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661
662
<html>
<head>
<title>Validation de l'alphabet</title>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="css/sets.css">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="widget/Toc/styles.css">
<style>
TABLE { width:100%; }
IMG { margin: 0 0.5em; }
TABLE TD,
TABLE TH { padding:0.5em; border: 1px solid #CCC; }
.notation TH { padding:0; border: 0px solid #CCC; }
#eAlgo DT {
cursor: hand; cursor: pointer;
}
DD {
overflow: hidden;
transition: 1s ease;
}
DD.hidden {
height: 0px;
opacity: 0;
}
DD.showed {
height: auto;
opacity: 1;
}
SUP {
color: red;
}
DD SUP {
color: green;
}
</style>
</head>
<body>
<dl class="menu">
<dt><a href="index.htm">Index</a></dt>
<dt><h3>Sommaire</h3></dt>
<dt><a href="#toc1">Préambule</a></dt>
<dt><a href="#toc2">Symboles mathématiques</a></dt>
<dt><a href="#toc3">Réduction de NCC</a></dt>
<dt><a href="#toc4">NCC vs CC</a></dt>
<dt><a href="#toc5">NCC vs Atoms</a></dt>
<dt><a href="#toc6">CC</a></dt>
<dt><a href="#toc7">CC vs Atoms</a></dt>
<dt><a href="#toc8">Le symbole ANY</a></dt>
<dt><a href="#toc9">Conclusion</a></dt>
</dl>
<p id="back-top"><a href="#"><span></span>Haut de page</a></p>
<h1>Validation de l'alphabet.</h1>
<a name="toc1"></a>
<h2>Préambule</h2>
<p>
Un alphabet ∑ est normalement un ensemble de caractère fini.
Mais pour réduire la taille des automates vis à vis des ensembles de caractères négatifs (considérés comme infini...), il sera composé:
</p>
<ul>
<li>d'atome ∈ A , A = { a, \n, \t, +, ... } </li>
<li>d'ensemble de caractères ∈ CC , CC = { [a-z], \w, \d, ... }</li>
<li>d'ensemble négatif de caractère ∈ NCC , NCC = { [^a-z], \W, \D, ... } ce sont des ensembles infinis.</li>
<li>du symbole ANY : n'importe quel caractère. <sup>deprecié</sup></li>
</ul>
<p>
Pour rendre déterministe les automates,
il est nécessaire qu'un caractère soit présent que dans un et un seul symbole de l'alphabet :
<b>les symboles doivent être distinct</b>. <br>
Cette opération est appellée ici la validation de l'alphabet (il faut bien que je lui donne un nom!).
</p>
<p>Lorsqu'un symbole est remplacé par plusieurs autres :</p>
<ol>
<li>On crée des transitions avec les nouveaux symboles et depuis les transitions de l'ancien symbole.</li>
<li>On efface l'ancien symbole ainsi que ses transitions.</li>
</ol>
<a name="toc2"></a>
<h2>Symboles mathématiques utilisés</h2>
<table class="notation">
<tr>
<th> A ∩ B = ∅ </th>
<th> A ∩ B ≠ ∅ </th>
</tr>
<tr>
<th>
<table>
<tr>
<td><div class="sets1 A" title="A"></div> A </td>
<td><div class="sets1 B" title="B"></div> B </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Négation</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets1 NotA" title="¬A"></div> ¬A </td>
<td><div class="sets1 NotB" title="¬B"></div> ¬B </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Intersection</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets1 IntersectionAB" title="A∩B"></div> A∩B </td>
<td><div class="sets1 NotIntersectionAB" title="¬(A∩B)"></div> ¬(A∩B) </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Union</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets1 UnionAB" title="A∪B"></div> A∪B </td>
<td><div class="sets1 NotUnionAB" title="¬(A∪B)"></div> ¬(A∪B) </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Différence</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets1 DifferenceAB" title="A–B"></div> A–B </td>
<td><div class="sets1 DifferenceBA" title="B–A"></div> B–A </td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2"><div class="sets1 DifferenceSymetriqueAB" title="AΔB"></div> AΔB </td>
</tr>
</table>
</th>
<th>
<table>
<tr>
<td><div class="sets2 A" title="A"></div> A </td>
<td><div class="sets2 B" title="B"></div> B </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Négation</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets2 NotA" title="¬A"></div> ¬A </td>
<td><div class="sets2 NotB" title="¬B"></div> ¬B </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Intersection</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets2 IntersectionAB" title="A∩B"></div> A∩B </td>
<td><div class="sets2 NotIntersectionAB" title="¬(A∩B)"></div> ¬(A∩B) </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Union</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets2 UnionAB" title="A∪B"></div> A∪B </td>
<td><div class="sets2 NotUnionAB" title="¬(A∪B)"></div> ¬(A∪B) </td>
</tr>
<tr><th colspan="2">Différence</th></tr>
<tr>
<td><div class="sets2 DifferenceAB" title="A–B"></div> A–B </td>
<td><div class="sets2 DifferenceBA" title="B–A"></div> B–A </td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2"><div class="sets2 DifferenceSymetriqueAB" title="AΔB"></div> AΔB </td>
</tr>
</table>
</th>
</tr>
<tr>
<td colspan="2">
<ul>
<li>∃ : il existe</li>
<li>∃! : il existe un et un seul</li>
<li>∈ : appartient à</li>
<li>∉ : n'appartient pas à</li>
<li>∀ : quelque soit</li>
<li>∅ : ensemble vide</li>
<li>≠ : différent de</li>
<li>= : égale à</li>
<li>|NCC| : nombre d'élément dans l'ensemble NCC.</li>
</ul>
</dl>
</td>
</tr>
</table>
<p>
Si il n'y a qu'un ensemble négatif de caractère, on peut passer l'étape suivante.
Cependant, il faut ajouter son opposé dans les ensembles de caractères (Au cas où le symbole ANY est utilisé).
</p>
<a name="toc3"></a>
<h2>Réduction de NCC</h2>
<p>L'ensemble <abbr title="NegatedCharClasses">NCC</abbr> contient les ensembles de caractère négatif.</p>
<p>
Ces ensembles doivent être distinct: il n'en restera plus qu'un (|NCC|=1). <br>
Il restera à le réduire vis à vis des autres éléments de l'alphabet.
</p>
<table>
<tr>
<th colspan="2">
∀ G1, G2 ∈ NCC, G1 ≠ G2
</th>
</tr>
<tr>
<th>
si ¬ G1 ∩ ¬ G2 = ∅ alors <br>
<div class="sets1 A"></div>
<div class="sets1 B"></div>
<br>
G1 ⇔ G<sub>inter</sub> ∪ ¬ G2<br>
<div class="sets1 NotA"></div>
<div class="sets1 NotUnionAB"></div>
<div class="sets1 B"></div>
<br>
G2 ⇔ G<sub>inter</sub> ∪ ¬ G1<br>
<div class="sets1 NotB"></div>
<div class="sets1 NotUnionAB"></div>
<div class="sets1 A"></div>
<br>
avec G<sub>inter</sub> = G1 ∩ G2 <br>
<div class="sets1 NotUnionAB"></div>
<div class="sets1 NotA"></div>
<div class="sets1 NotB"></div>
</th>
<th>
si ¬ G1 ∩ ¬ G2 ≠ ∅ alors <br>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 B"></div>
<br>
G1 ⇔ G<sub>inter</sub> ∪ ( ¬ G2 – ¬ G1 )<br>
<div class="sets2 NotA"></div>
<div class="sets2 NotUnionAB"></div>
<div class="sets2 DifferenceBA"></div>
<br>
G2 ⇔ G<sub>inter</sub> ∪ ( ¬ G1 – ¬ G2 )<br>
<div class="sets2 NotB"></div>
<div class="sets2 NotUnionAB"></div>
<div class="sets2 DifferenceAB"></div>
<br>
avec G<sub>inter</sub> = G1 ∩ G2 <br>
<div class="sets2 NotUnionAB"></div>
<div class="sets2 NotA"></div>
<div class="sets2 NotB"></div>
</th>
</tr>
<tr>
<td>
Si G1=[^a-z] et G2=[^A-Z]
<dl>
<dt>[a-z] ∩ [A-Z] = ∅ </dt>
<dd>[^a-z] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ [A-Z] </dd>
<dd>[^A-Z] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ [a-z] </dd>
<dd>avec G<sub>inter</sub> = [^a-zA-Z] </dd>
</dl>
Alors on créé :
<ul>
<li>un nouvel ensemble de caractère négatif : [^a-zA-Z]</li>
<li>deux nouveaux ensembles de caractère : [a-z] et [A-Z]</li>
</ul>
Les transitions de G1 et G2 sont modifiées.
<table>
<tr>
<td>
<dl>
<dt>1 <sup>[^a-z]</sup>→ 3</dt>
<dd>
1 <sup>[^a-zA-Z]</sup>→ 3 <br>
1 <sup>[A-Z]</sup>→ 3
</dd>
</dl>
</td>
<td>
<dl>
<dt>2 <sup>[^A-Z]</sup>→ 4</dt>
<dd>
2 <sup>[^a-zA-Z]</sup>→ 4 <br>
2 <sup>[a-z]</sup>→ 4
</dd>
</dl>
</td>
</tr>
</table>
Les symboles G1 et G2 sont effacés.
</td>
<td>
Si G1=[^a-z] et G2=[^xyzAB]
<dl>
<dt>[a-z] ∩ [xyzAB] ≠ ∅ </dt>
<dd>[^a-z] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( [xyzAB] – [a-z] )</dd>
<dd>[^xyzAB] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( [a-z] – [xyzAB] ) </dd>
<dd>avec G<sub>inter</sub> = [^a-zAB] </dd>
</dl>
Alors on créé :
<ul>
<li>un nouvel ensemble de caractère négatif : [^a-zAB]</li>
<li>deux nouveaux ensembles de caractère : [AB] et [a-w]</li>
</ul>
Les transitions de G1 et G2 sont modifiées.
<table>
<tr>
<td>
<dl>
<dt>1 <sup>[^a-z]</sup>→ 3</dt>
<dd>
1 <sup>[^a-zAB]</sup>→ 3 <br>
1 <sup>[AB]</sup>→ 3
</dd>
</dl>
</td>
<td>
<dl>
<dt>2 <sup>[^xyzAB]</sup>→ 4</dt>
<dd>
2 <sup>[^a-zAB]</sup>→ 4 <br>
2 <sup>[a-w]</sup>→ 4
</dd>
</dl>
</td>
</tr>
</table>
Les symboles G1 et G2 sont effacés.
</td>
</tr>
</table>
<a name="toc4"></a>
<h2>NCC vs CC</h2>
<table>
<tr>
<th>
∃! G ∈ NCC <br>
∀ Gi ∈ CC
</th>
</tr>
<tr>
<th>
Si G ∩ Gi ≠ ∅ <br>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 B"></div>
<br>
G = G – Gi ∪ G<sub>inter</sub> <br>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 DifferenceAB"></div>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
<br>
Gi = Gi – G ∪ G<sub>inter</sub> <br>
<div class="sets2 B"></div>
<div class="sets2 DifferenceBA"></div>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
<br>
avec G<sub>inter</sub> = G ∩ Gi<br>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 B"></div>
</th>
</tr>
<tr>
<td>
Si G=[^a-z] et Gi=[xyz0-9]
<dl>
<dt>[^a-z] ∩ [xyz0-9] ≠ ∅ = [0-9] </dt>
<dd>[^a-z] ⇒ [^a-z0-9] ∪ G<sub>inter</sub> </dd>
<dd>[xyz0-9] ⇒ [xyz] ∪ G<sub>inter</sub> </dd>
<dd>avec G<sub>inter</sub> = [0-9] </dd>
</dl>
Alors :
<ul>
<li>on divise l'ensemble de caractère en deux : [xyz] et [0-9]</li>
<li>on remplace l'unique ensemble de caractère négatif par [^a-z0-9] </li>
</ul>
Les transitions de G et Gi sont modifiées.
<table>
<tr>
<td>
<dl>
<dt>1 <sup>[^a-z]</sup>→ 3</dt>
<dd>
1 <sup>[^a-z0-9]</sup>→ 3 <br>
1 <sup>[0-9]</sup>→ 3
</dd>
</dl>
</td>
<td>
<dl>
<dt>2 <sup>[xyz0-9]</sup>→ 4</dt>
<dd>
2 <sup>[xyz]</sup>→ 4 <br>
2 <sup>[0-9]</sup>→ 4
</dd>
</dl>
</td>
</tr>
</table>
Les symboles G et Gi sont effacés.
