ は非負整数) となるため、 $0$ に到達不可能。
+
+ - したがって、 $g(D + 1) = 0$
+ - これにより、 $s$ に関連する項が $D$ 項分だけ従うことも成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + D + 2) = D + 1$
+
+ - 攻撃遷移では、 $D \equiv 0 \pmod 4 の時は \lbrace 2, 4, 3, 5, \cdots , D, D - 1, 0 \rbrace$、 $D \equiv 2 \pmod 4 の時は \lbrace 2, 4, 3, 5, \cdots , D - 1, D, 0 \rbrace$、に到達可能。($1$ 以外の要素に到達可能。)
+ - $g(X + 1) \oplus g(1) = 0 \oplus 1 = 1$ のため、分裂遷移で $1$ に到達可能。
+ - $D + 1$ に分裂遷移で到達可能かを下記の 4 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 0 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w (z + w = n - 1)$ は非負整数)
+
+ - $g(Xz + 1) \oplus g(Xw + D + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(Xz + 8x + 2) \oplus g(Xw + 8y + 8) = (8x + 2) \oplus (8y + 7) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(Xz + 8x + 3) \oplus g(Xw + 8y + 7) = (8x + 4) \oplus (8y + 8) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(Xz + 8x + 4) \oplus g(Xw + 8y + 6) = (8x + 3) \oplus (8y + 6) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(Xz + 8x + 5) \oplus g(Xw + 8y + 5) = (8x + 5) \oplus (8y + 5) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(Xz + 8x + 6) \oplus g(Xw + 8y + 4) = (8x + 6) \oplus (8y + 3) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(Xz + 8x + 7) \oplus g(Xw + 8y + 3) = (8x + 8) \oplus (8y + 4) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(Xz + 8x + 8) \oplus g(Xw + 8y + 2) = (8x + 7) \oplus (8y + 2) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(Xz + 8x + 1) \oplus g(Xw + 8y + 1) = (8x + 1) \oplus (8y + 1) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(Xz + D) \oplus g(X(w - 1) + D + 2) = (D - 1) \oplus 0 = D - 1$
+
+ - $D - 1 \equiv 7 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 2 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y$ は非負整数)
+
+ - $g(1) \oplus g(X + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(8x + 2) \oplus g(8y + 2) = (8x + 2) \oplus (8y + 2) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 3) \oplus g(8y + 1) = (8x + 4) \oplus (8y + 1) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 4) \oplus g(8y + 8) = (8x + 3) \oplus (8y + 7) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 5) \oplus g(8y + 7) = (8x + 5) \oplus (8y + 8) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 6) \oplus g(8y + 6) = (8x + 6) \oplus (8y + 6) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 7) \oplus g(8y + 5) = (8x + 8) \oplus (8y + 5) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(8x + 8) \oplus g(8y + 4) = (8x + 7) \oplus (8y + 3) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 1) \oplus g(8y + 3) = (8x + 1) \oplus (8y + 4) \equiv 5 \pmod 8$
+ - $g(Xz + D) \oplus g(X(w - 1) + D + 2) = D \oplus 0 = D$
+
+ - $D \equiv 2 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 4 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y$ は非負整数)
+
+ - $g(1) \oplus g(X + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(8x + 2) \oplus g(8y + 4) = (8x + 2) \oplus (8y + 3) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 3) \oplus g(8y + 3) = (8x + 4) \oplus (8y + 4) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 4) \oplus g(8y + 2) = (8x + 3) \oplus (8y + 2) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 5) \oplus g(8y + 1) = (8x + 5) \oplus (8y + 1) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 6) \oplus g(8y + 8) = (8x + 6) \oplus (8y + 7) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 7) \oplus g(8y + 7) = (8x + 8) \oplus (8y + 8) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 8) \oplus g(8y + 6) = (8x + 7) \oplus (8y + 6) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 1) \oplus g(8y + 5) = (8x + 1) \oplus (8y + 5) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(Xz + D) \oplus g(X(w - 1) + D + 2) = (D - 1) \oplus 0 = D - 1$
+
+ - $D - 1 \equiv 3 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 6 \pmod 8$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y$ は非負整数)
+
+ - $g(1) \oplus g(X + 1) = 1 \oplus 0 = 1$
+ - $g(8x + 2) \oplus g(8y + 6) = (8x + 2) \oplus (8y + 6) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 3) \oplus g(8y + 5) = (8x + 4) \oplus (8y + 5) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 4) \oplus g(8y + 4) = (8x + 3) \oplus (8y + 3) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 5) \oplus g(8y + 3) = (8x + 5) \oplus (8y + 4) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 6) \oplus g(8y + 2) = (8x + 6) \oplus (8y + 2) \equiv 4 \pmod 8$
