04_Loesungen.Rmd

## Sitzung 4 {-}

`r naechste("lösung", T)`

a)

    $\mu = \bar{x} = 162$

    $\sigma = s \approx 13{,}30$

b)

    $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx\frac{13{,}30}{\sqrt{6}} \approx 5,43$

`r naechste("lösung")`

a)

    $\sigma _{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{9}}\approx1{,}33$

b)

    $\frac{\mathit{KIB}}{2}=z_{(1-\alpha/2)} \cdot \sigma_{\bar{x}}$

    $\frac{\mathit{KIB}}{2}= z_{97{,}5\%}\cdot \sigma_{\bar{x}}$

    $\frac{\mathit{KIB}}{2}\approx 1{,}96 \cdot 1{,}33 \approx 2{,}61$

    $\mathit{KIB}=5{,}22$

c)

    $\frac{\mathit{KIB}}{2}=z_{(1-\alpha/2)} \cdot \sigma_{\bar{x}}$

    $z_{(1-\alpha/2)} = \frac{\mathit{KIB}}{2 \cdot \sigma_{\bar{x}}}\approx\frac{1}{2 \cdot 1{,}33}\approx0{,}38$

    $1-\frac{\alpha}{2} \approx 0{,}648$

    $-\frac{\alpha}{2} \approx 0{,}648 - 1$

    $\frac{\alpha}{2} \approx 0{,}352$

    $\alpha \approx 0{,}704$

    Das Konfidenzniveau beträgt ca. 29,6%.

d)

    $\frac{\mathit{KIB}}{2} = z_{(1-\alpha/2)} \cdot \sigma_{\bar{x}}$

    $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\mathit{KIB}}{2\cdot z_{95\%}}$

    $\sigma_{\bar{x}} = \frac{2}{2 \cdot z_{95\%}}$

    $\sigma_{\bar{x}} \approx \frac{2}{2 \cdot 1{,}65}$

    $\sigma_{\bar{x}} \approx 0{,}61$

    $\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

    $n = \big(\frac{\sigma}{\sigma_{\bar{x}}}\big)^2$

    $n \approx \big(\frac{4}{0{,}61}\big)^2\approx43$

`r naechste("lösung")`

#### a)

$\alpha=0{,}1$

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4096}=64$

$\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{64}{\sqrt{40}}\approx10{,}12$

$\frac{\mathit{KIB}}{2}=z_{95\%} \cdot \sigma_{\bar{x}}$

$\frac{\mathit{KIB}}{2}\approx 1{,}65 \cdot 10{,}12\approx16{,}70$

$\textrm{Untergrenze} = \bar{x} - \frac{\mathit{KIB}}{2} \approx 2650 - 16{,}70 = 2633{,}30$

$\textrm{Obergrenze} = \bar{x} + \frac{\mathit{KIB}}{2} \approx 2650 + 16{,}70 = 2666{,}70$

#### b)

$\mathit{KIB}=20$

$\frac{\mathit{KIB}}{2}=z_{(1-\alpha/2)} \cdot \sigma_{\bar{x}}$

$z_{(1-\alpha/2)}=\frac{\mathit{KIB}}{2\cdot \sigma_{\bar{x}}}$

$z_{(1-\alpha/2)}=\frac{20}{2 \cdot 10{,}12}\approx0{,}99$

$1-\frac{\alpha}{2}\approx0{,}8389$

$\alpha\approx 0{,}3222$

Das Konfidenzniveau beträgt ca. 67,78%.

`r naechste("lösung")`

#### a)

```{r}
data <- c(116.5, 94.5, 101.5, 109.0, 125.0, 112.5, 100.5)
mean <- get_mean(data)
tribble(
  ~Schritt, ~Lösung,
  "Formel", mean$formel,
  "Einsetzen", mean$einsetzen,
  "Ergebnis", mean$ergebnis
) %>% tabelle(hold = T)
```

#### b)

```{r}
sf <- get_stderr(data, sigma=11.5)
tribble(
  ~Schritt, ~Lösung,
  "Formel", sf$formel,
  "Einsetzen", sf$einsetzen,
  "Ergebnis", sf$ergebnis
) %>% tabelle(hold = T)
```

#### c)

```{r}
kib2 <- get_intervall(stderr=sf$raw, alpha = 0.05)
tribble(
  ~Schritt, ~Lösung,
  "Formel", kib2$formel,
  "Einsetzen", kib2$einsetzen,
  "Ergebnis", kib2$ergebnis,
  "Antwortsatz", "Die tatsächliche durchschnittliche Lieferzeit liegt mit 95%s Wahrscheinlichkeit zwischen %s und %s Tagen (%s $\\pm$ %s)." %>%
    sprintf(percent(), mean$raw-kib2$raw, mean$raw+kib2$raw, mean$raw, kib2$raw)
) %>% tabelle(hold = T)
```

#### d)

```{r}
sf <- get_intervall(kib2=kib2$raw, alpha=0.01)
n <- get_stderr(sigma=11.5, stderr=sf$raw)
tribble(
  ~Schritt, ~Lösung,
  "Standardfehler: Formel", sf$formel,
  "Standardfehler: Umformen", sf$umformen,
  "Standardfehler: Einsetzen", sf$einsetzen,
  "Standardfehler: Ergebnis", sf$ergebnis,
  "$n$: Formel", n$formel,
  "$n$: Umformen", n$umformen,
  "$n$: Einsetzen", n$einsetzen,
  "$n$: Ergebnis", n$ergebnis,
  "Antwortsatz", "Es müssten %s zusätzliche Messungen  vorgenommen werden (%s insgesamt)." %>%
    sprintf(ceiling(n$raw)-7, ceiling(n$raw))
) %>% tabelle(hold = T)
```