Add first big theorem

Author: michael-markl

Beamer/definition.tex

@@ -21,17 +21,20 @@ \section{Problemdefinition und wichtige Größen}
 	\end{conjecture}
 \end{frame}
 
-\subsection{Folgerung aus Theorem von Cook}
-\begin{frame}
+\subsection{Einfache Folgerung aus Theorem von Cook}
+\begin{frame}{Theorem von Cook}
 \begin{theorem}[Cook u. a., 1986]\label{thm:cook}
 	Seien $I, J\subseteq\firstNumbers{n}$ mit $I=\emptyset$ oder $J=\emptyset$, sodass ($J$-\MIPI) eine Optimallösung hat.
 
 	Dann existiert für jede Optimallösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) eine Optimallösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) mit $\norm{x^*-y^*}\leq n\Delta$.
 \end{theorem}
+\pause
 \begin{korollar}
 	Seien $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPI) eine Optimallösung hat.
 
 	Dann existiert für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) eine Optimallösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) mit $\norm{x^*-y^*}\leq2 n\Delta$.
 \end{korollar}
+\pause
+Wir wollen in dieser Abschätzung $2n$ durch $\betrag{I\cup J}$ ersetzen.
 \end{frame}
 

Beamer/further-results.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section{Weitere Ergebnisse linearer Abschätzung}

Beamer/integers-bounds.tex

@@ -0,0 +1,64 @@
+\section{Abschätzung mit Anzahl ganzzahliger Variablen}
+
+\subsection{Beweis der Abschätzung}
+
+\begin{frame}{Hilfslemmata und Theorem}
+	\begin{lemma}
+		Sei $A\in\Z^{m\times n}$ eine Matrix, deren Zeilen in zwei Untermatrizen $A_1$ und $A_2$ aufgeteilt sind.
+		
+		Der Polyeder $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1x\leq 0, A_2x\geq0 \}$ besitzt die Darstellung $C=\{\sum_{i=1}^k\lambda_i v^i \mid \forall i\in\firstNumbers{k} \colon\lambda_i\geq0 \}$ mit $v^i\in\Z^n$ und $\norm{v^i}\leq\Delta(A)$ für $i\in\firstNumbers{k}$.
+	\end{lemma}
+	\pause
+	\begin{lemma}\label{lem:maxgamma}
+		Seien $u^i\in\Z^d$, $\lambda_i\geq0$ für $i\in\firstNumbers{k}$ gegeben.
+		Dann existiert $\gamma\in\bigtimes_{i=1}^k [0,\lambda_i]$ mit $\sum_{i=1}^k \gamma_i u^i\in\Z^d$ und  $\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)<d$.
+	\end{lemma}
+	\pause
+	\begin{theorem}\label{thm:theo2}
+		Seien $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPI) eine Optimallösung $\tilde{y}$ hat.
+		
+		Für jede Optimallösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) existiert eine Optimallösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) mit $\norm{x^*-y^*}\leq\betrag{I\cup J}\cdot\Delta$.
+	\end{theorem}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Hilfslemmata und Theorem}
+\begin{theorem}\label{thm:theo2}
+Seien $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPI) eine Optimallösung $\tilde{y}$ hat.
+
+Für jede Optimallösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) existiert eine Optimallösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) mit $\norm{x^*-y^*}\leq\betrag{I\cup J}\cdot\Delta$.
+\end{theorem}
+Zur Zulässigkeit von $y^*$ für ($J$-\MIPI) und $\tilde{x}$ für ($I$-\MIPI):
+\pause
+$$
+\begin{array}{lllllll}
+A_1 y^*&=&A_1x^*+\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)A_1v^i &\leq& A_1 x^* &\leq&b_1\\ \pause
+A_2 y^*&=&A_2\tilde{y}-\sum_{i=1}^k\gamma_iA_2v^i &\leq& A_2\tilde{y} &\leq& b_2\\ \pause
+A_1\tilde{x} &=&A_1x^*+\sum_{i=1}^k \gamma_iA_1v^i &\leq& A_1x^* &\leq&b_1\\ \pause
+A_2\tilde{x} &=&A_2\tilde{y}-\sum_{i=1}^k(\lambda_i-\gamma_i)A_2v^i&\leq& A_2\tilde{y}&\leq& b_2.
+\end{array}
+$$
+\end{frame}
+
+\subsection{Folgerungen aus Theorie endlicher Gruppen}
+
+\begin{frame}{Das Theorem von Olson}
+
+	\begin{definition}[Davenport-Konstante]
+		Sei $(G,+,0)$ eine endliche, abelsche Gruppe.
+		Die {\em Davenport-Konstante $D(G)$} ist die kleinste Zahl $k\in\N$ mit 
+		$$
+		\forall g^1,\dots,g^k \in G~~\exists I\subseteq\firstNumbers{k}\colon I\neq\emptyset \wedge \sum_{i\in I}g^i=0 .
+		$$
+	\end{definition}
+
+	\begin{theorem}[Olson, 1969]
+		Die Davenport-Konstante von $\Z^d/p\Z^d$ ist $1+dp-d$ für $p$ prim.
+	\end{theorem}
+
+	\pause
+	\begin{korollar}
+		Seien $p\in\N$ eine Primzahl, $d\in\N$ und $f^1,\dots,f^r\in\Z^d$ mit $r\geq 1+dp-d$ gegeben.
+		
+		Dann existiert eine nicht-leere Menge $I\subseteq\firstNumbers{r}$ mit $\sum_{i\in I}f^i\in p\Z^d$.
+	\end{korollar}
+\end{frame}

Header/rest.tex

@@ -9,7 +9,6 @@
 \geometry{a4paper, top=30mm, bottom=30mm, left=30mm, right=30mm}
 \addtolength{\footskip}{-0.5cm}          % Seitenzahlen höher setzen
 \usepackage{xcolor}                      % Farben
-\usepackage{mathabx}
 \usepackage{bbm}
 \renewcommand{\descriptionlabel}[1]{\hspace{\labelsep}\textit{#1}}
 

Header/useful-commands.tex

@@ -1,3 +1,5 @@
+
+\usepackage{mathabx}
 %-------------------------------------------------------------------------------
 % Hilfreiche Befehle
 %-------------------------------------------------------------------------------

Kapitel/integers-bounds.tex

@@ -151,9 +151,9 @@ \subsection{Abschätzung optimaler Lösungen gemischt-ganzzahliger Programme}
 \begin{proof}
 	Zunächst tauschen wir alle ganzzahligen Variablen an die ersten Stellen und können $I\cup J=\firstNumbers{d}$ mit $d\in\firstNumbers{n}$ annehmen.
 	Es sei eine optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPR) gegeben.
-	Setze $z:=\tilde{y}-x^*$ sowie $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1 x \leq 0, A_2x\geq0 \}$, wobei die Zeilen von $A$ in $A_1$ und $A_2$ so aufgeteilt werden, dass $A_1\tilde{y}<0$ und $A_2\tilde{y}\geq0$ erfüllt werden.
-	Da $\tilde{y}$ in $C$ liegt, erhalten wir nach Lemma~\ref{lem:cone} die Darstellung 
-	$$\tilde{y} = \lambda_1v^1 + \dots+\lambda_kv^k$$
+	Setze $C:=\{ x\in\R^n \mid A_1 x \leq 0, A_2x\geq0 \}$, wobei die Zeilen von $A$ in $A_1$ und $A_2$ so aufgeteilt werden, dass $A_1 (\tilde{y}-x^*)<0$ und $A_2 (\tilde{y}-x^*)\geq0$ erfüllt werden.
+	Nach Lemma~\ref{lem:cone} erhalten wir die Darstellung 
+	$$\tilde{y}-x^* = \lambda_1v^1 + \dots+\lambda_kv^k$$
 	mit $\lambda_i\geq0$, $\norm{v^i}\leq \Delta$ und $v^i\in C\cap\Z^n$ für alle $i\in\firstNumbers{k}$.
 	Man setze $u^i$ als die Projektion des Vektors $v^i$ auf dessen erste $d$ Komponenten.
 	Nach Lemma~\ref{lem:maxgamma} existiert ein $\gamma\in\bigtimes_{i=1}^k[0,\lambda_i]$ mit  $\sum_{i=1}^k\gamma_iu^i\in\Z^d$ und $\sum_{i=1}^k(\lambda_i -\gamma_i)<d$.

beamer.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 
-\documentclass{beamer}
+\documentclass[envcountsect]{beamer}
 \usetheme[faculty=phil, headheight=0em, fonts=none]{fibeamer}
 
 
@@ -14,8 +14,9 @@
 \usetikzlibrary{arrows, shapes}
 
 \include{Header/useful-commands}
-\newtheorem{conjecture}{Vermutung}
-\newtheorem{korollar}{Korollar}
+\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
+\newtheorem{conjecture}[theorem]{Vermutung}
+\newtheorem{korollar}[theorem]{Korollar}
 
 \definecolor{darkblue}{HTML}{00446B}
 
@@ -98,12 +99,15 @@
 
 	\include{beamer/intro}
 
-
 	\begin{frame}{Gliederung}
 		\tableofcontents
 	\end{frame}
 
 	\include{beamer/definition}
+	
+	\include{beamer/integers-bounds}
+	
+	\include{beamer/further-results}
 
 	\begin{noheadline}
 		\begin{frame}<presentation:0>[noframenumbering]