Completado ejemplos Tema 11

Author: joanby

scripts/tema11/02-binomial.Rmd

@@ -60,7 +60,7 @@ plt.show()
 
 fix, ax = plt.subplots(1,1)
 r = binom.rvs(n, p, size = 10000)
-ax.hist(r, bins = 7)
+ax.hist(r, bins = n)
 plt.show()
 ```
 

scripts/tema11/04-hgeom.Rmd

@@ -0,0 +1,56 @@
+---
+title: "Distribución Hipergeométrica"
+author: "Curso de Estadística Descriptiva"
+date: "7/2/2019"
+output: pdf_document
+---
+
+```{r setup, include=FALSE}
+knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
+```
+
+## Distribución Hipergeométrica
+
+Supongamos que tenemos 20 animales, de los cuales 7 son perros. Queremos medir la probabilidad de encontrar un número determinado de perros si elegimos $k=12$ animales al azar. 
+
+# En `R`
+
+```{r}
+library(Rlab)
+M = 7
+N = 13
+k = 12
+dhyper(x = 0:12, m = M, n = N, k = k)
+phyper(q = 0:12, m = M, n = N, k = k)
+qhyper(p = 0.5, m = M, n = N, k = k)
+rhyper(nn = 1000, m = M, n = N, k = k) -> data
+hist(data, breaks = 8)
+```
+
+
+## En `Python`
+```{python}
+from scipy.stats import hypergeom
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+[M, n, N] = [20, 7, 6]
+rv = hypergeom(M, n, N)
+x = np.arange(0, n+1)
+y = rv.pmf(x)
+
+mean, var, skew, kurt = rv.stats(moments = 'mvsk')
+print("Media %f"%mean)
+print("Varianza %f"%var)
+print("Sesgo %f"%skew)
+print("Curtosis %f"%kurt)
+
+fig = plt.figure()
+ax = fig.add_subplot(111)
+ax.plot(x, y, 'bo' )
+ax.vlines(x,0,y, lw = 2, alpha = 0.5)
+ax.set_xlabel("Número de perros entre los 12 elegidos al azar")
+ax.set_ylabel("Distribución de probabilidad de H(13,7,12)")
+plt.show()
+```
+

scripts/tema11/04-hgeom.pdf

@@ -0,0 +1,48 @@
+---
+title: "Distribución de Poisson"
+author: "Curso de Estadística Descriptiva"
+date: "7/2/2019"
+output: html_document
+---
+
+```{r setup, include=FALSE}
+knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
+```
+
+## Distribución de Poisson
+
+Supongamos que $X$ modela el número de errores por página que tiene un valor esperado $\lambda = 5$.
+
+## En `R`
+```{r}
+l = 5
+plot(0:20, dpois(x = 0:20, lambda = l))
+ppois(0:20, l)
+qpois(0.5, 5)
+rpois(1000, lambda = l) -> data
+hist(data)
+```
+
+## En `Python`
+
+```{python}
+import numpy as np
+from scipy.stats import poisson
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+
+fig, ax = plt.subplots(1,1)
+mu = 5
+mean, var, skew, kurt = poisson.stats(mu, moments = 'mvsk')
+print("Media %f"%mean)
+print("Varianza %f"%var)
+print("Sesgo %f"%skew)
+print("Curtosis %f"%kurt)
+
+x = np.arange(0, 12)
+ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu), 'bo', ms = 8, label = 'Poisson(0.8)')
+ax.vlines(x,0, poisson.pmf(x,mu), colors = 'b', lw = 4, alpha = 0.5)
+ax.legend(loc = "best", frameon = False)
+plt.show()
+```
+

scripts/tema11/05-poisson.Rmd

@@ -0,0 +1,62 @@
+---
+title: "Distribución Uniforme"
+author: "Curso de Estadística Descriptiva"
+date: "7/2/2019"
+output: pdf_document
+---
+
+```{r setup, include=FALSE}
+knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
+```
+
+## Distribución Uniforme
+
+Supongamos que $X\sim U([0,1])$ entonces podemos estudiar sus parámetros
+
+## En `R` 
+```{r}
+a = 0
+b = 1
+
+x = seq(-0.1, 1.1, 0.1)
+plot(x, dunif(x, min = a, max = b))
+plot(x, punif(x, a, b), type = "l")
+qunif(0.5, a, b)
+runif(1000000, a, b) -> data
+hist(data)
+```
+
+## En `Python` 
+
+```{python}
+
+from scipy.stats import uniform
+import matplotlib.pyplot as plt 
+import numpy as np
+
+a = 0
+b = 1
+
+loc = a
+scale = b-a
+
+fig, ax = plt.subplots(1,1)
+
+rv = uniform(loc = loc, scale = scale)
+
+mean, var, skew, kurt = rv.stats(moments = 'mvsk')
+print("Media %f"%mean)
+print("Varianza %f"%var)
+print("Sesgo %f"%skew)
+print("Curtosis %f"%kurt)
+
+x = np.linspace(-0.1, 1.1, 120)
+ax.plot(x, rv.pdf(x), 'k-', lw = 2, label = "U(0,1)")
+
+r = rv.rvs(size = 100000)
+ax.hist(r, density = True, histtype = "stepfilled", alpha = 0.25)
+
+ax.legend(loc = 'best', frameon = False)
+plt.show()
+```
+

scripts/tema11/05-poisson.html

@@ -0,0 +1,39 @@
+---
+title: "Distribución exponencial"
+author: "Curso de Estadística Descriptiva"
+date: "7/2/2019"
+output: pdf_document
+---
+
+```{r setup, include=FALSE}
+knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
+```
+
+## En `Python`
+
+```{python}
+from scipy.stats import expon
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+fig, ax = plt.subplots(1,1)
+
+lam = 3
+rv = expon(scale = 1/lam)
+
+mean, var, skew, kurt = rv.stats(moments = 'mvsk')
+print("Media %f"%mean)
+print("Varianza %f"%var)
+print("Sesgo %f"%skew)
+print("Curtosis %f"%kurt)
+
+x = np.linspace(0, 3, 1000)
+ax.plot(x, rv.pdf(x), 'r-', lw = 5, alpha = 0.6, label = "Exp(10)")
+
+r = rv.rvs(size = 100000)
+ax.hist(r, density = True, histtype = 'stepfilled', alpha = 0.2)
+
+ax.legend(loc = "best", frameon= False)
+plt.show()
+```
+

scripts/tema11/07-uniforme.Rmd

@@ -195,6 +195,8 @@ Dada cualquier variable aleatoria, en `Python` tenemos las mismas cuatro funcion
 - `ppf(p,...)`: Cuantil $p$-ésimo de la variable aleatoria (el valor de $x$ más pequeño tal que $F(x)\geq p$).
 - `rvs(size,...)`: Generador de $size$ observaciones siguiendo la distribución de la variable aleatoria.
 
+También vale la pena conocer la función `stats(moments='mvsk')` que nos devuelve cuatro valores con los estadísticos de la media `m`, la varianza `v`, el sesgo `s` y la curtosis `k` de la distribución.
+
 # Distribuciones discretas más conocidas
 
 ## Distribuciones discretas 
@@ -347,11 +349,19 @@ $$X\sim \text{H}(N,M,n)$$
 ## Distribución Hipergeométrica
 
 ```{r, echo = FALSE}
+par(mfrow = c(1,2))
 plot(0:30, dhyper(0:30,10,20,10),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de probabilidad de una H(20,10,30)")
 plot(0:30, phyper(0:30,10,20,10),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una H(20,10,30)", ylim = c(0,1))
 par(mfrow= c(1,1))
 ```
 
+## Distribución Hipergeométrica
+
+El código de la distribución Hipergeométrica:
+
+- En `R` tenemos las funciones del paquete `Rlab`: `dhyper(x, m, n, k), phyper(q,  m, n, k), qhyper(p,  m, n, k), rhyper(nn,  m, n, k)` donde `m` es el número de objetos del primer tipo, `n` el número de objetos del segundo tipo y `k` el número de extracciones realizadas.
+- En `Python` tenemos las funciones del paquete `scipy.stats.hypergeom`: `pmf(k,M, n, N), cdf(k,M, n, N), ppf(q,M, n, N), rvs(M, n, N, size)` donde `M` es el número de objetos del primer tipo, `N` el número de objetos del segundo tipo y `n` el número de extracciones realizadas.
+
 ## Distribución de Poisson
 
 Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de eventos en un cierto intervalo de tiempo", diremos que $X$ se distribuye como una Poisson con parámetro $\lambda$
@@ -384,6 +394,13 @@ plot(0:20, ppois(0:20,2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función
 par(mfrow= c(1,1))
 ```
 
+## Distribución de Poisson
+
+El código de la distribución de Poisson:
+
+- En `R` tenemos las funciones del paquete `Rlab`: `dpois(x, lambda), ppois(q,lambda), qpois(p,lambda), rpois(n, lambda)` donde `lambda` es el número esperado de eventos por unidad de tiempo de la distribución.
+- En `Python` tenemos las funciones del paquete `scipy.stats.poisson`: `pmf(k,mu), cdf(k,mu), ppf(q,mu), rvs(M,mu)` donde `mu` es el número esperado de eventos por unidad de tiempo de la distribución.
+
 ## Distribución Binomial Negativa
 
 Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de repeticiones hasta observar los $r$ éxitos en ensayos de Bernoulli", diremos que $X$ se distribuye como una Binomial Negativa con parámetros $r$ y $p$, $$X\sim\text{BN}(r,p)$$ donde $p$ es la probabilidad de éxito
@@ -409,6 +426,12 @@ plot(c(rep(0,exitos),exitos:(size+exitos)), c(rep(0,exitos),pnbinom(0:size,exito
 par(mfrow= c(1,1))
 ```
 
+## Distribución  Binomial Negativa
+
+El código de la distribución Binomial Negativa:
+
+- En `R` tenemos las funciones del paquete `Rlab`: `dnbinom(x, size, prop), pnbinom(q, size, prop), qnbinom(p, size, prop), rnbinom(n, size, prop)` donde `size` es el número de casos exitosos y `prob` la probabilidad del éxito.
+- En `Python` tenemos las funciones del paquete `scipy.stats.nbinom`: `pmf(k,n,p), cdf(k,n,p), ppf(q,n,p), rvs(n,p)` donde `n`es el número de casos exitosos y `p` la probabilidad del éxito.
 
 ## Distribuciones discretas en R
 
@@ -519,10 +542,20 @@ Modela el elegir un elemento del intervalo $[a,b]$ de manera equiprobable
 ## Distribución Uniforme
 