+ - $g(8x + 7) \oplus g(8y + 1) = (8x + 8) \oplus (8y + 1) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(8x + 8) \oplus g(8y + 8) = (8x + 7) \oplus (8y + 7) \equiv 0 \pmod 8$
+ - $g(8x + 1) \oplus g(8y + 7) = (8x + 1) \oplus (8y + 8) \equiv 1 \pmod 8$
+ - $g(Xz + D) \oplus g(X(w - 1) + D + 2) = D \oplus 0 = D$
+
+ - $D \equiv 6 \pmod 8$ のため、 $0, 1, \cdots, D$ には到達できるが、 $D + 1$ には到達できない
+
+ - 以上より、 $g(D + 2) = D + 1$
+
+したがって、 $t = n$ が成立すると仮定した場合に、 $t = n + 1$ でも命題が成立する。
+
+以上 (Ⅰ) (Ⅱ) より、 $D \equiv 0 \pmod 2$ の時の Grundy 数の一般項が示せた。
+
+### (ⅱ)
+
+#### (Ⅰ) $t = 1$ の場合
+
+- $g(X + 1) = 0$ は 2. で証明済み。
+- $g(X + 1 + 4s + 1)=4s + 2$, $g(X + 1 + 4s + 2)=4s + 1$, $g(X + 1 + 4s + 3)=4s + 3$, $g(X + 1 + 4s + 4)=4s + 4$ は 1 (ⅱ) のように $s$ に関する帰納法で証明する。
+
+##### $s = 0$ の場合
+
+- $g(X + 1 + 1) = g(D + 3)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 4, 3, 5, 6 \cdots , D - 1, 0 \rbrace$ であり、 $2$ に到達不可能。
+ - $g(1) \oplus g(D + 2) = 1 \oplus 0 = 1$ より、分裂遷移で $1$ に到達可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 1) \oplus g(Xz + 1) = 1 \oplus 0 \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - $0, 1$ には到達できるが、 $2$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 1) \oplus g(Xz + 1) = 1 \oplus 0 \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - $0, 1$ には到達できるが、 $2$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X + 1 + 1) = 2$ が成立する。
+
+- $g(X + 1 + 2) = g(D + 4)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 3, 5, 6 \cdots , D - 1, 0, 2 \rbrace$ であり、 $1$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 2) \oplus g(Xz + 1) = 2 \oplus 0 \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - $0$ には到達できるが、 $1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 2) \oplus g(Xz + 1) = 2 \oplus 0 \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - $0$ には到達できるが、 $1$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X + 1 + 2) = 1$ が成立する。
+
+- $g(X + 1 + 3) = g(D + 5)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 5, 6 \cdots , D - 1, 0, 2, 1 \rbrace$ であり、 $3$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 3) \oplus g(Xz + 1) = 4 \oplus 0 \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2$ には到達できるが、 $3$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 3) \oplus g(Xz + 1) = 4 \oplus 0 \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2$ には到達できるが、 $3$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X + 1 + 3) = 3$ が成立する。
+
+- $g(X + 1 + 4) = g(D + 6)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 6 \cdots , D - 1, 0, 2, 1, 3 \rbrace$ であり、 $4$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 4) \oplus g(Xz + 1) = 3 \oplus 0 \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2, 3$ には到達できるが、 $4$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z$ は非負整数)
+
+ - $g(4x + 4) \oplus g(Xz + 1) = 3 \oplus 0 \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(4x + 1) \oplus g(4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 2) \oplus g(4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 3) \oplus g(4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(4x + 4) \oplus g(4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2, 3$ には到達できるが、 $4$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X + 1 + 4) = 4$ が成立する。
+
+したがって、 $s = 0$ の場合に命題が成立する。
+
+##### $s = n$ で命題が成立すると仮定した際の $s = n + 1$ の場合
+
+- まず、下記のように表現ができる。
+
+ - $g(4(n + 1) + 1) = g(4n + 1 + 4)$
+ - $g(4(n + 1) + 2) = g(4n + 2 + 4)$
+ - $g(4(n + 1) + 3) = g(4n + 3 + 4)$
+ - $g(4(n + 1) + 4) = g(4n + 4 + 4)$
+
+- これは $s = n$ に $4$ 項を追加したことを意味するが、 $4$ 項を追加しても分裂遷移にありうるパターンは $s = n$ と変わらない。
+
+したがって、 $s = n + 1$ も $s = n$ と同様の議論を展開できることから、命題が成立する。
+
+- $g(X + 1 + D + 1)$
+
+ - これは、 $g(X + 1) = 0$ に攻撃遷移で到達できない最小の状態である。
+ - また、 $X + 1 + D + 1 \equiv 1 \pmod 2$ であるため、分裂遷移で $0$ に到達することが不可能である。
+
+ - したがって、 $g(X + 1 + D + 1) = 0$
+ - これにより、 $s$ に関連する項が $D$ 項分だけ従うことも成立する。
+
+#### (Ⅱ) $t = 1, 2, \cdots , n$ で命題が成立すると仮定する。 $t = n + 1$ の場合
+
+##### $s = 0$ の場合
+
+- $g(X(n + 1) + 1) = g((D + 1)(n + 1) + 1)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態を考えると、直近 $D$ 項が $t = n$ の周期に従うため、 $0$ に到達できない。
+ - また、 $(D + 1)(n + 1) + 1 \equiv 1 \pmod 2$ であるため、分裂遷移でも $0$ に到達てきない。
+ - したがって、 $g(X(n + 1) + 1) = 0$
+
