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> module TreeTalk where
> import Prelude
Literate Haskell: Trees
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1) Bäume
2) Operationen auf Bäumen
3) Map/ Fold... - Bsp. foldBtree
4) Show/ treeShow
5) Rose-Trees
6) Funktionssynthese
toB
8) Anwendungsbeispiel: Red-Black-Trees
7) Anwendungsbeispiel: BinarySearchTrees
Deforestation
Bsp.: Quicksort
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-- Binärbäume
---------------------------------------------------------------------
> data Btree a = Leaf a | Fork Int (Btree a) (Btree a)
Größe und Höhe
Die Größe eines Baumes entspricht der Anzahl seiner Blätter. Die Anzahl der inneren Knoten entspricht immer der Anzahl der Blätter - 1.
> size (Leaf x) = 1
> size (Fork n xt yt) = size xt + size yt
> nodes (Leaf x) = 0
> nodes (Fork n xt yt) = 1 + nodes xt + nodes yt
Die Höhe eines Baumes entspricht seiner größten Schachtelungstiefe. Ein Baum, der nur aus einem Blatt besteht, hat die Höhe 0.
> height (Leaf x) = 0
> height (Fork n xt yt) = 1 + max (height xt) (height yt)
-- > max
Die Funktion "depths" errechnet die Tiefe eines Baumes und ersetzt dabei jeden Knoten durch seine entsprechende Höhe.
> depths = down 0
> down n (Leaf x) = Leaf n
> down n (Fork m xt yt) = Fork m (down (n+1) xt) (down (n+1) yt)
> flatten (Leaf x) = [x]
> flatten (Fork n xt yt) = flatten xt ++ flatten yt
"map" und "fold"
Die oft eingesetzten Methoden "map" und "fold" funktionieren natürlich auch auf Bäumen. "map" wendet hierbei eine Funktion auf jedes Blatt des Baumes an, während "fold" eine Funktion für Blätter und eine für Knoten erwartet.
> mapBtree f (Leaf x) = Leaf (f x)
> mapBtree f (Fork m r l) = Fork (f m) (mapBtree f l) (mapBtree f r)
> foldBtree f g (Leaf x) = g x
> foldBtree f g (Fork m l r) = f m (foldBtree f g l) (foldBtree f g r)
Damit lassen sich wieder einige bisherige Funktionen ausdrücken:
> size2 :: Btree a -> Int
> size2 = foldBtree (\_ l r -> (const 1)) (+)
> height2 = foldBtree (\_ m n -> 1 + max m n) (const 0)
> flatten2 = foldBtree (\n l r -> l ++ [n] ++ r) (\x -> x)
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-- Show
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beginnt mit "<" an der Wurzel und fügt ein ":" an den Anfang jeder Zeile
> instance (Show a) => Show (Btree a) where
> show t = "< " ++ replace '\n' "\n: " (treeshow "" t) where
> -- treeshow pref Tree erzeugt einen Baum mit pref am Zeilenanfang
> treeshow pref (Leaf x) = "" -- Leere Bäume werden nicht angezeigt
> treeshow pref (Fork x (Leaf _) (Leaf _)) = -- Blätter
> (pshow pref x)
> treeshow pref (Fork x left (Leaf _)) = -- Nur linke Äste anzeigen
> (pshow pref x) ++ "\n" ++
> (showSon pref "`--" " " left)
> treeshow pref (Fork x (Leaf _) right) = -- Nur rechte Äste anzeigen
> (pshow pref x) ++ "\n" ++
> (showSon pref "`--" " " right)
> treeshow pref (Fork x left right) = -- Astgabelungen anzeigen
> (pshow pref x) ++ "\n" ++
> (showSon pref "|--" "| " left) ++ "\n" ++
> (showSon pref "`--" " " right)
> showSon pref before next t = -- Hilfsmethode um Platzhalter und Vorzeichen anzuzeigen
> pref ++ before ++ treeshow (pref ++ next) t
> pshow pref x = replace '\n' ("\n" ++ pref) (show x) -- ersetzt "\n" mit "\n" ++ pref
> -- Stringersetzung