</td>
</tr>
</table>
<a name="toc5"></a>
<h2>NCC vs Atoms</h2>
<p>L'ensemble négatif de caractère sera considéré sous sa forme finale après cette étape.</p>
<table>
<tr>
<th>
∃! G ∈ NCC <br>
∀ a ∈ A
</th>
</tr>
<tr>
<th>
Si a ∈ G <br>
G = G – {a} ∪ {a} <br>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 DifferenceAB"></div>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
<br>
</th>
</tr>
<tr>
<td>
Si G=[^a-z] et a=0
<dl>
<dt>0 ∈ [^a-z]</dt>
<dd>[^a-z] ⇒ [^a-z0] ∪ [0] </dd>
</dl>
<p>On remplace l'unique ensemble de caractère négatif par [^a-z0] </p>
Les transitions de G sont modifiées.
<dl>
<dt>1 <sup>[^a-z]</sup>→ 3</dt>
<dd>
1 <sup>[^a-z0]</sup>→ 3 <br>
1 <sup>0</sup>→ 3
</dd>
</dl>
Le symbole G est effacé.
</td>
</tr>
</table>
<a name="toc6"></a>
<h2>Décomposition de CC</h2>
<p>L'ensemble <abbr title="CharClasses">CC</abbr> contient les ensembles de caractère.</p>
<table>
<tr>
<th>
∀ G1, G2 ∈ CC, G1 ≠ G2
</th>
</tr>
<tr>
<th>
si G1 ∩ G2 ≠ ∅ <br>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 B"></div>
<br>
G1 ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( G1 – G<sub>inter</sub> )<br>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
<div class="sets2 DifferenceAB"></div>
<br>
G2 ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( G2 – G<sub>inter</sub> )<br>
<div class="sets2 B"></div>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
<div class="sets2 DifferenceBA"></div>
<br>
avec G<sub>inter</sub> = G1 ∩ G2 <br>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 B"></div>
</th>
</tr>
<tr>
<td>
Si G1=[xyzAB] et G2=[A-Z]
<dl>
<dt>[xyzAB] ∩ [A-Z] ≠ ∅ </dt>
<dd>[xyzAB] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( [xyzAB] – G<sub>inter</sub> )</dd>
<dd>[A-Z] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( [A-Z] – G<sub>inter</sub> ) </dd>
<dd>avec G<sub>inter</sub> = [AB] </dd>
</dl>
Alors on créé trois nouveaux ensembles de caractère :
<ol>
<li>G<sub>inter</sub> = [AB]</li>
<li>( [xyzAB] – G<sub>inter</sub> ) = [xyz]</li>
<li>[A-Z] – G<sub>inter</sub> ) = [C-Z] </li>
</ol>
Les transitions de G1 et G2 sont modifiées.
<table>
<tr>
<td>
<dl>
<dt>1 <sup>[xyzAB]</sup>→ 3</dt>
<dd>
1 <sup>[xyz]</sup>→ 3 <br>
1 <sup>[AB]</sup>→ 3
</dd>
</dl>
</td>
<td>
<dl>
<dt>2 <sup>[A-Z]</sup>→ 4</dt>
<dd>
2 <sup>[C-Z]</sup>→ 4 <br>
2 <sup>[AB]</sup>→ 4
</dd>
</dl>
</td>
</tr>
</table>
Les symboles G1 et G2 sont effacés, car G1 ⊄ G2 et G2 ⊄ G1.
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Si G1=[xyzA-Z] et G2=[A-Z]
<dl>
<dt>[xyzA-Z] ∩ [A-Z] ≠ ∅ </dt>
<dd>[xyzA-Z] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( [xyzA-Z] – G<sub>inter</sub> )</dd>
<dd>[A-Z] ⇒ G<sub>inter</sub> ∪ ( [A-Z] – G<sub>inter</sub> ) </dd>
<dd>avec G<sub>inter</sub> = [A-Z] </dd>
</dl>
Alors on créé deux nouveaux ensembles de caractère car G2 ⊂ G1
<ol>
<li>G<sub>inter</sub> = [A-Z]</li>
<li>( [xyzA-Z] – G<sub>inter</sub> ) = [xyz]</li>
<li><strike>[A-Z] – G<sub>inter</sub> ) = ∅ </strike></li>
</ol>
Les transitions de G1 et G2 sont modifiées.
