09_Loesungen.Rmd

## Sitzung 9 {-}

`r naechste("lösung", T)`

a) Überführung in Kreuztabelle

    ```{r}
    get_crosstable(ex_9_1) -> xt
    print_crosstable(xt, expected = F, chisq = F)
    ```

b) Erwartungswerte

    ```{r}
    print_crosstable(xt, expected = T, chisq = F)
    ```

c) Teilwerte für $\chi^2$ berechnet durch

    $$
    \frac{(n_{ij}-m_{ij})^{2}}{m_{ij}}
    $$

    z. B. für die Kombination "Autobesitz" und "Stadt":

    $$\begin{aligned}
    \frac{(n_{21}-m_{21})^{2}}{m_{21}}=\frac{(2-4{,}95)^{2}}{4{,}95}\approx 1{,}758
    \end{aligned}$$

    ```{r}
    print_crosstable(xt, expected = T, chisq = T)
    ```

    Die Summe der Teilwerte ergibt $\chi^2$:

    $$
    \begin{aligned}
    \chi^2&= \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\ell}\frac{(n_{ij}-m_{ij})^{2}}{m_{ij}}\\[4pt]
          &\approx1{,}438+1{,}758+1{,}758+2{,}149\\
          &=7{,}103
    \end{aligned}
    $$

d) $\phi$-Koeffizient:

    $$
    \begin{aligned}
    \phi&=\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}\\[6pt]
        &\approx\sqrt{\frac{7{,}103}{20}}\\[4pt]
        &\approx0{,}596
    \end{aligned}
    $$

e) Es besteht ein deutlicher Zusammenhang ($\phi=0{,}596$). Dabei übersteigt die beobachtete Kombination "Land/Auto" ihren Erwartungswert. Die Wohnumgebung "Land" korreliert also mit Autobesitz.

`r naechste("lösung") #2`

a) Vervollständigung der Kreuztabelle:

    ```{r}
    print_crosstable(ex_9_2, chisq = F)
    ```

b) Teilwerte $\chi^2$:

    ```{r}
    print_crosstable(ex_9_2)
    ```

    Summe ergibt $\chi^2$:

    $$
    \begin{aligned}
    \chi^2&= \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\ell}\frac{(n_{ij}-m_{ij})^{2}}{m_{ij}}\\[4pt]
          &\approx2{,}681+1{,}206+0{,}79+0{,}355\\
          &=5{,}032
    \end{aligned}
    $$

    Berechung $\phi$:

    $$
    \begin{aligned}
    \phi&=\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}\\[6pt]
        &\approx\sqrt{\frac{5{,}032}{145}}\\[4pt]
        &\approx0{,}186
    \end{aligned}
    $$

c) Es gibt eine schwache Korrelation der beiden Antworten ($\phi\approx0{,}186$). Die Bejahung bzw. Verneinung beider Fragen liegt unter dem Erwartungswert. Die Antworten auf beide Ja-Nein-Fragen korrelieren also leicht negativ.

`r naechste("lösung") #3`

Erwartungswerte und Teilwerte für $\chi^2$:

```{r}
print_crosstable(ex_9_3)
```
Summe der Teilwerte ergibt  $\chi^2$:

$$
\begin{aligned}
\chi^2&= \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\ell}\frac{(n_{ij}-m_{ij})^{2}}{m_{ij}}\\[4pt]
      &\approx13{,}37+3{,}29+0{,}535+0{,}132+5{,}851+1{,}44+3{,}877+0{,}954\\
      &=29{,}449
\end{aligned}
$$

Cramér-Index (wobei $k=4$ und $\ell=2$ und damit $\mathrm{min}(k,\ell)=2$):

$$
\begin{aligned}
\mathit{CI}&=\sqrt{\frac{\chi^2}{n\cdot (\mathrm{min}(k, \ell)-1)}}\\[6pt]
&\approx\sqrt{\frac{29{,}449}{400\cdot(2-1)}}\\[4pt]
&\approx0{,}271
\end{aligned}
$$

Der Cramér-Index weist auf einen mäßigen Zusammenhang zwischen Namensherkunft und Bewerbungsergebnis hin ($\mathit{CI}\approx0{,}217$). Dabei lag die Anzahl erfolgreicher Bewerbungen bei Namen deutscher Herkunft deutlich über dem Erwartungswert und bei Namen türkischer und slawischer Herkunft deutlich unter dem Erwartungswert.

`r naechste("lösung") #4`

Die Kreuztabelle lässt sich mit folgenden Werten vervollständigen:

```{r}
print_crosstable(ex_9_4)
```

Dann berechnet sich der Cramér-Index wie folgt:

```{r}
chisq <- get_chisq(ex_9_4)
ci <- get_ci(chisq$raw, 16286, 4, 2)
tribble(
  ~Schritt, ~Lösung,
  "Kontingenzkoeffizent: Formel", chisq$formel,
  "Kontingenzkoeffizent: Einsetzen", chisq$einsetzen,
  "Kontingenzkoeffizent: Ergebnis", chisq$ergebnis,
  "Cramér-Index: Formel", ci$formel,
  "Cramér-Index: Einsetzen", ci$einsetzen,
  "Cramér-Index: Ergebnis",  ci$ergebnis,
  "Antwortsatz", paste("Es gibt einen leichten Zusammenhang zwischen",
                       "Wohnverhältnis und Internetanschluss (%s). Dabei",
                       "haben vor allem die Fallzahlen für \"kein Anschluss\"",
                       "die Erwartungswerte über- (Miete) bzw. untertroffen",
                       "(Eigentum)") %>%
                   sprintf(ci$ergebnis)
) %>%
  tabelle(hold = T)
```