> replace c new string = concatMap (change c new) string
> where change c new x
> | x == c = new
> | otherwise = x:[] -- "x"
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-- Funktionssynthese (S.198/199) Rose-Tree -> Btree
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Rose a = Node a [Rose a]
toB :: Rose a -> Btree a
toB (Node x xts) = foldl Fork (Leaf x) (map toB xts)
toB (Node x []) = Leaf x
toB (Node x (xts ++ [xt])) = Fork (toB (Node x xts)) (toB xt)
toB (Node x xts) = foldr (flip Fork) (Leaf x) (reverse (map toB xts))
Case (Node x []):
toR (toB (Node x [])) = Node x []
= {first Property of toB}
toR (Leaf x) = Node x []
Case (Node x (xts ++ [xt])):
toR (toB (Node x (xts ++ [xt]))) = Node x (xts ++ [xt])
= {second Property of toB}
toR (Fork (toB (Node x xts))) (toB xt) = Node x (xts ++ [xt])
= {introducing xb = toB (Node x xts) and yb = toB xt}
toR (Fork xb yb) = Node x (xts ++ [xt])
where Node x xts = toR xb
xt = toR yb
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-- Red-Black-Trees
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-- Anwendungsbeispiel: BinarySearchTrees
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BinarySearchTrees
> data Stree a = Null | StreeFork (Stree a) a (Stree a)
> deriving (Eq, Ord, Show)
Deforestation
unnütz aufgebaute Bäume vermeiden
Bsp.: um die Tiefe eines Baumes zu errechnen wird zunächst der Baum
voll aufgebaut, danach bis zu den Blättern traversiert um die
maximale Tiefe zu ermitteln.
< depth Leaf = 0
< depth (Node t1 t2) = 1 + max (depth t1) (depth t2)
Besser:
< depth' n | n == 0 = 0
< depth' n = 1 + max (depth' n) (depth' n)
Bsp. für die Nutzung von Deforestation und BinarySearchTrees: Quicksort
> mkStree :: (Ord a) => [a] -> Stree a
> mkStree [] = Null
> mkStree (x:xs) = StreeFork (mkStree ys) x (mkStree zs)
> where (ys, zs) = partition (< x) xs
> partition :: (a -> Bool) => [a] -> ([a], [a])
> partition p xs = (filter p xs, filter (not.p) xs)
> sTreeflatten :: (Ord a) => Stree a -> [a]
> sTreeflatten Null = []
> sTreeflatten (StreeFork xt x yt) = sTreeflatten xt ++ [x] ++ sTreeflatten yt
> qSort :: (Ord a) => [a] -> [a]
> qSort = sTreeflatten.mkStree
vs.
> qSort' :: (Ord a) => [a] -> [a]
> qSort' [] = []
> qSort' (x:xs) = qSort' ys ++ [x] ++ qSort' zs
> where (ys, zs) = partition (< x) xs
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-- Klassenliste
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-- Problem: Zuordnung Namen, Matrikelnummern und Klausurnoten
-- Name Matrikelnummer
-- Anderson 123456
-- Banderson 234561
-- Canderson 345612
-- Danderson 456123
-- Matrikelnummer Note
-- 123456 99
-- 234561 96
-- 345612 98
-- 456123 97
-- > type Name = String
-- > type Iden = Integer
-- > type Mark = Int
-- > type Rank = Int
-- > type Codes = [(Name, Iden)]
-- > type Marks = [(Iden, Mark)]
-- > type Ranks = [(Name, Mark, Rank)]
-- > classlist :: (Codes, Marks) -> Ranks
-- > classlist = rank collate
-- > collate :: (Codes, Marks) -> [(Name, Mark)]
-- > rank :: [(Name, Mark)] -> Ranks
-- > display :: Ranks -> String
-- Unendliche (ungeordnete) binäre Bäume:
-- > infiniTree = Leaf 0 infiniTree infiniTree
-- > takeDepth _ Empty = Empty
-- > takeDepth 0 _ = Empty
-- > takeDepth n (Leaf x left right) = Leaf x (takeDepth (n-1) left) (takeDepth (n-1) right)