 ```{r, echo = FALSE}
-plot(punif(1:20,min = 0, max = 20),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una U(0,20)", type = "o")
+par(mfrow=c(1,2))
+plot(c(0,1,1:4,4,5), c(0,0,dunif(1:4,min = 1, max = 4),0,0),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una U(1,4)", type = "o", ylim = c(0,1))
+plot(0:5, punif(0:5,min = 1, max = 4),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una U(1,4)", type = "o")
+par(mfrow=c(1,1))
 ```
 
 
+## Distribución Uniforme
+
+El código de la distribución Uniforme:
+
+- En `R` tenemos las funciones del paquete `stats`: `dunif(x, min, max), punif(q, min, max), qunif(p, min, max), runif(n,  min, max)` donde `min` y `max` són los extremos de los intervalos de la distribución uniforme.
+- En `Python` tenemos las funciones del paquete `scipy.stats.uniform`: `pdf(k,loc, scale), cdf(k,loc, scale), ppf(q,loc, scale), rvs(n,loc, scaler)` donde la distribución uniforme está definida en el intervalo `[loc, loc+scale]`.
+
 ## Distribución Exponencial
 
 Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\text{Exp}(\lambda)$, si su función de densidad es $$f_X(x)=\left\{
@@ -553,10 +586,18 @@ Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\tex
 ## Distribución Exponencial
 
 ```{r, echo = FALSE}
-plot(pexp(1:20,0.2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una Exp(0.2)", type = "o")
+plot(0:20, pexp(0:20,0.2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una Exp(0.2)", type = "o")
 ```
 
 
+## Distribución Exponencial
+
+El código de la distribución Exponencial:
+
+- En `R` tenemos las funciones del paquete `stats`: `dexp(x, rate), pexp(q, rate), qexp(p, rate), rexp(n,  rate)` donde `rate`$=\lambda$ es el tiempo entre dos sucesos consecutivos de la distribución.
+- En `Python` tenemos las funciones del paquete `scipy.stats.expon`: `pdf(k, scale), cdf(k, scale), ppf(q, scale), rvs(n, scaler)` donde `scale`$=1/\lambda$ es la inversa del tiempo entre dos sucesos consecutivos de la distribución.
+
+
 ## Distribución Normal
 
 Una v.a. $X$ tiene distribución normal o gaussiana de parámetros $\mu$ y $\sigma$, $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)$ si su función de densidad es $$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\quad \forall x\in\mathbb{R}$$
@@ -588,6 +629,14 @@ plot(dvalues, ylab = "", xlab= "",
      main = "Función de densidad de una N(0,1)")
 ```
 
+## Distribución Normal
+
+El código de la distribución Normal:
+
+- En `R` tenemos las funciones del paquete `stats`: `dnorm(x, mean, sd), pnorm(q,  mean, sd), qnorm(p,  mean, sd), rnorm(n,   mean, sd)` donde `mean` es la media y `sd` es la desviación estándar de la normal $N(\mu, \sigma)$.
+- En `Python` tenemos las funciones del paquete `scipy.stats.expon`: `pdf(k, mu, scale), cdf(k,  mu, scale), ppf(q,  mu, scale), rvs(n,  mu, scale)`  donde `mu` es la media y `scale` es la desviación estándar de la normal $N(\mu, \sigma)$.
+
+
 ## Distribución Normal
 
 <l class = "prop">Estandarización de una v.a. normal.</l> Si $X$ es una v.a. $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$, entonces $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)$$
@@ -610,6 +659,23 @@ Si a la hora de llamar a alguna de las 4 funciones siguientes: `dnorm`, `pnorm`,
 
 Es decir, R interpreta $\mu = 0$ y $\sigma = 1$
 
+## Otras distribuciones importantes
+
+- La distribución $\chi^2_k$, donde $k$ representa los grados de libertad de la misma y que procede de la suma de los cuadrados de $k$ distribuciones normales estándar independientes:
+
+$$X = Z_1^2 + Z_2^2+\cdots + Z_k^2\sim \chi_k^2$$
+
+## Otras distribuciones importantes
+
+- La distribución $t_k$ surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeña y procede del cociente
+
+$$T = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_k/k}}\sim T_k$$
+
+## Otras distribuciones importantes
+
+- La distribución $F_{n_1,n_2}$ aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza. Viene definida como el cociente
+
+$$F = \frac{\chi^2_{n_1}/n_1}{\chi^2_{n_2}/n_2}\sim F_{n_1,n_2}$$
 
 ## Distribuciones continuas en R