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Author: ricolxwz

高等数学/out/main.pdf

@@ -1528,7 +1528,7 @@ \subsubsection{无理函数积分}
 \displaystyle\int_{}\hspace{.2em}R(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\ \mathrm{d}x
 \end{equation*}\par
 令$ \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t $, 将其化为有理函数积分进行计算.
-\chapter{定积分}
+\chapter{一元函数积分学: 定积分}
 \section{基础知识}
 \subsection{定积分的定义}
 \subsubsection{定积分的代数定义}
@@ -1627,7 +1627,7 @@ \subsubsection{定理}
 (\displaystyle\int_{a}^{x}\hspace{.2em}f(t)\mathrm{d}t)'=f(x)
 \end{equation*}
 \subsubsection{变上限积分求导的三种类型}
-\chapter{反常积分}
+\chapter{一元函数积分学: 反常积分}
 \section{基础知识}
 \subsection{无穷区间的反常积分}
 \subsubsection{无穷区间$ [a,+\infty) $上的反常积分}
@@ -1696,7 +1696,7 @@ \subsubsection{比较法的极限形式}
 \item 当$ \lambda=+\infty $时, 若$ \displaystyle\int_{a}^{b}\hspace{.2em}g(x)\mathrm{d}x $发散, 则$ \displaystyle\int_{a}^{b}\hspace{.2em}f(x)\mathrm{d}x $也发散
 \end{enumerate}\par
 实际上, 这两种方法的思想都是一样的.
-\chapter{定积分的应用}
+\chapter{一元函数积分学: 定积分的应用}
 \section{基础知识}
 \subsection{平面图形的面积}
 求平面图形的面积的通用公式是:
@@ -1741,8 +1741,7 @@ \subsection{曲线弧长}
 \subsubsection{直角坐标系}
 设曲线段$ C $由直角坐标方程$ y=f(x) $给出.
 \begin{equation*}
-s=\displaystyle\int_{a}^{b}\hspace{.2em}\sqrt{1+y'
-^{2}}\mathrm{d}x
+s=\displaystyle\int_{a}^{b}\hspace{.2em}\sqrt{1+y'^{2}}\mathrm{d}t
 \end{equation*}
 \subsubsection{参数方程}
 设曲线段$ C $由参数方程$
@@ -1765,6 +1764,42 @@ \subsection{旋转体的侧面积}
 \begin{equation*}
 S=2\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\hspace{.2em}f(x)\sqrt{1+f'^{2}(x)}\mathrm{d}x
 \end{equation*}
+\chapter{微分方程}
+\section{基础知识}
+\subsection{基本概念}
+\subsubsection{微分方程}
+含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程, 简称方程.
+\subsubsection{微分方程的阶}
+微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶.
+\subsubsection{微分方程的解}
+满足微分方程的函数, 称为该方程的解.
+\subsubsection{微分方程的通解}
+如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数和微分方程的阶数形相同, 则称之为微分方程的通解.
+\subsubsection{微分方程的特解}
+微分方程的不含任意常数的解, 称之为特解.
+\subsubsection{初始条件}
+确定特解的一组常数称为初始条件.
+\subsubsection{积分曲线}
+方程的一个解在平面上对应一条曲线, 称为该微分方程的积分曲线
+\subsection{一阶微分方程}
+\subsubsection{可分离变量的方程}
+能表示为$ g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x $的方程, 称为可分离变量的微分方程. \par
+求解的方法是两端积分:
+\begin{equation*}
+\displaystyle\int_{}\hspace{.2em} g(y)\mathrm{d}y=\displaystyle\int_{}\hspace{.2em}f(x)\mathrm{d}x
+\end{equation*}
+\subsubsection{齐次方程}
+能化为$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(\frac{y}{x}) $的方程称为齐次微分方程.\par
+求解的方法是令$ u=\frac{y}{x} $, 则$ y'=u+xu' $, 从而将原方程化为$ xu'=\varphi(u)-u $, 进而用可分离变量的方程的求法求出此方程.
+\subsubsection{线性方程}
+形如$ y'+p(x)y=Q(x) $的方程称为一阶线性微分方程. \par
+求解的方法是常数变易法, 活着直接利用下面的公式:
+\begin{equation*}
+y=e^{-\displaystyle\int_{}\hspace{.2em}p(x)\mathrm{d}x}\left[\displaystyle\int_{}\hspace{.2em}Q(x)e^{\displaystyle\int_{}\hspace{.2em}p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right]
+\end{equation*}
+\subsection{可降解的高阶微分方程}
+\subsection{不可降解的高阶微分方程}
+