index.tex

\include{content/metasivu}

\tableofcontents

\include{content/esipuhe}

\chapter{Polynomi}
	\input{content/polynomi}
	%polynomin käsite, eli lähinnä terminologiaa: lauseke, termi, monomi, binomi, polynomi, polynomin aste, vakiotermi
	%funktiomerkintä P(x), polynomin arvo
	\include{content/polynomien_yhteen-_ja_vahennyslasku}
	%samannimisten termien yhdistäminen, sulkujen kanssa pelaaminen tyyliin x-(x-1)=x-x+1=1
	\include{content/polynomien_kertolasku}
	%polynomin kertominen monomilla a(x+b)=ax+ab
	%kahden binomin tulo: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
	%tekijöihin jako, käsite tekijä
	%muistikaavat
		%(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
		%(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
		%(a-b)(a+b)=a^2-b^2
		%Esimerkki tai harjoitustehtävä: 102*98=(100+2)(100-2)=10000-4
	\include{tekijoihinjako}
	\include{content/tulon_nollasaanto_ja_tulon_merkkisaanto}
	%tulon nollasääntö
		%tulo on 0 jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on 0
		%esim. yhtälön x(x-2)=0 ratkaisu
		%korostetaan lyhyesti, että kyseessä on reaalilukujen ominaisuus, joka ei kaikissa muissa joukoissa välttämättä päde
		%liitteeseen voi ajan riittäessä laittaa eksplisiittisen esimerkin tällaisesta joukosta
	%tulon merkkisääntö
		%positiivinen * positiivinen = positiivinen
		%positiivinen * negatiivinen = negatiivinen
		%negatiivinen * negatiivinen = positiivinen
		%sovellus: x^2>=0
	%on hyvä mainita, että säännöt voidaan todistaa
	%todistukset korkeintaan liitteeksi
	\include{content/polynomifunktion_kuvaaja}
	%tarkoituksena varmistaa, että opiskelijat:
		%muistavat koordinaatiston idean
		%osaavat hahmotella funktion kuvaajan laskemalla sen arvoja
		%osaavat lukea funktion arvoja kuvaajasta sekä
		%oppivat käsitteen nollakohta
	%esimerkkeinä polynomeja
	%mitään yleistä teoriaa polynomien kuvaajista ei tarvita, mainittakoon että ensimmäisen asteen funktion kuvaaja on suora

\chapter{Ensimmäinen aste}
	\input{content/ensimmaisen_asteen_yhtalo}
	%KERTAUSTA lyhyesti
	%tarkoituksena, että tämän voi jättää väliin, jos osaa jo
	%nimitys juuri
	\include{content/epayhtalot}
	%yleistä järjestyksestä ja epäyhtälöistä, ratkaisujoukko on reaalilukuväli
	%ensimmäisen asteen epäyhtälö
		%merkin kääntyminen negatiivisella luvulla kerrottaessa perustellaan tulon merkkisäännöllä: jos x>b, x-b>0
		%siis lausekkeella a(x-b) on sama merkki kuin luvulla a

\chapter{Toinen aste}
	\input{content/paraabeli}
	\include{content/toisen_asteen_yhtalo}
	%toisen asteen yhtälö on muotoa ax^2+bx+c=0
	%vaillinaiset yhtälöt
		%yhtälöt muotoa ax^2+c=0 ja ax^2+bx=0
	%neliöksi täydentäminen
		%tämän voi opettaja halutessaan jättää käsittelemättä
		%idea siitä, että minkä tahansa toisen asteen yhtälön voi ratkaista täydentämällä neliöksi
	\include{content/toisen_asteen_yhtalon_ratkaisukaava}
	%johdetaan täydentämällä neliöksi: ax^2+bx+c=0 -> 4a^2+4abx=-4ac -> (2ax+b)^2=b^2-4ac
	\include{content/diskriminantti}
	%diskriminantti
		%D=b^2-4ac kertoo ratkaisujen lukumäärän
	\include{content/polynomin_jakaminen_tekijoihin}
	%sen nollakohtien avulla
	%lause: "Jos x=b on yhtälön P(x)=0 ratkaisu, x-b on polynomin P(x) tekijä."
	%todistus oikeastaan tarvitsee polynomien jakokulmaa, sen voi yrittää muotoilla uudestaan
	%erityisesti toisen asteen polynomille: ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
	\include{content/toisen_asteen_epayhtalo}
	%resepti: kaikki termit toiselle puolelle yhtälöä, ratkaise nollakohdat
	%sitten joko:
		%(A) jaa tekijöihin ja käytä tulon merkkisääntöä
		%tai (B) vetoa paraabelin muotoon
	%huomioitava myös tapaus, jossa polynomilla ei ole nollakohtia, sekä vaillinaiset tapaukset x(x-a)>0 ja x^2<a

\chapter{Korkeampi aste}
	\input{content/korkeamman_asteen_yhtalot}
	%yleisesti näitä on vaikea ratkaista
	%3. ja 4. asteen yhtälöille on ratkaisukaava, 5. asteesta eteenpäin ei
	%ratkaistaan siis yleensä numeerisesti
	%myös 3. ja 4. asteen yhtälöt ratkaistaan yleensä numeerisesti, koska ratkaisukaavat ovat raskaita käyttää
	%N. asteen yhtälöllä on korkeintaan N juurta (koska muuten N. asteen polynomilla olisi yli N ensimmäisen asteen tekijää)
	%siis N. asteen polynomilla on korkeintaan N nollakohtaa -> kuvaajat
	%joitakin helppoja tapauksia voidaan ratkaista tarkasti: tekijöihinjako ja tulon nollasääntö, esim. x^3+5x^2+x=0
	%sijoituksen avulla ratkeavat yhtälöt
		%tyyppiä x^4-3x^2+2=0, x^10-3x^5+1=0 jne. olevat yhtälöt
	\include{content/korkeamman_asteen_epayhtalot}
	%resepti: kaikki toiselle puolelle, etsi nollakohdat
	%käytä (A) merkkikaaviota tai (B) ota testipisteet joka (nollakohtien) väliltä (koska polynomit ovat jatkuvia, viitataan kurssiin MAA7)

\Closesolutionfile{ans}

\input{content/appendices}
% sisältää vastaukset

%\section{Hakemisto}
\include{content/hakemisto}

% \include{content/testiluku}
%testailut tänne