Apunte de operaciones con Matrices #75
martinvilu
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Matrices especiales
Identidad
La matriz identidad es aquella que tiene
1
en la diagonal y0
en todo el resto.Aritmética matricial
Preparando el camino para el TP6, les envío un µapunte de operaciones sobre matrices, sin muchas explicaciones, simplemente con los algoritmos de las mismas.
Suma de Matrices
Dadas dos matrices$A$ y $B$ de dimensiones ( m \times n ), su suma es posible solo si ambas matrices tienen las mismas dimensiones. La suma se define como la suma de los elementos correspondientes de las matrices:
Donde:
Ejemplo
Si tenemos las matrices:
La suma de$A$ y $B$ es:
Multiplicación de Matrices
La multiplicación de matrices es posible si el número de columnas de la primera matriz$A$ coincide con el número de filas de la segunda matriz $B$ . Si $A$ es de dimensiones $m \times n$ y $B$ es de dimensiones $n \times p$ , el producto de matrices $C = A \cdot B$ es una matriz de dimensiones $m \times p$ .
Ejemplo
Si tenemos las matrices:
La multiplicación de ( A ) y ( B ) es:
Ejemplo 2
Dada una matriz columna$A$ de dimensiones $3 \times 1$ y un vector $v$ de 1 fila y 3 columnas, el producto de estos se define como:
El producto$C = A \cdot v$ es una matriz $3 \times 3$ :
Transposición
La transposición de una matriz$A$ , denotada como $A^T$ , es una operación que invierte las filas y columnas de la matriz. Dada una matriz $A$ de dimensiones $m \times n$ , su transposición será una matriz de dimensiones $n \times m$ , donde el elemento en la fila $i$ y columna $j$ de $A$ se convierte en el elemento en la fila $j$ y columna $i$ de $A^T$ .
Ejemplo
Si tenemos la matriz:
La transposición de$A$ es:
Determinante
Dada una matriz cuadrada$A$ de dimensiones $3 \times 3$ ,
Su determinante$\det(A)$ se calcula mediante la fórmula:
Ejemplo
Si tenemos la matriz:
El determinante de$A$ es:
Por lo tanto, el determinante de la matriz$A$ es $0$ .
Determinante 4x4
Dada una matriz cuadrada$A$ de dimensiones $4 \times 4$ , su determinante se calcula usando el método de cofactores. La matriz $A$ es:
El determinante de$A$ se expande usando la primera fila:
Ejemplo
Considera la matriz:
El determinante de$A$ es:
Calculamos los determinantes de las submatrices de$3 \times 3$ :
Por lo tanto:
El determinante de esta matriz$A$ es $0$ .
Usos y aplicaciones
¿Y para qué se usan estas operaciones? Aquí les comento que se hace con cada operación, incluyendo algunas que no están en el µapunte
1. Suma de Matrices
2. Multiplicación de Matrices
3. Transposición de Matrices
4. Determinante de Matrices
5. Inversa de una Matriz
6. Diagonalización de Matrices
7. Descomposición de Valores Singulares (SVD)
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