05_Loesungen.Rmd

## Sitzung 5 {-}

`r naechste("lösung", T)`

a) Ob die Grundgesamtheit normalverteilt ist oder nicht, ist nicht bekannt. (Vermutlich ist das sogar nicht der Fall.) Deshalb muss die Stichprobengröße mindestens 30 betragen.

b) $H_0 : \mu = 2{,}30$

    $H_1 : \mu \neq 2{,}30$

c) $z \leq -1{,}96$ und $z \geq 1{,}96$

d) $z=\sqrt{n}\cdot\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma}$

    $z=\sqrt{40}\cdot\frac{1{,}82-2{,}30}{1{,}42}\approx-2{,}14$

e) Der $z$-Wert ist mit -2,14 kleiner als der kritische Wert -1,96 und damit im Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese kann verworfen werden. Die Vermutung, dass sich die Frankfurter Haushaltsgröße vom europäischen Durchschnitt unterscheidet, ist damit bestätigt.

`r naechste("lösung") #2`

a)  -4,604
a)  -3,579
a)  -2,365
a)  -1,771
a)  2,201
a)  2,353
a)  3,707
a)  3,686
a)  3,365
a)  -2,528

`r naechste("lösung") #3`

1. Voraussetzungen prüfen (Test wählen):

    $z$-Test, da $\sigma$ bekannt

2. Hypothesen formulieren:

    $H_0 : \mu = 61{,}5$

    $H_1 : \mu < 61{,}5$

3. Signifikanzniveau entscheiden:

    Signifikanzniveau z.B. $\alpha=0,05$, weil ein zu großes $\alpha$ hier nicht in besonderer Weise problematisch ist.

4. Kritischen Wert bestimmen:

    $z \leq -1{,}65$

5. Prüfgröße berechnen:

    Zunächst muss $\bar{x} = 57{,}75$ berechnet werden (s. Sitzung 2)

    $z=\sqrt{n}\cdot\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma}$

    $z\approx\sqrt{4}\cdot\frac{57{,}75-61{,}5}{10{,}3}\approx-0{,}73$

6. Nullhypothese ablehnen oder beibehalten:

    Der kritsche Wert wurde nicht erreicht. Die Nullhypothese muss beibehalten werden, eine systematisch schlechtere Prüfungsleistung von berufstätigen Studierenden ließ sich hier nicht bestätigen.

`r naechste("lösung") #4`

a) Es geht um den Vergleich des Mittelwerts einer Stichprobe mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit bei unbekanntem $\sigma$,s deshalb 1-Stichproben-$t$-Test.

b) Gerichtete Alternativhypothese nach unten:

    \[\begin{aligned}
    H_0: \mu=3042,43\\
    H_1: \mu < 3042,43
    \end{aligned}\] 

c) Stichprobengröße 6, also 5 Freiheitsgrade:

    \[\begin{aligned}
    t &\leq t_{5;1\%}\\
    t &\leq -3,365
    \end{aligned}\] 

`r naechste("lösung") #5`

a) Wir berechnen zunächst die Parameter der Stichprobe (s. Sitzung 2):

    \[\begin{aligned}
    \bar{x}&\approx2964,50\\
    s&\approx 51,93
    \end{aligned}\] 

    Und setzen anschließend ein:

    \[\begin{aligned}
    t &= \sqrt{n}\cdot\frac{\bar{x}-\mu_0}{s}\\[5pt]
    &=\sqrt{6}\cdot\frac{2964,50-3042,43}{51,93}\\
    &\approx-3,676
    \end{aligned}\]

b) Der kritische Wert wurde unterschritten, die Nullhypothese wird abgelehnt. Wir haben gezeigt, dass in diesem Betrieb Angestellte mit Migrationshintergrund schlechter bezahlt werden ($\alpha=0,01$).

`r naechste("lösung") #6`

```{r cache = F}
set.seed(134323)
rnorm(5, 10, sqrt(5.2)) %>%
  round(2) -> preise
mittel <- get_mean(preise)
sigma <- get_sd(pop = T, variance = 5.2)
z <- get_z_test(preise, mu = 11.8, sigma = sigma$raw, mode = "abwärts")

tribble(
  ~Schritt, ~Lösung,
  "Test wählen", "Varianz bekannt, deshalb $z$-Test",
  "Nullhypothese", z$nullhypothese,
  "Alternativhypothese", z$alternativhypothese,
  "Signifikanzniveau", z$alpha,
  "Ablehnungsbereich", z$ablehnungsbereich$formel,
  "Ablehnungsbereich", z$ablehnungsbereich$einsetzen,
  "Ablehnungsbereich", z$ablehnungsbereich$ergebnis,
  "Mittel: Formel", mittel$formel,
  "Mittel: Einsetzen", mittel$einsetzen,
  "Mittel: Ergebnis", mittel$ergebnis,
  "Standardabweichung", sigma$quick,
  "Prüfgröße: Formel", z$formel,
  "Prüfgröße: Einsetzen", z$einsetzen,
  "Prüfgröße: Ergebnis", z$ergebnis,
  "Interpretieren", "Der Ablehnungsbereich wurde nicht erreicht.",
  "Interpretieren", "Die Nullhypothese muss beibehalten werden.",
  "Interpretieren", "Die Behauptung, im Neubaugebiet seien die Mietpreise günstiger, konnte nicht bestätigt werden.",
) %>% tabelle(hold = T)
```
`r naechste("lösung") #7`

```{r}
data <- ex_05_7$`Ertrag in t/ha`
mu0 <- 69
barx <- get_mean(data)
var <- get_var(data)
s <- get_sd(data)
t <- get_t1_test(barx = barx$raw,
                 s = s$raw,
                 n = 6,
                 mu = mu0,
                 mode = "ungerichtet")
tribble(
  ~Schritt,                            ~Lösung,
  "Test wählen",                       t$wählen,
  "Nullhypothese",                     t$nullhypothese,
  "Alternativhypothese",               t$alternativhypothese,
  "Signifikanzniveau",                 t$alpha,
  "Freiheitsgrade",                    t$df,
  "Ablehnungsbereich: Formel",         t$ablehnungsbereich$formel,
  "Ablehnungsbereich: Einsetzen",      t$ablehnungsbereich$einsetzen,
  "Ablehnungsbereich: Ergebnis",       t$ablehnungsbereich$ergebnis,
  "Mittel: Formel",                    barx$formel,
  "Mittel: Einsetzen",                 barx$einsetzen,
  "Mittel: Ergebnis",                  barx$ergebnis,
  "Varianz: Formel",                   var$formel,
  "Varianz: Einsetzen",                var$einsetzen,
  "Varianz: Ergebnis",                 var$ergebnis,
  "Standardabweichung",                s$quick,
  "Prüfgröße: Formel",                 t$formel,
  "Prüfgröße: Einsetzen",              t$einsetzen,
  "Prüfgröße: Ergebnis",               t$ergebnis,
  "Interpretieren: Ablehnungsbereich", t$interpretieren$ablehnungsbereich,
  "Interpretieren: Hypothese",         t$interpretieren$hypothese,
  "Interpretieren: Inhalt",
  ifelse(t$test,
         "Der Ertrag mit dem neuen Düngemittel ist signifikant %s als ohne ($\\alpha=0{,}05$)." %>%
           sprintf(ifelse(barx$raw > mu0, "höher", "niedriger")),
         "Der Ertrag weicht nicht signifikant ab ($\\alpha=0{,}05$)."),
) %>% tabelle(hold = T)
```