Geometría simpléctica, sistemas Hamiltonianos y sus aplicaciones en física

El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado en Matemáticas es formular geométricamente la mecánica clásica según la imaginó Hamilton. Estudiaremos cómo se describe un sistema mecánico, por ejemplo una partícula en un campo electromagnético, como una variedad diferenciable con una estructura simpléctica, que nos da las ecuaciones de evolución del sistema. Analizaremos las transformaciones de estos sistemas observando cómo se modifican a su vez las ecuaciones de evolución, dándoles un sentido que normalmente se omite en los cursos de física. Más adelante, centraremos nuestra atención en aquellas transformaciones que dejan inalterados estos sistemas: las simetrías. Demostraremos el célebre teorema de Noether en su versión Hamiltoniana, que asocia a cada simetría una cantidad conservada en la evolución de los sistemas físicos. Se ofrecerán demostraciones rigurosas de los métodos empleados comúnmente en física para reducir las ecuaciones de evolución a partir de estas simetrías, es lo que llamaremos reducción simpléctica. A lo largo del trabajo, la teoría se ilustra con el estudio detallado de algunos ejemplos, como el sólido rígido, una partícula con carga en un campo electromagnético o el problema de Kepler de dos cuerpos celestes atraídos por una fuerza central.