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Teoria de conjuntos é uma área da matemática que estuda conjuntos, suas operações e propriedades.

  • Um conjunto é uma coleção de itens disjuntos.

Símbolos básicos

Operações

  • a operação de união ∪, significa "ou"
  • a operação de interseção ∩, que significa "e"
  • a operação de exclusão \, significa "sem" ou "menos"
  • a operação de conjunto complementar ', que significa "o inverso de"
  • a operação de produto cartesiano ×,que significa "o produto cartesiano de"

Outros símbolos

  • : ou |, símbolos que significam "tal que"
  • o símbolo de pertencimento ∈, que significa "pertence a"
  • o símbolo ⊆, que significa "subconjunto de" (neste caso, o subconjunto pode ser igual ao conjunto)
  • o símbolo ⊂, que significa "subconjunto próprio" (neste caso, o subconjunto não pode ser igual ao conjunto)

Conjuntos canônicos

  • ∅, o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui itens
  • ℕ, o conjunto de todos os números naturais
  • ℤ, o conjunto de todos os números inteiros
  • ℚ, o conjunto de todos os números racionais
  • ℝ, o conjunto de todos os números reais

Existem algumas ressalvas sobre os conjuntos canônicos:

  • Apesar de o conjunto vazio não conter itens, o conjunto vazio é subconjunto de si mesmo (e portanto de todos os outros conjuntos)
  • Matemáticos geralmente não concordam sobre o zero ser um número natural e os livros tipicamente explicitam se o autor considera ou não o zero como um número natural

Cardinalidade

A cardinalidade (ou tamanho) de um conjunto é determinado pela quantidade de itens no conjunto. O operador de cardinalidade é |...|

Por exemplo, se S = {1, 2, 4}, então |S| = 3.

O Conjunto Vazio

  • o conjunto vazio pode ser contruído em notação de conjuntos utilizando condições impossíveis, como por exemplo: ∅ = { x : x ≠ x }, ou ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }
  • o conjunto vazio é sempre único (ou seja, existe um e apenas um conjunto vazio)
  • o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos
  • a cardinalidade do conjunto vazio é 0, ou seja, |∅| = 0.

Representando conjuntos

Definição Literal

Um conjunto pode ser contruído literalmente fornecendo uma lista completa dos itens contigos no conjunto. Por exemplo S = { a, b, c, d }

Listas longas podem ser encurtadas com reticências, desde que o contexto seja claro. Por exemplo, E = { 2, 4, 6, 8, ... } é claramente o conjunto de todos os números pares, contendo um número infinito de objetos, embora só tenhamos escrito explicitamente quatro deles.

Definição por compreensão

Conjuntos também podem ser descritos de uma maneira mais descritiva, baseando-se em sujeito e predicado, de forma tal que S = {sujeito : predicado}. Por exemplo:

A = { x : x é uma vogal } = { a, e, i, o, u }         (lê-se x, tal que x é uma vogal)
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

Ou pode-se também aplicar uma função ao sujeito, ex:

D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

Relações

Pertencimento

  • Se um valor a está contido num conjunto A, então dizemos que a pertence a A e denotamos por a ∈ A
  • Se o valor a não está contido no conjunto A, então dizemos que a não pertence a A e denotamos por a ∉ A

Igualdade

  • Se dois conjuntos contém os mesmos itens, então dizemos que os conjuntos são iguals, ex. A = B
  • A ordenação não importa quando vamos avaliar a igualdade, ex: { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }
  • Conjuntos são disjuntos, o que significa que os elementos não podem ser repetidos, ex: { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }
  • Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, A ⊆ B e B ⊆ A

Conjuntos especiais

O Conjunto das Partes

  • Seja A um conjunto qualquer. O conjunto que contém todos os possíveis subconjuntos de A é chamado "conjunto das partes" e é denotado como P(A). Se o conjunto A contém n elementos, então o conjunto das partes conterá 2^n elementos.
P(A) = { x : x ⊆ A }

Operações entre dois conjuntos

União

Dados dois conjuntos A e B, a união entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A ou em B, denotado por A ∪ B.

A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }

Interseção

Dados dois conjuntos A e B, a interseção entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A e em B, denotado por A ∩ B.

A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }

Diferença

Dados dois conjuntos A e B, o conjunto da diferença entre A e B são todos os itens de A que não pertencem a B.

A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }

Diferença simétrica

Dados dois conjuntos A e B, a diferença simétrica são todos os itens entre A e B que não aparecem na interseção desses dois conjuntos.

A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A e B consiste no conjunto contendo todas as combinações dos itens de A e B.

A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }