直接将书本给出的定义『如果 n < 3 那么 f(n) = n ；如果 n \geq 3 ，那么 f(n)=f(n-1) + 2f(n-2) + 3f(n-3) 』翻译成递归函数：
.. literalinclude:: code/11-rec.scm
测试这个递归版的 f ：
1 ]=> (load "11-rec.scm") ;Loading "11-rec.scm"... done ;Value: f 1 ]=> (f 1) ;Value: 1 1 ]=> (f 3) ;Value: 4 1 ]=> (f 4) ;Value: 11
要写出函数 f 的迭代版本，关键是在于看清初始条件和之后的计算进展之间的关系，就像书本 25-26 页中，将斐波那契函数从递归改成迭代那样。
根据函数 f 的初始条件『如果 n < 3 ，那么 f(n)=n 』，有等式：
f(0) = 0
f(1) = 1
f(2) = 2
另一方面， 根据条件『当 n \geq 3 时，有 f(n) = f(n-1)+2f(n-2)+3f(n-3) 』，如果继续计算下去，一个有趣的结果就会显现出来：
f(3) = f(2) + 2f(1) + 3f(0)
f(4) = f(3) + 2f(2) + 3f(1)
f(5) = f(4) + 2f(3) + 3f(2)
\dots
可以看出，当 n \geq 3 时，所有函数 f 的计算结果都可以用比当前 n 更小的三个 f 调用计算出来。
迭代版的函数定义如下：它使用 i 作为渐进下标， n 作为最大下标， a 、 b 和 c 三个变量分别代表函数调用 f(i+2) 、 f(i+1) 和 f(i) ，从 f(0) 开始，一步步计算出 f(n) ：
.. literalinclude:: code/11-iter.scm
测试这个迭代版的函数：
1 ]=> (load "11-iter.scm") ;Loading "11-iter.scm"... done ;Value: f-iter 1 ]=> (f 1) ;Value: 1 1 ]=> (f 3) ;Value: 4 1 ]=> (f 4) ;Value: 11
两个 f 函数不仅使用的计算方式不同（前一个递归计算，另一个迭代计算），而且效率方面也有很大的不同。
递归版本的函数 f 有很多多余的计算，比如说，要计算 f(5) 就得计算 f(4) 、 f(3) 和 f(2) ，而计算 f(4) 又要计算 f(3) 、 f(2) 和 f(1) 。
对于每个 f(n) 调用，递归版 f 函数都要执行 f(n-1) 、 f(n-2) 和 f(n-3) ，而 f(n-1) 的计算又重复了对 f(n-2) 和 f(n-3) 的计算，因此，递归版本的 f 函数是一个指数级复杂度的算法（和递归版本的斐波那契数函数类似）。
另一方面，迭代版本使用三个变量储存 f(n-1) 、 f(n-2) 和 f(n-3) 的值，使用自底向上的计算方式进行计算，因此迭代版的函数 f 没有多余的重复计算工作，它的复杂度正比于 n ，是一个线性迭代函数。
.. seealso:: 查看维基词条 `Dynamic Programming <http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming>`_ 了解更多关于自底向上计算的信息。