전자기기는 신호가 켜졌는지, 꺼졌는지 구분을 하는 것이 효율적이기 때문에 컴퓨터 또한 2진법을 기반으로 발전하였다.
그림 출처 : 정보통신기술용어해석
컴퓨터는 위와 같이 수를 표현한다. 이때 2진수 자리 한 칸을 비트(bit; binary digit)라 한다.
수의 양 끝에는 MSB(most significant bit; 최상위 비트)와 LSB(least significant bit; 최하위 비트)가 있다. MSB는 주로 부호를 나타내는 데 사용된다.
위에서 봤듯 가장 기본적인 수 표현 단위는 비트다. 비트 n 개당 2^n 개의 수를 표현할 수 있다. 비트는 0과 1로 이루어진 2진법 체계를 사용하기 때문이다.
예를 들어 3비트로 0(000)부터 7(111)까지의 8개(2^3개)의 수를 나타낼 수 있다.
하나의 비트를 논릿값(true, false)을 나타내는 데 사용할 수 있다. 논릿값은 두 가지의 경우만 표현하면 되기 때문이다.
바이트는 8개의 요소를 하나의 그룹으로 묶은 것이다. 때문에 옥텟이라고 부르기도 한다. 즉, 하나의 바이트는 8개의 비트로 이루어져 있다.
1kb는 1024byte 이다.
비트는 0과 1로만 이루어지기 때문에 컴퓨터는 음수 기호를 사용할 수 없다. 2진수 만으로 음수를 표현하기 위해 첫 번째 자리로 부호를 표기하는 방식을 사용한다. 때문에 가장 왼쪽에 있는 비트인 MSB는 주로 부호 비트(sign bit) 로 사용된다.
만약 음수를 사용하지 않고 양의 정수를 더 크게 나타내고 싶을 경우 MSB를 부호 비트로 사용하지 않을 수 있다. 이를 지원하는 언어에서는 부호 비트를 사용하지 않는 정수 표현이라는 의미로 unsigned int 와 같이 표시하기도 한다.
부호 크기 체계는 부호 비트 이외에 나머지 비트를 절댓값 크기로 표현하는 것이다. 예를 들어, 4비트로 정수를 표현할 때 5는 0101이 된다. 부호 크기는 -5를 1101과 같이 표현한다. 1(-부호) + 101(10진수로 5)와 같이 표현하는 것이다. 이처럼 표현하면 -7 부터 7 까지 2^4 - 1개(15개)의 수를 나타낼 수 있다. 이를 수식으로 일반화하면 다음과 같다.
- 표현 범위 : 2^(n-1) + 1 ~ 2^(n-1) - 1
- 표현 가능 개수 : 2^n - 1
보수는 보충을 해주는 수를 의미한다. 예를 들어 1에 대한 10의 보수는 9(10 - 1), 4에 대한 15의 보수는 11(15 - 4)이 되는 것이다. 2진수에서는 1의 보수와 2의 보수를 사용할 수 있다. 컴퓨터는 이 중 2의 보수를 이용하여 음수를 나타낸다.
2진수에서 1의 보수는 각 자릿수를 1에서 빼주는 것과 같다. 이는 or(|) 연산을 하는 것과 같이 동작한다. 예를 들어 2진수 0101의 보수는 1010이 되는 것이다. 4비트로 정수를 표현 할 때는 0 부터 7까지는 0000부터 0111까지, -7 부터 0까지는 1000 부터 1111까지로 나타낼 수 있다. 표현 범위와 표현 가능 개수는 부호 크기 체계를 사용할 때와 같지만, 부호 비트가 음수를 나타낼 경우 절댓값으로 표현할 때와 달리 나머지 비트가 작을수록 더 작은 수를 나타낸다.
- 표현 범위 : 2^(n-1) +1 ~ 2^(n-1) -1
- 표현 가능 개수 : 2^n -1
2의 보수는 각 자릿수를 2에서 빼주는 것과 같다. 이는 or(|) 연산을 한 뒤 1을 더해주는 것과 같다. 2진수에서 1에 대한 2의 보수는 2 - 1이 될 것인데, 이는 1 - 1을 한 뒤 1을 더해주는 것과 같기 때문이다. 따라서 2진수 0101의 보수는 1011이 된다. 2의 보수를 사용할 경우 -0이 없어진다. 0에 대한 1의 보수에 1을 더하면 다시 0이 되기 때문이다. 따라서 다른 방식보다 하나의 음수를 더 표현할 수 있다.
0000의 보수는 1111이다. 여기에 1을 더해주면 10000이 되는데, 지금은 4비트로 정수를 표현하고 있기 때문에 이는 0000으로 표현된다.
- 표현 범위 : 2^(n-1) ~ 2^(n-1) -1
- 표현 가능 개수 : 2^n
보수를 사용하면 덧셈만으로 뺄셈 연산을 할 수 있다. 컴퓨터에는 덧셈을 위한 회로만 있기 때문에 만약 부호 이외의 값을 절댓값으로 표현한다면 뺄셈을 위한 회로가 추가되어야 한다. 따라서 뺄셈을 위해서 보수를 구한 뒤 더하는 방식으로 뺄셈 연산을 한다. 2 - 3을 계산해야 한다고 생각해보자. 이는 2 + (-3) 과 같은 수식이다. 따라서 3을 음수로 바꿔주고 덧셈 연산을 하면 뺄셈을 하는 것과 연산이 같아진다.
또한, 부호 이외의 값을 절댓값으로 표현하면 음수 비교 연산 시 모순이 발생한다. 보수를 이용하면 이러한 모순이 해결된다.
2의 보수를 사용하면 1의 보수와 달리 0이 하나로 표현된다. -0에 대한 처리를 따로 하지 않아도 된다. 또한, 뺄셈을 할 경우 캐리(carry; 올림 수) 처리를 해주지 않아도 된다. 이는 다음 예시를 보자.
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예시 : 1101 - 1010
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1010의 1의 보수는 0101이므로 1101에 0101을 더한 값은 10010이 된다.
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이 때 범위가 초과된 최상위 비트 1을 없애고 1을 더해준다. 이에 따라 1101 - 0101 = 0011 이라는 결과가 나온다.
이러한 캐리를 end aroud carry 라고 한다. MSB에서 발생한 캐리를 뜻한다.
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예시 : 1101 - 1010
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1010의 2의 보수는 0110이다. 1101 + 0110은 10011이 된다.
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최상위에 있는 비트는 표현 범위를 넘어갔으니 제외하면 0011 이라는 결과를 얻을 수 있다.
2의 보수를 사용하면 end around carry를 무시하고 연산 할 수 있다.
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계산과정에서 결괏값이 표현 가능한 값의 범위를 넘어갈 경우 오버플로우가 발생하게 된다. 4비트로 부호가 있는 정수를 표현할 때 -4와 -5를 더하면 -9가 되므로 표현 범위를 넘어가게 된다. 따라서 이런 경우가 발생하기 전에 더 큰 범위를 지정해줘야 한다. 오버플로우를 감지하는 방법은 부호 사용 여부에 따라 달라지는데 이는 오버플로우(Overflow) 조건을 참고하자.