03_Aufgaben.Rmd

## Übungsaufgaben {-}

`r naechste("aufgabe", T) # ex1`

a) Führen Sie eine $z$-Transformation der folgenden Verteilung durch:

    ```{r}
    set.seed(2220)
      rnorm(9, -20, 8) %>%
      round(2) -> ex_3_1_a
      dcat(ex_3_1_a)
    ```

b) Sie kennen das arithmetische Mittel (221,54) und die Varianz (13,02) einer Verteilung. Welche $x$-Werte entsprechen diesen $z$-Werten?

    ```{r}
    set.seed(2220)
    runif(12, -3, 3) %>%
      rlist::list.filter(~ abs(.) <= 3) %>%
      round(2) -> ex_3_1_b
      dcat(ex_3_1_b)
    ```

`r naechste("aufgabe") # ex2`

Gegeben sei eine Normalverteilung beschrieben durch:

\[x \sim N(32{,}2,\enspace19{,}36)\]

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die folgenden Werte unterschritten?

    ```{r}
    set.seed(9444)
    runif(6, 32.2-3*4.4, 32.2+3*4.4) %>%
      round(2) -> ex_3_2_a
      dcat(ex_3_2_a)
    ```

b) Welche Werte werden jeweils mit der folgenden Wahrscheinlichkeit über(!)schritten?

    ```{r}
    c(1.5, 2.5, 5, 13, 50,  90, 99, 99.5) %>%
      `/`(100) -> ex_3_2_b

    ex_3_2_b %>%
      map(~ format(.x * 100)) %>%
      sprintf("%s%%", .) %>%
      dcat()
    ```

c) In welchem Bereich liegen die mittleren 95% der Werte?

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Wert zwischen 30 und 40 liegt?

`r naechste("aufgabe") # 3`

Deiche werden durch Wasserdruck bei Hochwasser belastet und dadurch beschädigt. Bei einem 12&nbsp;m hohen Deich gilt als kritische Marke ein Wasserstand von 10&nbsp;m. Die jährlichen Höchstwasserstände des Flusses sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 9,01&nbsp;m und einer Standardabweichung von 2,23&nbsp;m.

In den folgenden Teilaufgaben beantworten wir Schritt für Schritt die Frage, wie wahrscheinlich es (für ein beliebiges Jahr) ist, dass der Deich das jährliche Hochwasser ohne Beschädigung übersteht, d.&nbsp;h. dass ein Höchstwasserstand von 10&nbsp;m oder weniger eintritt.

a) Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (ganz grob, ohne $y$-Achse).
a) Markieren Sie den kritischen Wert 10&nbsp;m.
a) Welchem $z$-Wert entspricht die kritische Marke von 10&nbsp;?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt der Deich in einem gegebenen Jahr unbeschädigt (Höchstwasserstand unter der kritischen Marke von 10&nbsp;m)?

`r naechste("aufgabe") # 4`

Wir bleiben beim Deich aus Aufgabe 3.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Deich beschädigt (Wasserstand über 10&nbsp;m)?
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Deich nicht nur beschädigt, sondern läuft über (Wasserstand über 12&nbsp;m)?
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Deich beschädigt, läuft aber nicht über (Wasserstand zwischen 10 und 12&nbsp;m)?
a) In welchen Grenzen liegen die mittleren 80% der Hochwasserstände?

`r naechste("aufgabe") # 5`

Es ist ein neuer Deich zu bauen, der so sicher sein soll, dass er nur alle 200 Jahre vom Hochwasser übertreten wird. 

a) Welcher Wahrscheinlichkeitswert $p=P(x < x_p)$ ist anzuwenden, d.&nbsp;h. wie wahrscheinlich ist die *Unterschreitung* eines "zweihundertjährigen Hochwassers"?
b) Mit welchem $z$-Wert korrespondiert der gesuchte Wert $x_p$?
c) Wie hoch muss dieser Deich sein? (Welcher Wert $x_p$ entspricht diesem $z_p$?)

`r naechste("aufgabe") # 6`

Die jährlichen Niederschlagsmengen in Mittelstedt betragen im Durchschnitt 400 mm bei annähernder Normalverteilung und einer Standardabweichung von 100 mm. 

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 500 mm Niederschlag fallen?
b) Wie oft pro hundert Jahre kann mit weniger als 200 mm Niederschlag gerechnet werden?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen zwischen 200 und 550 mm Niederschlag?
d) Welche Niederschlagsmenge wird wahrscheinlich in nur 2 von 100 Jahren übertroffen?
e) In welchen Grenzen liegen die mittleren 75% der jährlichen Niederschlagsmenge?

`r naechste("aufgabe") # 7`

Errechnen Sie für die Verteilungen in [Aufgabe 5 aus Sitzung 2](#aufgabe-2-5) jeweils den Variationskoeffizienten.