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Author: michael-markl

Beamer/definition.tex

@@ -32,7 +32,7 @@ \subsection{Einfache Folgerung aus Theorem von Cook}
 \begin{korollar}
 	Seien $I,J\subseteq\firstNumbers{n}$, sodass ($J$-\MIPI) eine Optimallösung hat.
 
-	Dann existiert für jede optimale Lösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) eine Optimallösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) mit $\norm{x^*-y^*}\leq2 n\Delta$.
+	Dann existiert für jede Optimallösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) eine Optimallösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) mit $\norm{x^*-y^*}\leq2 n\Delta$.
 \end{korollar}
 \pause
 Wir wollen in dieser Abschätzung $2n$ durch $\betrag{I\cup J}$ ersetzen.

Beamer/further-results.tex

@@ -1 +1,48 @@
-\section{Weitere Ergebnisse linearer Abschätzung}
+\section{Ergebnisse für lineare Abschätzung}
+
+\begin{frame}{Untere Schranke für $f$}
+	Angenommen, es gäbe ein $f$ wie in der Vermutung, das den Abstand nur in Abhängigkeit von $\Delta$ beschränkt.
+	
+	\begin{beispiel}
+	Für $\delta\in\N$ seien
+	$$A:=
+	\begin{pmatrix}
+	-\delta & 0  \\
+	\delta  & -1
+	\end{pmatrix},\quad
+	b:=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad
+	c\transpose:=(0, -1).
+	$$
+	
+	\pause
+	Es wird $x_2$ minimiert unter den Nebenbedingungen $1\leq\delta x_1\leq x_2$.
+	
+	\pause
+	Es gilt $\Delta=\delta$ und $x^*=(1/\delta,1)$ ist Optimallösung von ($\emptyset$-\MIPI) und (\{2\}-\MIPI).
+	
+	\pause
+	Die Optimallösung von ($\{1\}$-\MIPI) und ($\{1, 2\}$-\MIPI) ist $y^*=(1,\delta)$.
+	
+	\pause
+	$\norm{x^*-y^*}=\delta-1=\Omega(\Delta)$.
+	\end{beispiel}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Abschätzung nur mit $\Delta$} 
+	\begin{lemma}[Veselov-Chirkov, 2009]\label{lem:veselov}
+		Seien $A\in\Z^{m\times n}$, $b\in\Z^m$ und $c\in\R^n$ mit $\rang(A)=n$, und jede $n\times n$ Teilmatrix $Q$ von $A$ erfülle $\betrag{\det(Q)}\leq 2$.
+		
+		Seien $z$ eine Ecke von $P:=\{x\in\R^n\mid Ax\leq b \}$ und $Q:=\co{\{x\in\Z^n \mid A_\eq{x^*}x \leq b_\eq{x^*} \}}$.
+		Dann gelten:
+		\begin{enumerate}[(a)]
+			\item Jede Ecke von $Q$ liegt auf einer Kante von $P$, die $z$ enthält.
+			\item Jede Kante von $P$, die $z$ und einen ganzzahligen Punkt enthält, enthält auch einen ganzzahligen Punkt $y$ mit $\norm{z -y}\leq 1$.
+		\end{enumerate}
+	\end{lemma}
+	\pause
+	\begin{theorem}
+		Seien $\Delta\leq 2$ und $I,J\in\{\emptyset,\firstNumbers{n}\}$, sodass eine Optimallösung von ($J$-\MIPI) existiert.
+		
+		Für jede Optimallösung $x^*$ von ($I$-\MIPI) existiert eine Optimallösung $y^*$ von ($J$-\MIPI) mit $\norm{x^*-y^*}\leq \Delta$.
+	\end{theorem}
+\end{frame}

Kapitel/delta-linear.tex

@@ -45,7 +45,7 @@ \section{Lineare Abhängigkeit von $\Delta$}\label{sec:linear}
 	Erhält man die Matrix $\tilde{A}$ durch Einfügen von $e$ als Zeile oder Spalte bei $A$, so bleibt $\Delta(\tilde{A})=\Delta(A)$ erhalten.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	Da jede Untermatrix von $A$ auch eine Untermatrix von $\tilde{A}$ ist, folgt die Ungleichung $\Delta(\tilde{A})\leq\Delta(A)$.
+	Da jede Untermatrix von $A$ auch eine Untermatrix von $\tilde{A}$ ist, folgt die Ungleichung $\Delta(A)\leq\Delta(\tilde{A})$.
 	Sei nun $M$ eine quadratische Untermatrix von $\tilde{A}$, die keine Untermatrix von $A$ ist.
 	Wir können ohne Einschränkung davon ausgehen, dass $e$ als letzte Zeile an $A$ angefügt worden ist, da sich der Betrag der Determinante unter Transponieren und Zeilentausch nicht verändert.
 	Die ersten Zeilen von $M$ bilden also eine Untermatrix von $A$, die letzte Zeile $\tilde{e}$ ist ein Untervektor von $e$.

beamer.tex

@@ -17,6 +17,7 @@
 \setbeamertemplate{theorems}[numbered]
 \newtheorem{conjecture}[theorem]{Vermutung}
 \newtheorem{korollar}[theorem]{Korollar}
+\newtheorem{beispiel}[theorem]{Beispiel}
 
 \definecolor{darkblue}{HTML}{00446B}