+- $g(X(n + 1) + 1 + 1) = g((D + 1)(n + 1) + 2)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 1, 3, 4, 6, \cdots , D, 0 \rbrace$ であり、 $2$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 1) \oplus 0 \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1) \oplus g(Xw + 1) = 0 \oplus 0 \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - $0, 1$ には到達できるが、 $2$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 1) \oplus 0 \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1) \oplus g(Xw + 1) = 0 \oplus 0 \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - $0, 1$ には到達できるが、 $2$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 1 + 1) = 2$ が成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + 1 + 2) = g((D + 1)(n + 1) + 3)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 3, 4, 6, \cdots , D, 0, 2 \rbrace$ であり、 $1$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 2) \oplus 0 \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1) = 2 \oplus 0 \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - $0$ には到達できるが、 $1$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 2) \oplus 0 \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1) = 2 \oplus 0 \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - $0$ には到達できるが、 $1$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 1 + 2) = 1$ が成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + 1 + 3) = g((D + 1)(n + 1) + 4)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 4, 6, \cdots , D, 0, 2, 1 \rbrace$ であり、 $3$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 4) \oplus 0 \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1) = 1 \oplus 0 \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 3) \oplus (4y + 2) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 2) \oplus (4y + 3) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2$ には到達できるが、 $3$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 4) \oplus 0 \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 1) \oplus (4y + 1) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 4) \oplus (4y + 4) \equiv 0 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1) = 1 \oplus 0 \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 3) \oplus (4y + 3) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 4) \oplus (4y + 1) \equiv 1 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 2) \oplus (4y + 2) \equiv 0 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 1) \oplus (4y + 4) \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2$ には到達できるが、 $3$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 1 + 3) = 3$ が成立する。
+
+- $g(X(n + 1) + 1 + 4) = g((D + 1)(n + 1) + 5)$
+
+ - 攻撃遷移で到達可能な状態は $\lbrace 6, \cdots , D, 0, 2, 1, 3 \rbrace$ であり、 $4$ に到達不可能。
+ - 分裂遷移で到達可能かを下記の 2 パターンで議論する。
+
+ - $D \equiv 1 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 3) \oplus 0 \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1) = 3 \oplus 0 \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 2) \oplus (4y + 4) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 3) \oplus (4y + 1) \equiv 2 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2, 3$ には到達できるが、 $4$ には到達できない
+
+ - $D \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - 分裂遷移の遷移先は全て以下のいずれかのパターンで表せる ($x, y, z, w$ は非負整数)
+
+ - (先頭 $X$ 項の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1) = (4x + 3) \oplus 0 \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 1) \oplus (4y + 3) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 4) \oplus (4y + 2) \equiv 2 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - (先頭 $X$ 項以降の周期) $\oplus$ (先頭 $X$ 項以降の周期) パターン
+
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1) = 3 \oplus 0 \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 4) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 3) = (4x + 4) \oplus (4y + 3) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 1) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 2) = (4x + 2) \oplus (4y + 1) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 2) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 1) = (4x + 1) \oplus (4y + 2) \equiv 3 \pmod 4$
+ - $g(Xz + 1 + 4x + 3) \oplus g(Xw + 1 + 4y + 4) = (4x + 3) \oplus (4y + 4) \equiv 3 \pmod 4$
+
+ - $0, 1, 2, 3$ には到達できるが、 $4$ には到達できない
+
+ - よって、 $g(X(n + 1) + 1 + 4) = 4$ が成立する。
+
+したがって、 $s = 0$ の場合に命題が成立する。
+
+##### $s = n$ で命題が成立すると仮定した際の $s = n + 1$ の場合
+
+- まず、下記のように表現ができる。
+
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 1) = g(Xt + 1 + 4n + 1 + 4)$
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 2) = g(Xt + 1 + 4n + 2 + 4)$
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 3) = g(Xt + 1 + 4n + 3 + 4)$
+ - $g(Xt + 1 + 4(n + 1) + 4) = g(Xt + 1 + 4n + 4 + 4)$
+
+- これは $s = n$ に $4$ 項を追加したことを意味するが、 $4$ 項を追加しても分裂遷移にありうるパターンは $s = n$ と変わらない。
+
+したがって、 $s = n + 1$ も $s = n$ と同様の議論を展開できることから、命題が成立する。
+
+以上 (Ⅰ) (Ⅱ) より、 $D \equiv 1 \pmod 2$ の時の Grundy 数の一般項が示せた。
+
+したがって、全ての命題が成立するので、Grundy 数の一般項は初めに述べた通りである。