10.4 变态跳台阶.md

# 10.4 变态跳台阶

## 题目链接

[牛客网](https://www.nowcoder.com/practice/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?tpId=13&tqId=11162&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking&from=cyc_github)

## 题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级... 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

<div align="center"> <img src="https://cs-notes-1256109796.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/cd411a94-3786-4c94-9e08-f28320e010d5.png" width="380px"> </div><br>

## 解题思路

### 动态规划

```java
public int jumpFloorII(int target) {
    int[] dp = new int[target];
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 1; i < target; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            dp[i] += dp[j];
    return dp[target - 1];
}
```

### 数学推导

跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去...，那么

```
f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)
```

同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去... ，那么

```
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)
```

综上可得

```
f(n) - f(n-1) = f(n-1)
```

即

```
f(n) = 2*f(n-1)
```

所以 f(n) 是一个等比数列

```source-java
public int JumpFloorII(int target) {
    return (int) Math.pow(2, target - 1);
}
```