<table>
<tr>
<td>
<dl>
<dt>1 <sup>[xyzA-Z]</sup>→ 3</dt>
<dd>
1 <sup>[xyz]</sup>→ 3 <br>
1 <sup>[A-Z]</sup>→ 3
</dd>
</dl>
</td>
<td>
<dl>
<dt><strike>2 <sup>[A-Z]</sup>→ 4 </strike></dt>
<dd>
<strike>2 <sup>[A-Z]</sup>→ 4 </strike> <br>
<strike>2 <sup>∅</sup>→ 4 </strike>
</dd>
</dl>
</td>
</tr>
</table>
Le symbole G1 est effacé car G1 ⊄ G2. <br>
Le symbole G2 est conservé car G2 ⊂ G1.
</td>
</tr>
</table>
<a name="toc7"></a>
<h2>CC vs Atoms</h2>
<table>
<tr>
<th>
∀ Gi ∈ CC, a ∈ A
</th>
</tr>
<tr>
<th>
si a ∈ Gi alors on modifie Gi <br>
Gi ⇒ ( Gi – {a} ) ∪ {a}<br>
<div class="sets2 A"></div>
<div class="sets2 DifferenceAB"></div>
<div class="sets2 IntersectionAB"></div>
</th>
</tr>
<tr>
<td>
Si Gi=[xyzA] et a=A
<dl>
<dt>A ∈ [xyzA] </dt>
<dd>[xyzA] ⇒ [xyz] ∪ [A]</dd>
</dl>
Les transitions de Gi sont modifiées.
<table>
<tr>
<td>
<dl>
<dt>1 <sup>[xyzA]</sup>→ 3</dt>
<dd>
1 <sup>[xyz]</sup>→ 3 <br>
1 <sup>A</sup>→ 3
</dd>
</dl>
</td>
</tr>
</table>
Le symbole Gi est effacé.
</td>
</tr>
</table>
<a name="toc8"></a>
<h2>Le symbole ANY <sup>deprecié</sup></h2>
<p>
Le symbole ANY, représentant n'importe quel caractère, sera définitivement supprimé.<br>
Ses transitions seront multipliées au minimum par deux...
</p>
<table>
<tr><td>
Si l'alphabet ∑ = {ε,ANY} ou {ANY}.<br>
Le symbole ANY est remplacé par <code>[^a]</code> et <code>a</code> (au hasard!).
</td></tr>
<tr><td>
Sinon le symbole ANY est remplacé par tous les autres symboles de l'alphabet ∑. C'est à dire :
<ul>
<li>l'ensemble des atomes, </li>
<li>des ensembles de caractère, </li>
<li>
et l'ensemble de caractère négatif.<br>
(Si il n'existe pas, il est créé depuis les atomes et les ensembles de caractères)
</li>
</ul>
</td></td>
</table>
<a name="toc9"></a>
<h2>Conclusion</h2>
<p> Au final on a :</p>
<ol>
<li>∃! G ∈ NCC <br>
Il n'existe plus qu'un ensemble négatif de caractère (|NCC|=1).</li>
<li>∀G ∈ NCC , ∀G1 ∈ CC , G ∩ G1 = ∅ <br>
Il n'y a plus d'intersection entre l'ensemble de caractère négatif et les ensembles de caractères.</li>
<li>∀G ∈ NCC , ∀a ∈ A , a ∉ G <br>
Il n'y a plus d'intersection entre l'ensemble de caractère négatif et les atomes.</li>
<li>∀G ∈ CC , ∀a ∈ A , a ∉ G <br>
Il n'y a plus d'intersection entre les ensembles de caractères et les atomes.</li>
<li>∀G1 ∈ CC , ∀G2 ∈ CC , si G1 ≠ G2 alors G1 ∩ G2 = ∅ <br>
Il n'y a plus d'intersection entre les ensembles de caractères.</li>
<li>Le symbole ANY n'est plus utilisé.</li>
</ol>
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</body>
</html>