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Cambios y creación de un Tema de probabilidad mucho más completo (para otro curso)
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‎teoria/Tema11.Rmd

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@@ -66,39 +66,6 @@ Un ejemplo de suceso imposible de este experimento aleatorio es $\emptyset = \{7
6666

6767
<l class = "definition">Sucesos incompatibles. </l> Si $A\cap B = \emptyset$
6868

69-
## Sucesos
70-
71-
<l class = "prop">Propiedades de los sucesos. </l>
72-
73-
- Conmutativa: $$A\cup B = B\cup A$$ $$A\cap B = B\cap A$$
74-
- Asociativa: $$A\cup(B\cup C) = (A\cup B)\cup C$$ $$A\cap(B\cap C) = (A\cap B)\cap C$$
75-
76-
## Sucesos
77-
78-
<l class = "prop">Propiedades de los sucesos. </l>
79-
80-
- Distributiva: $$A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$$ $$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$$
81-
- Doble complementario: $(A^c)^c = A$
82-
- Leyes de De Morgan: $$(A\cup B)^c = A^c\cap B^c$$ $$(A\cap B)^c = A^c\cup B^c$$
83-
84-
## Sucesos
85-
86-
<div class = "example">
87-
**Ejemplo**
88-
89-
$\Omega = \{\text{conejos de la granja}\}$
90-
$A = \{\text{conejos hembra}\}$
91-
$B = \{\text{conejos con dos colores}\}$
92-
93-
$A\cup B = \{\text{Conejos que son hembra o tienen dos colores}\}$
94-
$A\cap B = \{\text{Conejos que son hembra y tienen dos colores}\}$
95-
$A^c = \{\text{Conejos que no son hembra}\}= \{\text{Conejos que son macho}\}$
96-
$A-B = \{\text{Conejos que son hembra y no tienen dos colores}\}$
97-
$B- A = \{\text{Conejos que tienen dos colores y son macho}\}$
98-
99-
No son incompatibles
100-
</div>
101-
10269
## Probabilidad
10370

10471
<l class = "definition">Probabilidad de un suceso. </l>Número entre 0 y 1 (ambos incluidos) que mide la expectativa de que se dé este suceso
@@ -113,137 +80,40 @@ No son incompatibles
11380

11481
<l class = "important">Notación: </l> Si $a\in\Omega$, escribiremos $p(a)$ en vez de $p(\{a\})$
11582

116-
## Probabilidad
117-
118-
<l class = "prop">Propiedades. </l>
119-
120-
- $p(\emptyset) = 0$
121-
- $p(A-B) = p(A)-p(A\cap B)$
122-
- Si $B\subseteq A$, entonces $0\le p(B)\le p(A)$
123-
- $p(A^c) = 1-p(A)$
124-
- $p(A\cup B) = p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
125-
126-
## Probabilidad
127-
128-
<l class = "prop">Propiedades. </l>
129-
130-
- $$p(A\cup B\cup C) =$$ $$p(A)+p(B)+p(C)-p(A\cap B)-p(A\cap C)-p(B\cap C)+p(A\cap B\cap C)$$
131-
- Si $A = \{a_1,\dots,a_k\}$, entonces $p(A) = p(a_1)+\cdots+p(a_k)$
132-
- Si todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, cada uno tiene probabilidad $\frac{1}{|\Omega|}$ y, por tanto $$p(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{# casos favorables}}{\text{# casos posibles}}$$
133-
134-
## Probabilidad condicionada
135-
136-
<l class = "definition">Probabilidad condicionada. </l> Dados $A,B$ sucesos, con $p(B)>0$, la probabilidad $p(A|B)$ de $A$ condicionada a $B$ es la probabilidad de que
137-
138-
- pase $A$ suponiendo que pasa $B$
139-
- si pasa $B$, entonces pase $A$
140-
- que un resultado de $B$ también pertenezca a $A$
141-
142-
$$p(A|B) = \frac{p(A\cap B)}{p(B)}$$
143-
144-
## Probabilidad condicionada
145-
146-
<l class = "important">¡Alerta! </l> Cabe distinguir entre
147-
148-
- $p(A\cap B):$ probabilidad de $A$ y $B$
149-
- $p(A|B):$ probabilidad de que si pasa $B$ entonces pase $A$.
150-
151-
En $p(A|B)$ restringimos el espacio muestral a $B$.
152-
153-
## Probabilidad condicionada
154-
155-
<l class = "prop">Proposición. </l> Sea $A\subseteq \Omega$ un acontecimiento tal que $p(A)>0$. Entonces $$p(\cdot |A): \mathcal{P}(\Omega)\longrightarrow [0,1]$$ tal que $B\mapsto p(B|A)$ satisface las propiedades de probabilidad
156-
157-
Lo que nos dice este resultado es que la probabilidad condicionada es, en efecto, una probabilidad.
15883

84+
## Variable aleatoria
15985

160-
## Teorema de la probabilidad total
161-
162-
<l class = "prop">Teorema. </l> $A,B$ sucesos. Entonces,
163-
164-
$$p(B) = p(B\cap A)+p(B\cap A^c) = p(A)\cdot p(B|A)+p(A^c)\cdot p(B|A^c)$$
165-
166-
## Teorema de la probabilidad total
167-
168-
<l class = "definition"> Partición del espacio muestral. </l>Los sucesos $A_1,\dots, A_n$ forman una partición del espacio muestral $\Omega$ de un determinado experimento aleatorio, si se cumple
169-
170-
- $A_1\cup\cdots \cup A_n = \Omega$
171-
- $A_1,\dots,A_n$ son incompatibles dos a dos $(A_i\cap A_j = \emptyset)$
172-
173-
<l class = "prop">Teorema. </l> $A_1,\dots, A_n$ partición de $\Omega$ y $B$ suceso cualquiera. Entonces,
174-
175-
$$p(B) = p(B\cap A_1)+\cdots+p(B\cap A_n) = p(A_1)\cdot p(B|A_1)+\cdots+p(A_n)\cdot p(B|A_n)$$
176-
177-
## Diagnósticos
178-
179-
En un diagnóstico de una cierta condición, tenemos dos tipos de suceso:
180-
181-
- $P:$ test da positivo
182-
- $S:$ sujeto satisface la condición
183-
184-
Entonces,
185-
186-
- <l class = "definition">Falso positivo. </l> $P\cap S^c$ (el test da positivo, pero la condición no se da)
187-
- <l class = "definition">Falso negativo. </l> $P^c\cap S$ (el test da negativo, pero sí se da la condición)
188-
- <l class = "definition">Coeficiente de falso positivo. </l> $p(P|S^c)$
189-
- <l class = "definition">Coeficiente de falso negativo. </l> $p(P^c|S)$
190-
191-
## Fórmula de Bayes
192-
193-
<l class = "prop">Teorema de Bayes. </l> $A,B$ sucesos. Si $p(B)>0$, entonces
194-
195-
$$p(A|B) = \frac{p(A)\cdot p(B|A)}{p(B)}=\frac{p(A)\cdot p(B|A)}{p(A)\cdot p(B|A)+p(A^c)\cdot p(B|A^c)}$$
196-
197-
<l class = "prop">Teorema de Bayes. </l> $A_1,\dots,A_n$ partición de $\Omega$. Sea $B$ suceso tal que $p(B)>0$. Entonces
198-
199-
$$p(A_i|B) = \frac{p(A_i)\cdot p(B|A_i)}{p(B)}=\frac{p(A_i)\cdot p(B|A_i)}{p(A_1)\cdot p(B|A_1)+\cdots+p(A_n)\cdot p(B|A_n)}$$
86+
<l class = "definition">Variable aleatoria. </l> Una variable aleatoria (v.a.) sobre $\Omega$ es una aplicación $$X: \Omega\longrightarrow \mathbb{R}$$ que asigna a cada suceso elemental $\omega$ un número real $X(\omega)$
20087

201-
## Sucesos independientes
88+
Puede entenderse como una descripción numérica de los resultados de un experimento aleatorio
20289

203-
<l class = "definition">Sucesos independientes. </l> Dados $A,B$ sucesos, son independientes si $p(A\cap B) = p(A)\cdot p(B)$
90+
<l class = "definition">Dominio de una variable aleatoria. </l> $D_X$, es el conjunto de los valores que puede tomar
20491

205-
<l class = "definition">Sucesos independientes. </l> Dados $A_1,\dots,A_n$, son independientes cuando para toda subfamilia $A_{i_1},\dots,A_{i_k}$, $$p(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=p(A_{i_1})\cdots p(A_{i_k})$$
92+
## Sucesos de variables aleatorias
20693

94+
Una variable aleatoria puede definir sucesos, de los cuales queremos conocer la probabilidad $p$
20795

208-
## Sucesos independientes
96+
- $p(X=a) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ X(\omega) = a\})$
97+
- $p(X<b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ X(\omega) < b\})$
98+
- $p(X\le b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ X(\omega) \le b\})$
99+
- $p(a<X) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ a<X(\omega)\})$
100+
- $p(a\le X) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ a\le X(\omega)\})$
101+
- $p(a\le X\le b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ a\le X(\omega) \le b\})$
102+
- $p(a< X< b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ a< X(\omega) < b\})$
103+
- $p(X\in A) = p(\{\omega\in\Omega \ |\ X(\omega)\in A\})$
209104

210-
<l class = "prop">Proposición. </l> Dados dos sucesos $A,B$ con $p(A),p(B)>0$ son equivalentes
105+
## Función de distribución
211106

212-
- $A$ y $B$ son independientes
213-
- $p(A|B) = p(A)$
214-
- $p(B|A) = p(B)$
215-
- $A^c$ y $B$ son independientes
216-
- $A$ y $B^c$ son independientes
217-
- $A^c$ y $B^c$ son independientes
107+
<l class = "definition">Función de distribución de la v.a. X.</l> Es una función $$F:\mathbb{R}\longrightarrow [0,1]$$ definida por $F(x)=p(X\le x)$
218108

219109

220110
## MAAAAAAAL
221111

222-
<div class = "example">
223-
**Ejemplo**
224112

225-
- La probilidad de que salga cara cuando tiramos una moneda no trucada es $p = \frac{1}{2} = 0.5$
226-
- La probilidad de que salga al tirar un dado no trucado nos salga 5 es $p = \frac{1}{6}$
227-
</div>
228113

229-
Por lo general, si nos encontramos en un caso como los anteriores, la probabilidad la podemos calcular del siguiente modo:
230114

231-
$$p=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$
232115

233116

234-
## Variable aleatoria
235-
236-
<l class = "definition">[Variable aleatoria](https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria).</l> Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Las hay de dos tipos: discretas y continuas.
237-
238-
- <l class = "definition">Variable aleatoria discreta.</l> Solamente puede tomar un número finito de valores.
239-
- <l class = "definition">Variable aleatoria continua.</l> Puede tomar como valores un intervalo (finito o infinito) de números reales.
240-
241-
<div class = "example">
242-
**Ejemplo**
243-
244-
La variable aleatoria $X$ que cuenta el número de caras que salen al tirar una moneda $n$ veces es una variable aleatoria discreta
245-
</div>
246-
247117

248118
## Funciones de probabilidad y densidad
249119

@@ -252,13 +122,6 @@ La variable aleatoria $X$ que cuenta el número de caras que salen al tirar una
252122
- <l class = "definition">Función de densidad.</l> Cuando $X$ es v.a. continua, la función de densidad describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
253123

254124

255-
## Función de distribución
256-
257-
<l class = "definition">Función de distribución.</l> Describe la probabilidad de que $X$ tenga un valor menor o igual que $x$.
258-
259-
- Es continua por la derecha
260-
- Es creciente
261-
- Toma valores entre 0 y 1
262125

263126
## Esperanza de una variable aleatoria
264127

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