@@ -413,7 +413,7 @@ int main(){
413413 - 时间复杂度：$O(ElogE)$
414414- Prim算法
415415 - 贪心策略：Prim算法中，$A$一直保持单棵树，每一次加入的安全边，总是连接树和一个不在树中的顶点，并且这条安全边是当前可选的安全边中最短的一个。
416- - 时间复杂度：$O(ElogV)$，斐波那契堆优化下能更快 。
416+ - 时间复杂度：$O(ElogV)$，[斐波那契堆]({{<relref "/content/post/CSBasic/algo7-tree.md#斐波那契堆">}})优化下能更快 。
417417 - 注意$O(ElogV)$和$O(ElogE)$并没有本质区别，因为$|E|\le|V|^2$，易知$O(logE)=O(logV)$
418418 - 优化：
419419``` cpp
@@ -606,7 +606,7 @@ int main() {
606606 - 路径松弛定理：若$p=<v_0,v_1,...,v_k>$是一条最短路径，且对$p$的边按照$(v_0,v_1)(v_1,v_2)...(v_{k-1},v_k)$进行松弛，则$d[v_k]=\delta(s,v_k)$。
607607 - 前驱子图性质：一旦对于所有$v\in V,d[v]=\delta(s,v)$，则前驱子图构成一个以s为根的最短路径树。
608608### 单源最短路
609- - Dijkstra算法：不存在负权边的情况下，时间复杂度$O(V^2)$，斐波那契堆优化下能更快 。
609+ - Dijkstra算法：不存在负权边的情况下，时间复杂度$O(V^2)$，[斐波那契堆]({{<relref "/content/post/CSBasic/algo7-tree.md#斐波那契堆">}})优化下能更快 。
610610 - 基本思路：
611611 1. 初始化最短路径估计
612612 2. 初始化已获得最短路径的顶点集合，空集$S$
@@ -714,6 +714,19 @@ int main(){
714714 return 0;
715715 }
716716```
717+ - A\* 算法：一种针对单源点，单终点的启发式算法，是对Dijkstra算法的一个扩展。其结果并不总是准确的，但可以通过调整达到满意的要求。
718+ - 基本思路：
719+ - 待优化公式：对于从源点$s$经过$u$到终点$v$的最短路径估计函数$f[v]$，令$f[v]=d(s,u)+h(u,v)$，其中
720+ - $d(s,u)$是起点到当前点$u$的最短路径估计
721+ - $h(u,v)$是当前点$u$到终点$v$的代价估计，是一个启发式函数
722+ - 每一轮广搜，都选择当前具有最小$d[u]$的节点$v$进行扩展
723+ - 特例：
724+ - 当$h(u,v) = 0$，则该方法就是Dijkstra算法
725+ - 否则，根据应用场景不同，可以选择对应的简单启发函数
726+ - 图中仅允许四向移动：取曼哈顿距离（水平和垂直距离的和）
727+ - 图中允许八向移动：使用对角线距离（水平和垂直距离的最大值）
728+ - 图中允许全向移动：使用欧式距离
729+ - 其他情况，根据$d$和$h$的大小不同，算法有不同的性能和准确性表现
717730- Bellman-Ford算法：存在负权边的情况下，解决单源最短路径问题。时间复杂度$O(VE)$。
718731 - 基本思路：
719732 1. 初始化最短路径估计
@@ -829,7 +842,7 @@ int main(){
829842 - 和图算法的关系：可以将差分约束转换为最短路径问题。
830843 - 转换为图$G=(V,E)$，其中$V=\\{v_0,v_1,...,v_n\\}$,$E=\\{(v_i,v_j):x_j-x_i\le b_k\mathrm{是一个约束条件}\\}\cup \\{(v_0,v_1),(v_0,v_2),...,(v_0,v_n)\\}$。另外对于约束$x_j-x_i\le b_k$，边$(v_i,v_j)$具有权$w(v_i,v_j)=b_k$，而其他边则有$w(v_0,v_i)=0,1\le i \le n$。
831844 - 引入逻辑顶点$v_0$保证每个顶点均可从$v_0$到达。其他顶点就是未知元，边代表具有约束关系。
832- - 给定一差分约束系统$Ax\le b$，设$G=(V,E)$未其相应的约束图 。如果$G$不包含负权回路。则系统的一个可行解为：
845+ - 给定一差分约束系统$Ax\le b$，设$G=(V,E)$为其相应的约束图 。如果$G$不包含负权回路。则系统的一个可行解为：
833846 </br><center>
834847 $x=(\delta(v_0,v_1),\delta(v_0,v_2),...,\delta(v_0,v_n))$
835848 </center>
@@ -875,13 +888,13 @@ int main(){
875888 return 0;
876889}
877890```
878- - Johnson算法：简单版时间复杂度可达$O(VElogV)$，斐波那契堆优化可达 $O(V^2logV+VE)$，稀疏图更快
891+ - Johnson算法：简单版时间复杂度可达$O(VElogV)$，[ 斐波那契堆 ] ({{<relref "/content/post/CSBasic/algo7-tree.md#斐波那契堆">}})优化可达 $O(V^2logV+VE)$，稀疏图更快
879892 - 重赋权技术：
880893 - 如果图$G=(V,E)$中所有边的权$w$都是非负的，则执行$|V|$次Dijkstra算法即可。
881- - 如果存在负权，则重新设定一个权值权值函数 $\hat{w}$，满足：路径$p$是加权函数$w$从$u$到$v$的一条最短路径，当且仅当$p$也是加权函数$\hat{w}$从$u$到$v$的一条最短路径；加权函数$\hat{w}$的值永远非负。
894+ - 如果存在负权，则重新设定一个权值函数 $\hat{w}$，满足：路径$p$是加权函数$w$从$u$到$v$的一条最短路径，当且仅当$p$也是加权函数$\hat{w}$从$u$到$v$的一条最短路径；加权函数$\hat{w}$的值永远非负。
882895 - 构造方式：
883896 1. 构造新图$G'=(V',E')$，其中$V'=V\cup\\{s\\}$，$E'=E\cup\\{(s,v):v\in V\\}$。即添加一个超级源点$s$，连接所有其他顶点。且扩展原有加权函数$w$，使得$w(s,v)=0,v\in V$。
884- 2. 设函数$h(v)=\delta(s,v)$，易知 $h(v)\le h(u)+w(u,v)$，定义新权$\hat{w}(u,v)=w(u,v)+h(u)-h(v)$。注意$u\in V'$。
897+ 2. 设函数$h(v)=\delta(s,v)$，即先计算出超级源点到其他点的最短路，由三角不等式易知 $h(v)\le h(u)+w(u,v)$，定义新权$\hat{w}(u,v)=w(u,v)+h(u)-h(v)$。注意$u\in V'$。
885898 - 构造正确性的证明思路：
886899 - 新权$\hat{w}(u,v)$的非负性很显然（带入$h$的定义,结合三角不等式）
887900 - $w,\hat{w}$指示同一条最短路径：带入定义，展开$\hat{w}(p)=\sum_{i=1}^{k}\hat{w}(v_{i-1},v_i)$，可知$\hat{w}(p)=w(p)+h(v_0)-h(v_k)$。$h$是固定值，易知两者取得最短路径确实是当且仅当的。
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