-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 5
/
Copy pathluku20.tex
1360 lines (1168 loc) · 50.6 KB
/
luku20.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\chapter{Virtauslaskenta}
Annettuna on suunnattu, painotettu verkko,
josta on valittu tietty alkusolmu ja loppusolmu.
Tarkastelemme seuraavia ongelmia:
\begin{itemize}
\item \key{Maksimivirtauksen etsiminen}:
Kuinka paljon virtausta on mahdollista kuljettaa
verkon alkusolmusta loppusolmuun kaaria pitkin?
\item \key{Minimileikkauksen etsiminen}:
Mikä on yhteispainoltaan pienin joukko kaaria,
joiden poistaminen erottaa alkusolmun loppusolmusta?
\end{itemize}
Osoittautuu, että nämä ongelmat vastaavat toisiaan
ja ne on mahdollista ratkaista samanaikaisesti
toistensa avulla.
Käytämme esimerkkinä seuraavaa verkkoa,
jossa solmu 1 on alkusolmu ja solmu 6 on loppusolmu:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,2) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,1) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) -- node[font=\small,label=5] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) -- node[font=\small,label=6] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) -- node[font=\small,label=5] {} (4);
\path[draw,thick,->] (1) -- node[font=\small,label=below:4] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) -- node[font=\small,label=below:1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) -- node[font=\small,label=below:2] {} (4);
\path[draw,thick,<-] (2) -- node[font=\small,label=left:3] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) -- node[font=\small,label=left:8] {} (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\subsubsection{Maksimivirtaus}
\index{virtaus@virtaus}
\index{maksimivirtaus@maksimivirtaus}
\key{Maksimivirtaus} on suurin
mahdollinen verkossa kulkeva virtaus,
joka lähtee liikkeelle alkusolmusta ja
päätyy loppusolmuun.
Kunkin kaaren paino on kapasiteetti,
joka ilmaisee, kuinka paljon virtausta kaaren
kautta voi kulkea.
Kaikissa verkon solmuissa alku-
ja loppusolmua lukuun ottamatta
lähtevän ja tulevan virtauksen on oltava yhtä suuri.
Esimerkkiverkon maksimivirtaus on seuraava:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,2) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,1) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) -- node[font=\small,label=3/5] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) -- node[font=\small,label=6/6] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) -- node[font=\small,label=5/5] {} (4);
\path[draw,thick,->] (1) -- node[font=\small,label=below:4/4] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) -- node[font=\small,label=below:1/1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) -- node[font=\small,label=below:2/2] {} (4);
\path[draw,thick,<-] (2) -- node[font=\small,label=left:3/3] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) -- node[font=\small,label=left:1/8] {} (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Merkintä $v/k$ kaaressa tarkoittaa,
että kaaressa kulkee virtausta $v$
ja kaaren kapasiteetti on $k$.
Jokaiselle kaarelle tulee päteä $v \le k$.
Tässä verkossa
maksimivirtauksen suuruus on 7, koska alkusolmusta
lähtevä virtaus on $3+4=7$ ja loppusolmuun
tuleva virtaus on $5+2=7$.
Huomaa, että jokaisessa välisolmussa tulevan ja
lähtevän virtauksen määrä on yhtä suuri.
Esimerkiksi solmuun 2 tulee virtausta $3+3=6$ yksikköä solmuista 1 ja 4
ja siitä lähtee virtausta $6$ yksikköä solmuun 3.
\subsubsection{Minimileikkaus}
\index{leikkaus@leikkaus}
\index{minimileikkaus@minimileikkaus}
\key{Minimileikkaus} on yhteispainoltaan
pienin mahdollinen joukko verkon kaaria,
joiden poistaminen estää kulkemisen
alkusolmusta loppusolmuun.
Leikkauksen jälkeen alkuosaan kuuluvat
solmut, joihin pääsee alkusolmusta,
ja loppuosaan kuuluvat muut verkon solmut,
mukaan lukien loppusolmu.
Esimerkkiverkon minimileikkaus on seuraava:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,2) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,1) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) -- node[font=\small,label=5] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) -- node[font=\small,label=6] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) -- node[font=\small,label=5] {} (4);
\path[draw,thick,->] (1) -- node[font=\small,label=below:4] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) -- node[font=\small,label=below:1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) -- node[font=\small,label=below:2] {} (4);
\path[draw,thick,<-] (2) -- node[font=\small,label=left:3] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) -- node[font=\small,label=left:8] {} (6);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (4-.3,3-.3) -- (4+.3,3+.3);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (4-.3,3+.3) -- (4+.3,3-.3);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (4-.3,1-.3) -- (4+.3,1+.3);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (4-.3,1+.3) -- (4+.3,1-.3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tässä leikkauksessa alkuosassa ovat solmut $\{1,2,4\}$
ja loppuosassa ovat solmut $\{3,5,6\}$.
Minimileikkauksen paino on 7,
koska alkuosasta loppuosaan kulkevat
kaaret $2 \rightarrow 3$ ja $4 \rightarrow 5$,
joiden yhteispaino on $6+1=7$.
\\\\
Ei ole sattumaa, että esimerkkiverkossa
sekä maksimivirtauksen suuruus
että minimileikkauksen paino on 7.
Virtauslaskennan keskeinen tulos on,
että verkon maksimivirtaus ja
minimileikkaus
ovat \textit{aina} yhtä suuret,
eli käsitteet kuvaavat saman asian
kahta eri puolta.
Seuraavaksi tutustumme Ford–Fulkersonin
algoritmiin, jolla voi etsiä verkon
maksimivirtauksen ja
minimileikkauksen.
Algoritmi auttaa myös ymmärtämään,
\textit{miksi} maksimivirtaus ja
minimileikkaus ovat yhtä suuret.
\section{Ford–Fulkersonin algoritmi}
\index{Ford–Fulkersonin algoritmi}
\key{Ford–Fulkersonin algoritmi} etsii verkon maksimivirtauksen.
Algoritmi aloittaa tilanteesta,
jossa virtaus on 0, ja alkaa sitten etsiä verkosta polkuja,
jotka tuottavat siihen lisää virtausta.
Kun mitään polkua ei enää pysty muodostamaan,
maksimivirtaus on tullut valmiiksi.
Algoritmi käsittelee verkkoa muodossa,
jossa jokaiselle kaarelle on vastakkaiseen
suuntaan kulkeva pari.
Kaaren paino kuvastaa, miten paljon
lisää virtausta sen kautta pystyy vielä kulkemaan.
Aluksi alkuperäisen verkon kaarilla on
painona niiden kapasiteetti
ja käänteisillä kaarilla on painona 0.
\begin{samepage}
Esimerkkiverkosta syntyy seuraava verkko:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
\node[draw, circle] (1) at (1,1.3) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,2.6) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,2.6) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,1.3) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,0) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,0) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=5] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (1);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=6] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (2);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=5] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (3);
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=4] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (1);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=2] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (6);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:3] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:8] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:0] {} (3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{samepage}
\subsubsection{Algoritmin toiminta}
Ford–Fulkersonin algoritmi etsii verkosta joka vaiheessa polun,
joka alkaa alkusolmusta,
päättyy loppusolmuun ja jossa jokaisen kaaren
paino on positiivinen.
Jos vaihtoehtoja on useita, mikä tahansa valinta kelpaa.
Esimerkkiverkossa voimme valita vaikkapa seuraavan polun:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
\node[draw, circle] (1) at (1,1.3) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,2.6) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,2.6) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,1.3) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,0) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,0) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=5] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (1);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=6] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (2);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=5] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (3);
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=4] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (1);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=2] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (6);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:3] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:8] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:0] {} (3);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (1) edge [bend left=10] (2);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (2) edge [bend left=10] (3);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (3) edge [bend left=10] (6);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (6) edge [bend left=10] (4);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Polun valinnan jälkeen virtaus lisääntyy $x$ yksikköä,
jossa $x$ on pienin kaaren kapasiteetti polulla.
Samalla jokaisen polulla olevan kaaren kapasiteetti
vähenee $x$:llä ja jokaisen käänteisen kaaren kapasiteetti kasvaa $x$:llä.
Yllä valitussa polussa
kaarten kapasiteetit ovat 5, 6, 8 ja 2.
Pienin kapasiteetti on 2,
joten virtaus kasvaa 2:lla
ja verkko muuttuu seuraavasti:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
\node[draw, circle] (1) at (1,1.3) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,2.6) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,2.6) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,1.3) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,0) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,0) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=3] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (1);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=4] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (2);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=5] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (3);
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=4] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (1);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (6);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:3] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:6] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:2] {} (3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Muutoksessa on ideana, että virtauksen lisääminen
vähentää polkuun kuuluvien kaarten kykyä välittää virtausta.
Toisaalta virtausta on mahdollista peruuttaa myöhemmin
käyttämällä käänteisiä kaaria, jos osoittautuu, että
virtausta on järkevää reitittää verkossa toisella tavalla.
Algoritmi kasvattaa virtausta
niin kauan, kuin verkossa on olemassa polku
alkusolmusta loppusolmuun positiivisia kaaria pitkin.
Tässä tapauksessa
voimme valita seuraavan polun vaikkapa näin:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
\node[draw, circle] (1) at (1,1.3) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,2.6) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,2.6) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,1.3) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,0) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,0) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=3] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (1);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=4] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (2);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=5] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (3);
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=4] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (1);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (6);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:3] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:6] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:2] {} (3);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (1) edge [bend left=10] (5);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (5) edge [bend left=10] (2);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (2) edge [bend left=10] (3);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (3) edge [bend left=10] (4);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tämän polun pienin kapasiteetti on 3,
joten polku kasvattaa virtausta 3:lla
ja kokonaisvirtaus polun käsittelyn jälkeen on 5.
\begin{samepage}
Nyt verkko muuttuu seuraavasti:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
\node[draw, circle] (1) at (1,1.3) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,2.6) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,2.6) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,1.3) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,0) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,0) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=3] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (1);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=1] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:5] {} (2);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=2] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:3] {} (3);
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=1] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:3] {} (1);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=1] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (6);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:0] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:3] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:6] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:2] {} (3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{samepage}
Maksimivirtaus tulee valmiiksi
lisäämällä virtausta vielä polkujen $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6$ ja
$1 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 3 \rightarrow 6$ avulla.
Molemmat polut tuottavat 1 yksikön lisää virtausta,
ja lopullinen verkko on seuraava:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
\node[draw, circle] (1) at (1,1.3) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,2.6) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,2.6) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,1.3) {$6$};
\node[draw, circle] (5) at (3,0) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,0) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=2] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:3] {} (1);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:6] {} (2);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:5] {} (3);
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:4] {} (1);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:1] {} (5);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (6);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:0] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:3] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:7] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:1] {} (3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Nyt virtausta ei pysty enää kasvattamaan,
koska verkossa ei ole mitään polkua
alkusolmusta loppusolmuun,
jossa jokaisen kaaren paino olisi positiivinen.
Niinpä algoritmi pysähtyy ja verkon maksimivirtaus on 7.
\subsubsection{Polun valinta}
Ford–Fulkersonin algoritmi ei ota kantaa siihen,
millä tavoin virtausta kasvattava polku valitaan verkossa.
Valintatavasta riippumatta algoritmi pysähtyy
ja tuottaa maksimivirtauksen ennemmin tai myöhemmin,
mutta polun valinnalla on vaikutusta algoritmin tehokkuuteen.
Yksinkertainen tapa on valita virtausta kasvattava
polku syvyyshaulla.
Tämä toimii usein hyvin, mutta pahin tapaus on,
että jokainen polku
kasvattaa virtausta vain 1:llä ja algoritmi toimii hitaasti.
Onneksi tämän ilmiön pystyy estämään käyttämällä
jompaakumpaa seuraavaa algoritmia:
\index{Edmonds–Karpin algoritmi}
\key{Edmonds–Karpin algoritmi} on
Ford–Fulkersonin algoritmin toteutus,
jossa virtausta kasvattava polku valitaan
aina niin, että siinä on mahdollisimman vähän kaaria.
Tämä onnistuu etsimällä polku syvyyshaun
sijasta leveyshaulla.
Osoittautuu, että tämä varmistaa virtauksen
kasvamisen nopeasti ja
maksimivirtauksen etsiminen vie aikaa $O(m^2 n)$.
\index{skaalaava algoritmi@skaalaava algoritmi}
\key{Skaalaava algoritmi}
asettaa minimiarvon, joka on ensin alkusolmusta
lähtevien kaarten kapasiteettien summa $c$.
Joka vaiheessa verkosta etsitään
syvyyshaulla polku, jonka jokaisen kaaren kapasiteetti
on vähintään minimiarvo.
Aina jos kelvollista polkua ei löydy,
minimiarvo jaetaan 2:lla,
kunnes lopuksi minimiarvo on 1.
Algoritmin aikavaativuus on $O(m^2 \log c)$.
Käytännössä skaalaava algoritmi on mukavampi koodattava,
koska siinä riittää etsiä polku syvyyshaulla.
Molemmat algoritmit ovat yleensä aina riittävän
nopeita ohjelmointikisoissa esiintyviin tehtäviin.
\subsubsection{Minimileikkaus}
\index{minimileikkaus@minimileikkaus}
Osoittautuu, että kun Ford–Fulkersonin algoritmi on saanut valmiiksi
maksimivirtauksen, se on tuottanut samalla minimileikkauksen.
Olkoon $A$ niiden solmujen joukko,
joihin verkossa pääsee
alkusolmusta positiivisia kaaria pitkin.
Esimerkkiverkossa $A$ sisältää solmut 1, 2 ja 4:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
\node[draw, circle,fill=lightgray] (1) at (1,1.3) {$1$};
\node[draw, circle,fill=lightgray] (2) at (3,2.6) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,2.6) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (7,1.3) {$6$};
\node[draw, circle,fill=lightgray] (5) at (3,0) {$4$};
\node[draw, circle] (6) at (5,0) {$5$};
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=2] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:3] {} (1);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (3);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:6] {} (2);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:5] {} (3);
\path[draw,thick,->] (1) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (5);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:4] {} (1);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:1] {} (5);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=0] {} (4);
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left=10] node[font=\small,label=below:2] {} (6);
\path[draw,thick,->] (5) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:0] {} (2);
\path[draw,thick,->] (2) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:3] {} (5);
\path[draw,thick,->] (3) edge [bend left=10] node[font=\small,label=right:7] {} (6);
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left=10] node[font=\small,label=left:1] {} (3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Nyt minimileikkauksen muodostavat ne alkuperäisen verkon kaaret,
jotka kulkevat joukosta $A$ joukon $A$ ulkopuolelle
ja joiden kapasiteetti on täysin käytetty
maksimivirtauksessa.
Tässä verkossa kyseiset kaaret ovat $2 \rightarrow 3$
ja $4 \rightarrow 5$, jotka tuottavat minimileikkauksen $6+1=7$.
Miksi sitten algoritmin tuottama virtaus ja leikkaus ovat
varmasti maksimivirtaus ja minimileikkaus?
Syynä tähän on, että verkossa ei voi olla virtausta,
jonka suuruus ylittäisi yhdenkään
verkossa olevan leikkauksen painoa.
Niinpä kun verkossa oleva
virtaus ja leikkaus ovat yhtä suuret,
ne ovat varmasti maksimivirtaus ja minimileikkaus.
Tarkastellaan mitä tahansa verkon leikkausta,
jossa alkusolmu kuuluu osaan $A$,
loppusolmu kuuluu osaan $B$ ja osien välillä kulkee kaaria:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[dashed] (-2,0) circle (1.5);
\draw[dashed] (2,0) circle (1.5);
\node at (-2,-1) {$A$};
\node at (2,-1) {$B$};
\node[draw, circle] (1) at (-1,0.5) {};
\node[draw, circle] (2) at (-1,0) {};
\node[draw, circle] (3) at (-1,-0.5) {};
\node[draw, circle] (4) at (1,0.5) {};
\node[draw, circle] (5) at (1,0) {};
\node[draw, circle] (6) at (1,-0.5) {};
\path[draw,thick,->] (1) -- (4);
\path[draw,thick,->] (5) -- (2);
\path[draw,thick,->] (3) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Leikkauksen paino on niiden kaarten painojen summa,
jotka kulkevat osasta $A$ osaan $B$.
Tämä on yläraja sille, kuinka suuri verkossa oleva virtaus voi olla,
koska virtauksen täytyy edetä osasta $A$ osaan $B$.
Niinpä maksimivirtaus on pienempi tai yhtä suuri kuin
mikä tahansa verkon leikkaus.
Toisaalta Ford–Fulkersonin algoritmi tuottaa virtauksen,
joka on \emph{tarkalleen} yhtä suuri kuin verkossa oleva leikkaus.
Niinpä tämän virtauksen on oltava maksimivirtaus ja
vastaavasti leikkauksen on oltava minimileikkaus.
\section{Rinnakkaiset polut}
Ensimmäisenä virtauslaskennan sovelluksena tarkastelemme
tehtävää, jossa tavoitteena on muodostaa mahdollisimman
monta rinnakkaista polkua verkon alkusolmusta loppusolmuun.
Vaatimuksena on, että jokainen verkon kaari esiintyy
enintään yhdellä polulla.
Esimerkiksi verkossa
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (5) at (5,1) {$5$};
\node[draw, circle] (6) at (7,2) {$6$};
\path[draw,thick,->] (1) -- (2);
\path[draw,thick,->] (1) -- (4);
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
\path[draw,thick,->] (3) -- (2);
\path[draw,thick,->] (3) -- (5);
\path[draw,thick,->] (3) -- (6);
\path[draw,thick,->] (4) -- (3);
\path[draw,thick,->] (4) -- (5);
\path[draw,thick,->] (5) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
pystyy muodostamaan kaksi rinnakkaista polkua solmusta 1 solmuun 6.
Tämä toteutuu valitsemalla polut
$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 6$
ja $1 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (5) at (5,1) {$5$};
\node[draw, circle] (6) at (7,2) {$6$};
\path[draw,thick,->] (1) -- (2);
\path[draw,thick,->] (1) -- (4);
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
\path[draw,thick,->] (3) -- (2);
\path[draw,thick,->] (3) -- (5);
\path[draw,thick,->] (3) -- (6);
\path[draw,thick,->] (4) -- (3);
\path[draw,thick,->] (4) -- (5);
\path[draw,thick,->] (5) -- (6);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (1) -- (2);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (2) -- (4);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (4) -- (3);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (3) -- (6);
\path[draw=blue,thick,->,line width=2pt] (1) -- (4);
\path[draw=blue,thick,->,line width=2pt] (4) -- (5);
\path[draw=blue,thick,->,line width=2pt] (5) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Osoittautuu, että suurin rinnakkaisten polkujen määrä
on yhtä suuri kuin maksimivirtaus verkossa,
jossa jokaisen kaaren kapasiteetti on 1.
Kun maksimivirtaus on muodostettu,
rinnakkaiset polut voi löytää
ahneesti etsimällä alkusolmusta loppusolmuun
kulkevia polkuja.
Tarkastellaan sitten tehtävän muunnelmaa,
jossa jokainen solmu (alku- ja loppusolmua lukuun ottamatta)
saa esiintyä enintään yhdellä polulla.
Tämän rajoituksen seurauksena äskeisessä verkossa
voi muodostaa vain yhden polun,
koska solmu 4 ei voi esiintyä monella polulla:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (5) at (5,1) {$5$};
\node[draw, circle] (6) at (7,2) {$6$};
\path[draw,thick,->] (1) -- (2);
\path[draw,thick,->] (1) -- (4);
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
\path[draw,thick,->] (3) -- (2);
\path[draw,thick,->] (3) -- (5);
\path[draw,thick,->] (3) -- (6);
\path[draw,thick,->] (4) -- (3);
\path[draw,thick,->] (4) -- (5);
\path[draw,thick,->] (5) -- (6);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (1) -- (2);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (2) -- (4);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (4) -- (3);
\path[draw=green,thick,->,line width=2pt] (3) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tavallinen keino rajoittaa solmun kautta kulkevaa
virtausta on jakaa solmu tulosolmuksi ja lähtösolmuksi.
Kaikki solmuun tulevat kaaret saapuvat tulosolmuun
ja kaikki solmusta lähtevät kaaret poistuvat lähtösolmusta.
Lisäksi tulosolmusta lähtösolmuun on kaari,
jossa on haluttu kapasiteetti.
Tässä tapauksessa verkosta tulee seuraava:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2a) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3a) at (6,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4a) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (5a) at (6,1) {$5$};
\node[draw, circle] (2b) at (4,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3b) at (7,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4b) at (4,1) {$4$};
\node[draw, circle] (5b) at (7,1) {$5$};
\node[draw, circle] (6) at (9,2) {$6$};
\path[draw,thick,->] (2a) -- (2b);
\path[draw,thick,->] (3a) -- (3b);
\path[draw,thick,->] (4a) -- (4b);
\path[draw,thick,->] (5a) -- (5b);
\path[draw,thick,->] (1) -- (2a);
\path[draw,thick,->] (1) -- (4a);
\path[draw,thick,->] (2b) -- (4a);
\path[draw,thick,->] (3b) edge [bend right=30] (2a);
\path[draw,thick,->] (3b) -- (5a);
\path[draw,thick,->] (3b) -- (6);
\path[draw,thick,->] (4b) -- (3a);
\path[draw,thick,->] (4b) -- (5a);
\path[draw,thick,->] (5b) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tämän verkon maksimivirtaus on:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$1$};
\node[draw, circle] (2a) at (3,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3a) at (6,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4a) at (3,1) {$4$};
\node[draw, circle] (5a) at (6,1) {$5$};
\node[draw, circle] (2b) at (4,3) {$2$};
\node[draw, circle] (3b) at (7,3) {$3$};
\node[draw, circle] (4b) at (4,1) {$4$};
\node[draw, circle] (5b) at (7,1) {$5$};
\node[draw, circle] (6) at (9,2) {$6$};
\path[draw,thick,->] (2a) -- (2b);
\path[draw,thick,->] (3a) -- (3b);
\path[draw,thick,->] (4a) -- (4b);
\path[draw,thick,->] (5a) -- (5b);
\path[draw,thick,->] (1) -- (2a);
\path[draw,thick,->] (1) -- (4a);
\path[draw,thick,->] (2b) -- (4a);
\path[draw,thick,->] (3b) edge [bend right=30] (2a);
\path[draw,thick,->] (3b) -- (5a);
\path[draw,thick,->] (3b) -- (6);
\path[draw,thick,->] (4b) -- (3a);
\path[draw,thick,->] (4b) -- (5a);
\path[draw,thick,->] (5b) -- (6);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (1) -- (2a);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (2a) -- (2b);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (2b) -- (4a);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (4a) -- (4b);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (4b) -- (3a);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (3a) -- (3b);
\path[draw=red,thick,->,line width=2pt] (3b) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tämä tarkoittaa, että verkossa on mahdollista muodostaa
vain yksi polku alkusolmusta lähtösolmuun,
kun sama solmu ei saa esiintyä monessa polussa.
\section{Maksimiparitus}
\index{paritus@paritus}
\index{maksimiparitus@maksimiparitus}
\key{Maksimiparitus} on suurin mahdollinen joukko
verkon solmuista muodostettuja pareja,
jolle pätee,
että jokaisen parin välillä on kaari verkossa
ja jokainen solmu kuuluu enintään yhteen pariin.
Maksimiparituksen etsimiseen yleisessä
verkossa on olemassa polynominen algoritmi,
mutta se on hyvin monimutkainen.
Tässä luvussa keskitymmekin tilanteeseen,
jossa verkko on kaksijakoinen.
Tällöin maksimiparituksen pystyy etsimään
helposti virtauslaskennan avulla.
\subsubsection{Maksimiparituksen etsiminen}
Kaksijakoinen verkko voidaan esittää niin,
että se muodostuu vasemman ja oikean puolen
solmuista ja kaikki verkon kaaret kulkevat puolten välillä.
Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa verkkoa:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.60]
\node[draw, circle] (1) at (2,4.5) {1};
\node[draw, circle] (2) at (2,3) {2};
\node[draw, circle] (3) at (2,1.5) {3};
\node[draw, circle] (4) at (2,0) {4};
\node[draw, circle] (5) at (8,4.5) {5};
\node[draw, circle] (6) at (8,3) {6};
\node[draw, circle] (7) at (8,1.5) {7};
\node[draw, circle] (8) at (8,0) {8};
\path[draw,thick,-] (1) -- (5);
\path[draw,thick,-] (2) -- (7);
\path[draw,thick,-] (3) -- (5);
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
\path[draw,thick,-] (3) -- (8);
\path[draw,thick,-] (4) -- (7);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tässä verkossa maksimiparituksen koko on 3:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.60]
\node[draw, circle] (1) at (2,4.5) {1};
\node[draw, circle] (2) at (2,3) {2};
\node[draw, circle] (3) at (2,1.5) {3};
\node[draw, circle] (4) at (2,0) {4};
\node[draw, circle] (5) at (8,4.5) {5};
\node[draw, circle] (6) at (8,3) {6};
\node[draw, circle] (7) at (8,1.5) {7};
\node[draw, circle] (8) at (8,0) {8};
\path[draw,thick,-] (1) -- (5);
\path[draw,thick,-] (2) -- (7);
\path[draw,thick,-] (3) -- (5);
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
\path[draw,thick,-] (3) -- (8);
\path[draw,thick,-] (4) -- (7);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (1) -- (5);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (2) -- (7);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (3) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Kaksijakoisen verkon maksimiparitus
vastaa maksimivirtausta verkossa,
johon on lisätty alkusolmu ja loppusolmu.
Alkusolmusta on kaari jokaiseen vasemman
puolen solmuun, ja vastaavasti loppusolmuun
on kaari jokaisesta oikean puolen solmusta.
Jokaisen kaaren kapasiteettina on 1.
Esimerkissä tuloksena on seuraava verkko:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.60]
\node[draw, circle] (1) at (2,4.5) {1};
\node[draw, circle] (2) at (2,3) {2};
\node[draw, circle] (3) at (2,1.5) {3};
\node[draw, circle] (4) at (2,0) {4};
\node[draw, circle] (5) at (8,4.5) {5};
\node[draw, circle] (6) at (8,3) {6};
\node[draw, circle] (7) at (8,1.5) {7};
\node[draw, circle] (8) at (8,0) {8};
\node[draw, circle] (a) at (-2,2.25) {\phantom{0}};
\node[draw, circle] (b) at (12,2.25) {\phantom{0}};
\path[draw,thick,->] (1) -- (5);
\path[draw,thick,->] (2) -- (7);
\path[draw,thick,->] (3) -- (5);
\path[draw,thick,->] (3) -- (6);
\path[draw,thick,->] (3) -- (8);
\path[draw,thick,->] (4) -- (7);
\path[draw,thick,->] (a) -- (1);
\path[draw,thick,->] (a) -- (2);
\path[draw,thick,->] (a) -- (3);
\path[draw,thick,->] (a) -- (4);
\path[draw,thick,->] (5) -- (b);
\path[draw,thick,->] (6) -- (b);
\path[draw,thick,->] (7) -- (b);
\path[draw,thick,->] (8) -- (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tämän verkon maksimivirtaus on yhtä suuri kuin
alkuperäisen verkon maksimiparitus,
koska virtaus muodostuu joukosta polkuja
alkusolmusta loppusolmuun ja jokainen
polku ottaa mukaan uuden kaaren paritukseen.
Tässä tapauksessa maksimivirtaus on 3,
joten maksimiparitus on myös 3.
\subsubsection{Hallin lause}
\index{Hallin lause@Hallin lause}
\index{txydellinen paritus@täydellinen paritus}
\key{Hallin lause} antaa ehdon, milloin kaksijakoiseen
verkkoon voidaan muodostaa paritus,
joka sisältää kaikki toisen puolen solmut.
Jos kummallakin puolella on yhtä monta solmua,
Hallin lause kertoo, voidaanko muodostaa
\key{täydellinen paritus},
jossa kaikki solmut paritetaan keskenään.
Oletetaan, että haluamme muodostaa parituksen,
johon kuuluvat kaikki vasemman puolen solmut.
Olkoon $X$ jokin joukko vasemman puolen solmuja
ja $f(X)$ näiden solmujen naapurien joukko.
Hallin lauseen mukaan paritus on mahdollinen,
kun jokaiselle joukolle $X$
pätee $|X| \le |f(X)|$.
Tarkastellaan Hallin lauseen merkitystä esimerkkiverkossa.
Valitaan ensin $X=\{1,3\}$, jolloin $f(X)=\{5,6,8\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.60]
\node[draw, circle, fill=lightgray] (1) at (2,4.5) {1};
\node[draw, circle] (2) at (2,3) {2};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (3) at (2,1.5) {3};
\node[draw, circle] (4) at (2,0) {4};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (5) at (8,4.5) {5};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (6) at (8,3) {6};
\node[draw, circle] (7) at (8,1.5) {7};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (8) at (8,0) {8};
\path[draw,thick,-] (1) -- (5);
\path[draw,thick,-] (2) -- (7);
\path[draw,thick,-] (3) -- (5);
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
\path[draw,thick,-] (3) -- (8);
\path[draw,thick,-] (4) -- (7);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tämä täyttää Hallin lauseen ehdon, koska $|X|=2$ ja $|f(X)|=3$.
Valitaan sitten $X=\{2,4\}$, jolloin $f(X)=\{7\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.60]
\node[draw, circle] (1) at (2,4.5) {1};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (2) at (2,3) {2};
\node[draw, circle] (3) at (2,1.5) {3};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (4) at (2,0) {4};
\node[draw, circle] (5) at (8,4.5) {5};
\node[draw, circle] (6) at (8,3) {6};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (7) at (8,1.5) {7};
\node[draw, circle] (8) at (8,0) {8};
\path[draw,thick,-] (1) -- (5);
\path[draw,thick,-] (2) -- (7);
\path[draw,thick,-] (3) -- (5);
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
\path[draw,thick,-] (3) -- (8);
\path[draw,thick,-] (4) -- (7);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tässä tapauksessa $|X|=2$ ja $|f(X)|=1$, joten Hallin lauseen ehto
ei ole voimassa.
Tämä tarkoittaa, että verkossa
ei ole mahdollista muodostaa täydellistä paritusta,
johon kuuluvat kaikki vasemman puolen solmut.
Tämä on myös odotettu tulos, koska verkon maksimiparitus on 3 eikä 4.
Jos Hallin lauseen ehto ei päde, osajoukko $X$
kertoo syyn sille, miksi paritusta ei voi muodostaa.
Koska $X$ sisältää enemmän solmuja kuin $f(X)$,
kaikille $X$:n solmuille ei riitä paria oikealta.
Esimerkiksi yllä molemmat solmut 2 ja 4 tulisi
yhdistää solmuun 7, mutta tämä ei ole mahdollista.
\subsubsection{Kőnigin lause}
\index{Kőnigin lause}
\index{solmupeite@solmupeite}
\index{pienin solmupeite@pienin solmupeite}
\key{Kőnigin lause} tarjoaa tehokkaan
tavan muodostaa kaksijakoiselle verkolle
\key{pienin solmupeite} eli pienin sellainen
solmujen joukko, että jokaisesta verkon kaaresta ainakin
toinen päätesolmuista kuuluu joukkoon.
Yleisessä verkossa pienimmän solmupeitteen
etsiminen on NP-vaikea ongelma.
Sen sijaan kaksijakoisessa verkossa
Kőnigin lauseen nojalla maksimiparitus ja
pienin solmupeite ovat aina yhtä suuria,
minkä ansiosta
pienimmän solmupeitteen voi
etsiä tehokkaasti virtauslaskennan avulla.
Tarkastellaan taas seuraavaa verkkoa,
jonka maksimiparituksen koko on 3:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.60]
\node[draw, circle] (1) at (2,4.5) {1};
\node[draw, circle] (2) at (2,3) {2};
\node[draw, circle] (3) at (2,1.5) {3};
\node[draw, circle] (4) at (2,0) {4};
\node[draw, circle] (5) at (8,4.5) {5};
\node[draw, circle] (6) at (8,3) {6};
\node[draw, circle] (7) at (8,1.5) {7};
\node[draw, circle] (8) at (8,0) {8};
\path[draw,thick,-] (1) -- (5);
\path[draw,thick,-] (2) -- (7);
\path[draw,thick,-] (3) -- (5);
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
\path[draw,thick,-] (3) -- (8);
\path[draw,thick,-] (4) -- (7);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (1) -- (5);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (2) -- (7);
\path[draw=red,thick,-,line width=2pt] (3) -- (6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Kőnigin lauseen ansiosta tiedämme nyt,
että myös pienimmän solmupeitteen koko on 3.
Solmupeite voidaan muodostaa seuraavasti:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.60]
\node[draw, circle, fill=lightgray] (1) at (2,4.5) {1};
\node[draw, circle] (2) at (2,3) {2};
\node[draw, circle, fill=lightgray] (3) at (2,1.5) {3};
\node[draw, circle] (4) at (2,0) {4};
\node[draw, circle] (5) at (8,4.5) {5};
\node[draw, circle] (6) at (8,3) {6};