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Author: michael-markl

Kapitel/delta-linear.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 
-Bisher haben wir Abschätzungen mit $b\in\R^m$ betrachtet.
+Bisher wurden nur Abschätzungen mit $b\in\R^m$ betrachtet.
 Schrijver hat in~\cite[Kapitel~17.2]{Schrijver1986} ein Beispiel angeführt, das $n\Delta$ als beste Abschätzung von optimalen Lösungen von ($\emptyset$-\MIPR) und ($\firstNumbers{n}$-\MIPR) besitzt.
 Schränkt man das Problem mit $b\in\Z^m$ ein, kann man mit folgendem Beispiel erkennen, dass der Abstand optimaler Lösungen zumindest linear von $\Delta$ abhängt:
 \begin{example}
@@ -14,10 +14,10 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 	c\transpose:=(0, -1).
 	$$
 	Es wird also die zweite Komponente minimiert unter der Nebenbedingung $Ax\leq b$, also $\delta x_1-x_2\leq0\Leftrightarrow\delta x_1\leq x_2$ und $\delta x_1\geq 1$.
-	Diese können wir zusammenfassen in $1\leq\delta x_1\leq x_2$.
+	Diese können zusammengefasst werden in $1\leq\delta x_1\leq x_2$.
 	Es gilt $\Delta=\delta$ und die optimale Lösung von ($\emptyset$-\MIPI) und (\{2\}-\MIPI) ist $x^*=(1/\delta,1)$.
 	Die optimale Lösung von ($\{1\}$-\MIPI) und ($\{1, 2\}$-\MIPI) ist jedoch $y^*=(1,\delta)$.
-	Entsprechend ist der Abstand $\norm{x^*-y^*}=\delta-1=\Omega(\Delta)$
+	Entsprechend ist der Abstand $\norm{x^*-y^*}=\delta-1=\Omega(\Delta)$.
 \end{example}
 
 Im restlichen Abschnitt wird das Problem weiter eingeschränkt, um in diesen Fällen die Vermutung~\ref{con:delta} zeigen zu können.
@@ -31,7 +31,7 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 	Für eine Menge $M\subseteq \R^n$ bezeichne $\co{M}$ ihre konvexe Hülle.
 \end{notation}
 
-Wir benutzen nun das folgende Lemma aus~\cite[Theorem 2 und Beweis]{VESELOV2009220}, um für einige Situationen die Vermutung~\ref{con:delta} zu bestätigen:
+Das folgende Lemma aus~\cite[Theorem 2 und Beweis]{VESELOV2009220} wird nun benutzt, um für einige Situationen die Vermutung~\ref{con:delta} zu bestätigen:
 \begin{lemma}[Veselov-Chirkov, 2009]\label{lem:veselov}
 	Seien eine ganzzahlige Matrix $A\in\Z^{m\times n}$, $b\in\Z^m$ mit $\rang(A)=n$ gegeben und der Betrag jeder Determinante einer $n\times n$ Teilmatrix von $A$ sei kleinergleich 2.
 
@@ -50,7 +50,7 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 	Da jede Untermatrix von $A$ auch eine Untermatrix von $\tilde{A}$ ist, folgt die Ungleichung $\Delta(A)\leq\Delta(\tilde{A})$.
 
 	Sei nun $M$ eine quadratische Untermatrix von $\tilde{A}$, die keine Untermatrix von $A$ ist.
-	Wir können ohne Einschränkung davon ausgehen, dass $e$ als letzte Zeile an $A$ angefügt worden ist, da sich der Betrag der Determinante unter Transponieren und Zeilentausch nicht verändert.
+	Ohne Einschränkung kann davon ausgegangen werden, dass $e$ als letzte Zeile an $A$ angefügt worden ist, da sich der Betrag der Determinante unter Transponieren und Zeilentausch nicht verändert.
 	Die ersten Zeilen von $M$ bilden also eine Untermatrix von $A$, die letzte Zeile $\tilde{e}$ ist ein Untervektor von $e$.
 
 	Ist $\tilde{e}=0$, so ist $\det(M)=0$.
@@ -61,7 +61,7 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 	Ist $B$ leer, so ist $\betrag{\det(M)}=1$, sonst gilt $\betrag{\det(M)}=\betrag{\det(B)}\leq\Delta(A)$.
 \end{proof}
 
-Als Nächstes wollen wir zeigen, dass für Probleme in Standardform mit einer total unimodularen Matrix alle Ecken ganzzahlig sind.
+Als Nächstes wird gezeigt, dass für Probleme in Standardform mit einer total unimodularen Matrix alle Ecken ganzzahlig sind.
 Eine \emph{total unimodulare Matrix} ist dabei eine Matrix, bei der die Determinante jeder quadratischen Untermatrix in $\{-1,0,1\}$ liegt.
 Da jede total unimodulare Matrix bereits ganzzahlig ist, kann die Eigenschaft auch durch $\Delta(A)\leq 1$ für ganzzahlige Matrizen $A$ charakterisiert werden.
 
@@ -82,8 +82,8 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Für beliebiges $q\in Q\setminus\{x^*\}$ gilt:
-	Es existiert $\lambda\in[0,1)$ mit $\tilde{q}:=\lambda q+(1-\lambda)x^*\in P$, da wir uns für jede Ungleichung, die $q$ noch nicht erfüllt, solange an $x^*$ annähern können bis sie erfüllt ist und diese Ungleichung für $x^*$ keine Gleichheit erfüllt.
-	Ist $\lambda=0$, so ist $q\in P$ und $c\transpose q\leq c\transpose x^*$. Mit $c\transpose \tilde{q} \leq c\transpose x^*$ gilt sonst $c\transpose q=(c\transpose \tilde{q} - c\transpose(1-\lambda)x^*)/\lambda \leq c\transpose x^*$.
+	Es existiert $\lambda\in[0,1)$ mit $\tilde{q}:=\lambda q+(1-\lambda)x^*\in P$, da man sich für jede Ungleichung, die $q$ noch nicht erfüllt, solange an $x^*$ annähern kann bis sie erfüllt ist, und da diese Ungleichung für $x^*$ nicht straff ist.
+	Ist $\lambda=0$, so liegt $q$ in~$P$ und $c\transpose q\leq c\transpose x^*$. Mit $c\transpose \tilde{q} \leq c\transpose x^*$ gilt sonst $c\transpose q=(c\transpose \tilde{q} - c\transpose(1-\lambda)x^*)/\lambda \leq c\transpose x^*$.
 	Also ist $x\mapsto c\transpose x$ in $Q$ mit $c\transpose x^*$ nach oben beschränkt.
 \end{proof}
 
@@ -127,7 +127,7 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 		Da jede an $\tilde{x}$ straffe Ungleichung von $B$ auch in $\tilde{P}$ vorkommt, ist $\tilde{x}$ auch eine optimale Ecke von $\tilde{P}$.
 
 		$\tilde{P}$ kann wieder durch eine ganzzahlige Matrix $\tilde{A}$  und einen ganzzahligen Vektor $\tilde{b}$ beschrieben werden, wobei $\tilde{A}$ nach Lemma~\ref{lem:same-delta} weiterhin $\rang(\tilde{A})=n$ und $\Delta(\tilde{A})=\Delta(A)$ erfüllt, da nur einige Zeilen mit einer einzelnen $\pm 1$ in einer der Spalten hinzukommen.
-		Nun können wir den Spezialfall anwenden und erhalten eine optimale Lösung $y^*\in\Z^n$ in $\tilde{P}$, also auch eine optimale Lösung von ($\firstNumbers{n}$-\MIPI), mit $\norm{\tilde{x} -y^*}\leq \Delta -1$.
+		Nun kann der Spezialfall angewandt werden und man erhält eine optimale Lösung $y^*\in\Z^n$ in $\tilde{P}$, also auch eine optimale Lösung von ($\firstNumbers{n}$-\MIPI), mit $\norm{\tilde{x} -y^*}\leq \Delta -1$.
 		Mittels Dreiecksungleichung folgt $\norm{x^* - y^*}\leq \Delta$.
 	\end{description}
 \end{proof}
@@ -146,7 +146,7 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 		Nach Definition einer Ecke, existiert ein Vektor $d\in\R^n$ mit $$\{ x\in\R^n \mid \forall \tilde{x}\in R: d\transpose x \geq d\transpose\tilde{x} \}=\{x^*\}.$$
 		Demnach ist $x^*$ der einzige Maximierer von $x\mapsto d\transpose x$ über $R$.
 
-		Wir bezeichnen die Seitenfläche aller optimalen Lösungen von ($\emptyset$-\MIPI) mit $F$.
+		Die Seitenfläche aller optimalen Lösungen von ($\emptyset$-\MIPI) wird mit $F$ bezeichnet.
 		Ist $x^*\in F$, so ist $x^*$ bereits optimal für ($\emptyset$-\MIPI).
 		Sonst sei $y^*\in F$ eine Ecke, die $x\mapsto d\transpose x$ über $F$ maximiert.
 		Setze $\lambda\geq 0$ so groß, dass $\lambda\geq d\transpose (v-y^*)/c\transpose (y^*-v)$ für alle Ecken $v\in P\setminus F$ von $P$ gilt.
@@ -183,14 +183,14 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 \begin{proof}
 	Sei $x^*$ eine optimale Lösung von ($I$-\MIPI) gegeben.
 	Für $\Delta=0$ ist $A=0$ und damit jedes $x\in\R^n$ optimale Lösung.
-	Wir betrachten also $\Delta\in\{1,2\}$.
+	Man betrachte also $\Delta\in\{1,2\}$.
 
 	Es existiert ein $U\in\N$, sodass die beschränkte Menge  $$P:=\{x\in\R^n\mid Ax\leq b\} \cap \{x\in\R^n \mid \forall i\in\firstNumbers{m}: -U \leq x_i \leq U \}$$
 	$x^*$ und eine optimale Lösung von ($J$-\MIPI) enthält.
 	Setzt man
 	$$\tilde{A}:=\begin{pmatrix} A \\ -\one \\ \one \end{pmatrix},\qquad\tilde{b}:=\begin{pmatrix} b \\ U \\ U \end{pmatrix},$$
 	gilt $\rang(\tilde{A})=n$ und nach Lemma~\ref{lem:same-delta} ist $\Delta(A)=\Delta(\tilde{A})$.
-	Wir können $P$ nun darstellen als $P=\{ x\in\R^n \mid \tilde{A}x \leq \tilde{b} \}$.
+	$P$ kann nun in der Form $P=\{ x\in\R^n \mid \tilde{A}x \leq \tilde{b} \}$ dargestellt werden.
 	Es genügt, ein $y^*$ in $P$ zu finden, das für ($J$-\MIPI) optimal ist und $\norm{x^* - y^*}\leq\Delta$ erfüllt.
 
 	Mit Lemma~\ref{lem:i-n-j-e} und Lemma~\ref{lem:i-e-j-n} folgt die Behauptung.

Kapitel/integers-bounds.tex

@@ -16,15 +16,14 @@ \section{Abstände optimaler Lösungen gemischt-ganzzahliger Programme}
 \end{corollary}
 \begin{proof}
 	Sei $x^*$ optimale Lösung von ($I$-\MIPR).
-	Ein Korollar aus dem Satz von Meyer in~\cite[Korollar 5.2]{Meyer1974} besagt, dass ein gemischt-ganzzahliges Problem genau dann eine optimale Lösung besitzt, wenn das entsprechende unrestringierte Problem, bei dem keine Entscheidungsvariable als ganzzahlig gefordert ist, eine optimale Lösung besitzt.
-	Also existiert eine optimale Lösung für ($\emptyset$-\MIPR).
+	Nach dem Korollar aus dem Theorem von Meyer in~\cite[Korollar 5.2]{Meyer1974} (siehe auch Bemerkung~\ref{rem:feasibility}) existiert eine optimale Lösung für ($\emptyset$-\MIPR).
 
 	Daher folgt nach Theorem~\ref{thm:cook} die Existenz einer optimalen Lösung $z^*$ von ($\emptyset$-\MIPR) mit $\norm{x^*-z^*}\leq n\Delta$.
 	Wendet man das Theorem ein weiteres Mal folgt die Existenz einer optimalen Lösung $y^*$ von \mbox{($J$-\MIPR)} mit $\norm{z^*-y^*}\leq n\Delta$.
 	Mit Hilfe der Dreiecksungleichung gelangt man zur Abschätzung $\norm{x^*-y^*}\leq\norm{x^*-z^*}+\norm{z^*-y^*}\leq 2 n\Delta$.
 \end{proof}
 
-In diesem Abschnitt wollen wir nun diese Aussage verstärken, indem wir in der Abschätzung $2 n$ durch $\betrag{I\cup J}$ ersetzen, also durch die Anzahl der Variablen, die in ($I$-\MIPR) oder \mbox{($J$-\MIPR)} ganzzahlig sind.
+In diesem Abschnitt wird diese Aussage nun verstärkt, indem in der Abschätzung $2 n$ durch $\betrag{I\cup J}$ ersetzt wird, also durch die Anzahl der Variablen, die in ($I$-\MIPR) oder \mbox{($J$-\MIPR)} ganzzahlig sind.
 
 \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 
@@ -59,7 +58,7 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 	Für eine endliche abelsche $p$-Gruppe $G$ mit invarianten Faktoren $p^{e_1},\dots,p^{e_r}$ ist die Davenport-Konstante $D(G)=1+\sum_{i=1}^r(p^{e_i}-1)$.
 \end{theorem}
 
-Mit diesem Ergebnis können wir leicht eine für uns relevante Folgerung beschreiben:
+Mit diesem Ergebnis kann leicht eine hier relevante Folgerung beschreiben:
 
 \begin{corollary}\label{cor:olson}
 	Seien $p\in\N$ eine Primzahl, $d\in\N$ und $f^1,\dots,f^r\in\Z^d$ mit $r\geq 1+dp-d$.
@@ -72,7 +71,7 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 	Mit $\firstNumbers{1+dp-d}\subseteq\firstNumbers{r}$ und $\sum_{i\in I}[f^i]_p=[\sum_{i\in I}f^i]_p$ folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
-Damit können wir das folgende Lemma zeigen, das in~\cite{Paat2018} als Lemma~1 bezeichnet wurde.
+Damit kann das folgende Lemma gezeigt werden, das in~\cite{Paat2018} als Lemma~1 bezeichnet wird.
 
 \begin{lemma}\label{lem:olson}
 	Seien $d,k\in\N, u^1,\dots, u^k\in\Z^d$ und $\alpha_1,\dots,\alpha_k\geq0$ mit $\sum_{i=1}^k \alpha_i\geq d$.
@@ -82,19 +81,19 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 	\newcommand{\bbeta}{\tilde{\beta}}
 	Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $\alpha_i>0$ für $i=1,\dots,k$, denn für $\alpha_i=0$ wird $\beta_i=0$ vorausgesetzt, wodurch das Resultat nicht verändert werden kann.
 
-	Zunächst betrachten wir den Fall der Existenz einer Primzahl $p$, die $\alpha_i=q_i / p$ mit bestimmten $q_i\in\N$ für alle $i\in\firstNumbers{k}$ erfüllt.
+	Zunächst betrachte man den Fall der Existenz einer Primzahl $p$, die $\alpha_i=q_i / p$ mit bestimmten $q_i\in\N$ für alle $i\in\firstNumbers{k}$ erfüllt.
 	Wir können nun Korollar~\ref{cor:olson} auf die Vektoren
 	$$\underbrace{u^1,\dots,u^1}_{q_1~\text{Einträge}},~\dots~,\underbrace{u^k,\dots,u^k}_{q_k~\text{Einträge}}$$
 	anwenden, da nach Voraussetzung $r:=\sum_{i=1}^k q_i=(\sum_{i=1}^k \alpha_i)\cdot p\geq dp \geq 1+dp-d$ gilt.
-	Dadurch erhalten wir $l_i\in\{0,\dots,q_i\}$ für $i\in\firstNumbers{k}$ mit nicht alle $l_i=0$ und $\sum_{i=1}^k l_i u^i\in p\Z^d$.
-	Teilen wir durch $p$ gelangen wir mit $\beta_i := l_i/p$ zu unserer Behauptung $\sum_{i=1}^k \beta_i u^i\in\Z^d$ und $\beta\neq0$ sowie $\beta_i\in[0,\alpha]$, da $0\leq l_i/p\leq q_i/p=\alpha_i$.
+	Dadurch erhält man $l_i\in\{0,\dots,q_i\}$ für $i\in\firstNumbers{k}$ mit nicht alle $l_i=0$ und $\sum_{i=1}^k l_i u^i\in p\Z^d$.
+	Teilt man durch $p$ gelangt man mit $\beta_i := l_i/p$ zur Behauptung $\sum_{i=1}^k \beta_i u^i\in\Z^d$ und $\beta\neq0$ sowie $\beta_i\in[0,\alpha]$, da $0\leq l_i/p\leq q_i/p=\alpha_i$.
 
-	Den allgemeinen Fall führen wir auf den ersten zurück, indem wir $(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in\R^k$ durch Brüche mit Primzahlen im Nenner annähern.
-	Dazu definieren wir die Folge 
+	Der allgemeine Fall wird auf den Spezialfall zurückgeführt, indem $(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in\R^k$ durch Brüche mit Primzahlen im Nenner angenähert wird.
+	Dazu definiere man die Folge 
 	$$
 	(v^j)_{j\in\N}:=(q^j_1/p^j,\dots,q^j_k/p^j)_{j\in\N}$$
 	mit $q^j_i\in\N$, $p^j$ Primzahl und $q^j_i/p^j\in[\alpha_i, \alpha_i+j^{-1}]$.
-	Damit ist $\lim_{j\rightarrow\infty}v^j=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ und für $j\in\N$ können wir den ersten Fall auf $u$ und $v^j$ anwenden und erhalten damit $\beta^j\in\bigtimes_{i=1}^k[0,v^j_i]$ mit $\beta^j\neq0$ sowie $\sum_{i=1}^k\beta^j_i u^i \in\Z^d$.
+	Damit ist $\lim_{j\rightarrow\infty}v^j=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ und für $j\in\N$ kann der Spezialfall auf $u$ und $v^j$ angewandt werden, wodurch man Vorfaktoren $\beta^j\in\bigtimes_{i=1}^k[0,v^j_i]$ mit $\beta^j\neq0$ sowie $\sum_{i=1}^k\beta^j_i u^i \in\Z^d$ erhält.
 	Da die Folge $(\beta^j)_{j\in\N}$ in der kompakten Menge $\bigtimes_{i=1}^k[0,\alpha_i+1]$ liegt, existiert nach Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge mit $\lim_{j\to\infty} \beta^{\sigma(j)}=:\beta$.
 	Aus $\beta^{\sigma(j)}_i\in[0,v^{\sigma(j)}_i]$ und $\lim_{j\to\infty}v^{\sigma(j)}_i=\alpha_i$ folgt nun $\beta_i\in[0,\alpha_i]$.
 	Da es nur endlich viele $z\in\Z^d$ der Form $z=\sum_{i=1}^k\gamma_i u^i$ mit $\gamma_i\in[0,\alpha_i+1]$ gibt, existiert ein Punkt $z\in\Z^d$, für den $\sum_{i=1}^k \beta^{\sigma(j)}_i u^i=z$ für unendlich viele $j$ gilt.
@@ -106,7 +105,7 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 	Nach Wahl von $\beta^{\sigma(n)}$ ist dann $\varepsilon\beta^{\sigma(n)}\neq0$ und es gilt $$\sum_{i=1}^k\varepsilon\beta^{\sigma(n)}_iu^i=\varepsilon z=\zero\in\Z^d.$$
 \end{proof}
 
-Im nächsten Schritt wird das Resultat dieses Unterkapitels formuliert, welches wir in der Abschätzung im nächsten Unterkapitel benötigen werden.
+Im nächsten Schritt wird das Resultat dieses Unterkapitels formuliert, welches in der Abschätzung im nächsten Unterkapitel benötigt wird.
 
 \begin{lemma}\label{lem:maxgamma}
 	Seien $d\in\N$, $u^i\in\Z^d$ sowie $\lambda_i\geq0$ für $i\in\firstNumbers{k}$ gegeben.
@@ -119,7 +118,7 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 	Nach dem Satz von Weierstraß nimmt $\gamma \mapsto \sum_{i=1}^k\gamma_i$ also bei einem $\gamma$ ihr Maximum auf $G$ an.
 
 	Angenommen, es gelte $\sum_{i=1}^k(\lambda_i - \gamma_i) \geq d$.
-	Wenden wir Lemma~\ref{lem:olson} auf $\alpha_i:=\lambda_i-\gamma_i\geq0$ und $u^i$ für $i\in\firstNumbers{k}$ an, erhalten wir $\beta\in\bigtimes_{i=1}^k[0,\lambda_i-\gamma_i]$ mit $\beta\neq0$ und $\sum_{i=1}^k \beta_i u^i\in\Z^d$.
+	Wird Lemma~\ref{lem:olson} auf $\alpha_i:=\lambda_i-\gamma_i\geq0$ und $u^i$ für $i\in\firstNumbers{k}$ angewandt, folgt die Existenz von $\beta\in\bigtimes_{i=1}^k[0,\lambda_i-\gamma_i]$ mit $\beta\neq0$ und $\sum_{i=1}^k \beta_i u^i\in\Z^d$.
 	Für $\gamma':=\gamma+\beta\leq\lambda$ gilt 
 	$
 	\sum_{i=1}^k\gamma'_iu^i = \sum_{i=1}^k\gamma_iu^i + \sum_{i=1}^k \beta_iu^i\in\Z^d
@@ -131,14 +130,15 @@ \subsection{Folgerungen aus Davenport-Konstante von $p$-Gruppen}
 \subsection{Abschätzung mit Anzahl ganzzahliger Variablen}
 Dieser Abschnitt verfolgt nun das Ziel eine Abschätzung optimaler Lösungen zweier gemischt-ganzzahliger Programme	($I$-\MIPR) und ($J$-\MIPR) in Abhängigkeit von $\Delta$ und $\betrag{I\cup J}$ zu finden.
 
-Zunächst betrachten wir noch folgendes Hilfslemma über die Darstellung eines polyedrischen Kegels.
+Zunächst betrachten \\
+noch folgendes Hilfslemma über die Darstellung eines polyedrischen Kegels.
 Dieses ist als Standardresult in der Theorie ganzzahliger Optimierung bekannt und wird beispielsweise in~\cite[Lemma 5.4]{Korte2012} bewiesen.
 \begin{lemma}\label{lem:cone}
 	Sei $A\in\Z^{m\times n}$, dessen Zeilen in zwei Untermatrizen $A_1$ und $A_2$ aufgeteilt sind.
 	Die Menge $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1x\leq 0, A_2x\geq0 \}$ besitzt die Darstellung \[ C=\{\lambda_1 v^1+\dots+\lambda_kv^k \mid \forall i\in\firstNumbers{k} \colon\lambda_i\geq0 \}\] mit $v^i\in\Z^n$ und $\norm{v^i}\leq\Delta(A)$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
 \end{lemma}
 
-Nun formulieren wir unser Theorem:
+Nun wird das Theorem zur Abschätzung anhand der Anzahl ganzzahliger Variablen bewiesen:
 
 \begin{theorem}\label{thm:theo2}
 	Seien $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPR) eine optimale Lösung $\tilde{y}$ hat.
@@ -149,7 +149,7 @@ \subsection{Abschätzung mit Anzahl ganzzahliger Variablen}
 	Zunächst werden alle ganzzahligen Variablen an die ersten Stellen getauscht und es kann $I\cup J=\firstNumbers{d}$ mit $d\in\firstNumbers{n}$ angenommen werden.
 	Es sei eine optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) gegeben.
 	Setze $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1 x \leq 0, A_2x\geq0 \}$, wobei die Zeilen von $A$ in $A_1$ und $A_2$ so aufgeteilt werden, dass $A_1 (\tilde{y}-x^*)<0$ und $A_2 (\tilde{y}-x^*)\geq0$ erfüllt werden.
-	Nach Lemma~\ref{lem:cone} erhalten wir die Darstellung 
+	Nach Lemma~\ref{lem:cone} erhält man die Darstellung 
 	$$\tilde{y}-x^* = \lambda_1v^1 + \dots+\lambda_kv^k$$
 	mit $\lambda_i\geq0$, $\norm{v^i}\leq \Delta$ und $v^i\in C\cap\Z^n$ für alle $i\in\firstNumbers{k}$.
 	Man setze $u^i$ als die Projektion des Vektors $v^i$ auf dessen erste $d$ Komponenten.
@@ -171,7 +171,7 @@ \subsection{Abschätzung mit Anzahl ganzzahliger Variablen}
 
 	Da $x^*$ optimal für ($I$-\MIPR) ist, gilt $c\transpose x^*\geq c\transpose \tilde{x} = c\transpose x^* + c\transpose (\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i)$.
 	Zieht man auf beiden Seiten $c\transpose x^*$ ab, folgt $c\transpose(\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i)\leq0$.
-	Damit erhalten wir mit der Optimalität von $\tilde{y}$ für ($J$-\MIPR) und mit 
+	Damit folgert man mit der Optimalität von $\tilde{y}$ für ($J$-\MIPR) und mit 
 	$c\transpose y^*=c\transpose\tilde{y}-c\transpose(\sum_{i=1}^k\gamma_iv^i)\geq c\transpose\tilde{y}$
 	auch die Optimalität von $y^*$ für ($J$-\MIPR).
 	Es gelten die folgenden Abschätzungen: