diff --git a/1.4.1/Artemov_I/Artemov_I.tex b/1.4.1/Artemov_I/Artemov_I.tex new file mode 100644 index 00000000..593a703f --- /dev/null +++ b/1.4.1/Artemov_I/Artemov_I.tex @@ -0,0 +1,639 @@ +\documentclass[a4paper]{article} +\usepackage[14pt]{extsizes} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} +\usepackage{setspace,amsmath} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{epigraph} +\usepackage{csquotes} +\usepackage[unicode, pdftex]{hyperref} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{caption} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{wrapfig} +\usepackage[left=15mm, top=10mm, right=10mm, bottom=15mm, nohead, footskip=10mm]{geometry} +\RequirePackage{caption} +\DeclareCaptionLabelSeparator{d}{} +\captionsetup{justification=centering,labelsep=d} + +\begin{document} +\title{\textbf{Лабораторная работа 1.4.1} + +\ + +Изучение экспериментальных погрешностей на примере физического маятника. + +\ +} +\author{И. М. Артёмов} +\date{7 октября 2022 г.} +\maketitle +\noindent +\textbf{Цель работы}: 1) на примере измерения периода свободных колебаний физического маятника познакомиться с систематическими и случайными погрешностями, прямыми и косвенными измерениями; 2) проверить справедливость формулы для периода колебаний физического маятника и определить значение ускорения свободного падения; 3) убедиться в справедливости теоремы Гюйгенса об обратимости точек опоры и центра качания маятника; 4) оценить погрешность прямых и косвенных измерений и конечного результата. + +\ + +\noindent +\textbf{Оборудование}: металлический стержень с опорной призмой; закреплённая на стене консоль; подставка с острой гранью для определения центра масс маятника; секундомер; счётчик колебаний (механический или электронный); линейки металлические различной длины; штангенциркуль; электронные весы; математический маятник (небольшой груз, подвешенный на нитях). + +\section*{\textbf{1. Теоретическое введение.}} + +Пусть однородный стержень длины $l$ подвешен на оси $O$ на расстоянии $a$ от центра масс $C$. При отклонении стержня от вертикали на угол $\varphi \ll 1$, начинаются колебания стержня, которые можно описать уравнением моментов относительно оси $O$: +\begin{equation} +I \ddot{\varphi} \approx - m g a \varphi, +\end{equation} + +\noindent +где $\varphi$ - угол отклонения маятника от вертикали, $m$ - его масса, $I$ - момент инерции относительно оси подвеса. + +\noindent +Имеем дело с уравнением гармонических колебаний с периодом: +\begin{equation} +T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mga}} +\end{equation} + +\noindent +С учётом теоремы Гюйгенса-Штейнера: $I = \frac{ml^2}{12} + m a^2$, получим: +\begin{equation}\label{eq3} +T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{l^2}{12} + a^2}{g a}} +\end{equation} + +\noindent +Заметим, что если положить: +\begin{equation} +l_{\text{пр}} = \frac{l^2}{12 a} + a, +\end{equation} +получим, что период равен периоду колебаний математического маятника с длиной $l_{\text{пр}}$. + + + + +\begin{flalign*} \text{Заметим, что } \frac{dl_{\text{пр}}}{da} = 1 - \frac{l^2}{12 a^2} \text{ , отсюда } a_{m} = \frac{l}{2\sqrt{3}} \text{ --- значение $a$, при котором период} \end{flalign*} $T$ минимален. + +\noindent +Докажем также \textit{теорему Гюйгенса}. Пусть период одинаков при $a=a_1$ и $a=a_2$. Тогда: +\[\forall a\in \{a_1, a_2 \} \hookrightarrow a + \frac{l^2}{12 a} = l_\text{пр}(a_1) \Rightarrow a^2 - l_\text{пр}(a_1) a + \frac{l^2}{12} = 0 \Rightarrow \] +\[\Rightarrow a_1 + a_2 = l_\text{пр}(a_1), \] +то есть если сместить точку подвеса на расстояние $l_\text{пр}$ вниз, +то период колебаний не изменится. + +\begin{figure} +\begin{minipage}{0.49\linewidth} +\center{\includegraphics[scale=0.5]{pictures/рис 1.png}} +\caption{.\ \textit{Стержень как физический маятник}} +\end{minipage} +\hfill +\begin{minipage}{0.49\linewidth} +\center{\includegraphics[scale=0.7]{pictures/рис 2.png}} +\caption{.\ \textit{К теореме Гюйгенса}} +\end{minipage} +\end{figure} + +\noindent +В работе также будет изучаться затухание колебаний. Предполагая, что диссипация обусловлена вязким трением, пропорциональным угловой скорости маятника, получим для мощности потерь: +\begin{equation} +P = -\alpha \dot{\varphi}^2 \quad (\alpha > 0), +\end{equation} +Усредним $P$ по периоду, считая затухание малым: +\[\langle P \rangle_T = \langle -\xi E_\text{к}(t) \rangle_T \approx -\xi \frac{E}{2} \quad (\xi > 0),\] +где $E$ - энергия системы в данном периоде. То есть: +\[\frac{dE}{dt} = -\xi \frac{E}{2}, \text{ откуда: } E = E_0 \exp{(-2 \gamma t)} \quad (\gamma = \xi/4) \Rightarrow \] + +\noindent +\begin{equation} +\Rightarrow A(t)= A_0 \exp{(-\gamma t)} +\end{equation} + +\noindent +За время $\tau = 1/\gamma$ амплитуда $A$ колебаний падает в $e$ раз. Отношение времени жизни колебаний к периоду определяет добротность системы: +\begin{equation} +Q = \pi \frac{\tau}{T} +\end{equation} +Параметр $\tau$ легко определить, зная время $\tau_2$, за которое амплитуда падает в $2$ раза: +\begin{equation} +\tau = \frac{\tau_2}{\ln 2} +\end{equation} +Наконец, добавим поправки к формуле \eqref{eq3}, учитывающие, конечные массу и размер призмы. Точная формула имеет вид: +\begin{equation} +T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{\text{ст}} + I_{\text{пр}}}{m_{\text{ст}} g a - m_{\text{пр}} g a_{\text{пр}}} } +\end{equation} + +\noindent +Здесь $I_{\text{пр}}, m_{\text{пр}}, a_{\text{пр}}$ - соответственно момент инерции призмы относительно оси подвеса, её масса и расстояние от оси подвеса до центра масс призмы (знак "минус" в знаменателе означает, что призма находится над осью). + +\noindent +Заметим, что $m_{\text{пр}} \sim 10^{-1} \text{ кг}$, $a_{\text{пр}} \sim 1 \text{ см}$, $m_{\text{ст}} \sim 1 \text{ кг} $, $a \geq 10 \text{ см}$, поэтому $I_{\text{пр}}/I{\text{ст}} \sim 10^{-3}$. Это означает, что можно не учитывать $I_{\text{пр}}$. Однако для моментов, создаваемых силами тяжести призмы и стержня, имеем: +\[\frac{M_{\text{пр}}}{M_{\text{ст}}} = \frac{m_{\text{пр}} g a_{\text{пр}}}{m_{\text{ст}} g a} \sim 10^{-2},\] +то есть имеем ошибку до $1\%$ . Будем учитывать эту поправку. + +\noindent +Чтобы измерить $a_{\text{пр}}$, будем находить расстояние $x_{\text{ц}}$ от центра масс стержня с призмой до точки подвеса и вычислять $a_{\text{пр}}$ по очевидной формуле: +\begin{equation} +a_{\text{пр}} = \frac{m_{\text{ст}} a - (m_{\text{ст}} + m_{\text{пр}})x_{\text{ц}}}{m_{\text{пр}}} +\end{equation} + +\begin{figure}[h] +\center{\includegraphics[scale=0.8]{pictures/рис 3.png}} +\caption{.\ \textit{Смещение центра масс из-за подвесной призмы}} +\end{figure} + +\noindent +В итоге формула для периода примет вид: +\begin{equation}\label{eq11} +T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{l^2}{12} + a^2}{g (1+\frac{m_{\text{пр}}}{m_{\text{ст}}})x_{\text{ц}}}} +\end{equation} + +\section*{\textbf{2. Ход работы.}} + +\begin{itemize} +\item[\textbf{1}.] Заметим, что погрешности измерения $l$ и $a$ равны цене деления линейки, то есть \(\sigma_l = \sigma_a = 0.1 \text{ см.} \) Ускорение свободного падения можно найти, зная период, из формулы \eqref{eq3}: +\begin{equation} +g = \frac{4\pi^2}{T^2} l_{\text{пр}} +\end{equation} +\begin{flalign*} \text{Тогда } \varepsilon_g = \sqrt{(2\varepsilon_T)^2+(\varepsilon_{l_{\text{пр}}})^2}. \text{ Обозначим } f(l, a) \equiv l_{\text{пр}} \equiv \frac{l^2}{12a} + a \text{. Тогда:}&& \end{flalign*} + +\[ \frac{\partial{f}}{\partial{l}} = \frac{l}{6a} \quad ; \quad \frac{\partial{f}}{\partial{a}} = 1 - \frac{l^2}{12a^2} \] + +\[\varepsilon_f = \frac 1 f \sqrt{\left(\frac{\partial{f}}{\partial{l}}\sigma_l\right)^2 + \left(\frac{\partial{f}}{\partial{a}}\sigma_a\right)^2} = \frac{\sigma_a}{\frac{l^2}{12} + a^2} \sqrt{\frac{l^2}{36a^2} + \left(1-\frac{l^2}{12a^2} \right)^2 }\] + +\noindent +\begin{flalign}\label{eq13} \text{Пусть } \mu = l/a \text{. Тогда получим: } \varepsilon_f = \frac{12}{13\mu} \sqrt{\frac{\mu^2}{36} + \left(1-\frac{\mu^2}{12}\right)^2}\frac{\sigma_a}{l} \ .&& \end{flalign} Построим график функции $\varepsilon_f(\mu)$ для $\mu \in [2; 10]$ и $l = 1 \text{ м}$ (примерно в таком диапазоне мы будем производить измерения). График показан на Рис. 4. Нетрудно видеть, что ошибка измерения $l_{\text{пр}}$ на всём диапазоне не превосходит $0.1 \%$. Примерно с такой точностью есть смысл измерять период $T$. +\begin{figure}[h] +\center{\includegraphics[scale=0.8]{pictures/Figure_1.png}} +\caption{.\ \textit{График зависимости} $\varepsilon_f(\mu)$ \textit{для} $\mu \in [2; 10]$} +\end{figure} +\item[\textbf{2}.] Измерим длину $l$ стержня линейкой, взвесим стержень и призму на электронных весах, определим расстояние от края пустого стержня до его центра масс. Получим (погрешность измерения массы на весах оценили как единицу последнего разряда, т. е. $\sigma_m = 0.1$ г): +\[l = (100 \pm 0.1) \text{ см} \ ; \ m_{\text{пр}} = (74.9 \pm 0.1) \text{ г} \ ; \ m_{\text{ст}} = (1022.4 \pm 0.1) \text{ г}\] +\[ X_{\text{ц}} = (50.0 \pm 0.1) \text{ см} \] + +Нетрудно видеть, что расстояние от края стержня до его центра масс $X_{\text{ц}} = l/2$, поэтому будем измерять $a$ от оси до середины стержня. Расстояние $x_{\text{ц}}$ от центра масс стержня с призмой до оси будем вычислять по формуле: +\begin{equation} +x_{\text{ц}} = a - (X_{\text{ц}} - x^{'}_{\text{ц}}), +\end{equation} +где $x^{'}_{\text{ц}}$ - расстояние от края стержня до центра масс. +\item[\textbf{3}.] Установим призму на некотором расстоянии от середины стержня, и измерим $a$ и $x^{'}_{\text{ц}}$. Получим: +\[a = (45.0 \pm 0.1) \text{ см} \ ; \ x^{'}_{\text{ц}} = (46.8 \pm 0.1) \text{ см} \ ; \ x_{\text{ц}} = (41.8 \pm 0.2) \text{ см}\] +Погрешность измерения $x_{\text{ц}}$ считалась, как: +\begin{equation} +\sigma_{x_{\text{ц}}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_{X_{\text{ц}}}^2 + \sigma_{{x^{'}_{\text{ц}}}}^2} = \sigma_a \sqrt{3} \approx 0.2 \text{ см} +\end{equation} +\item[\textbf{4}.] Проведём предварительный опыт. Устанавливаем маятник на консоли, отклоняем на малый угол (не более $5^{\circ}$) , убеждаемся, что он качается без помех, призма не просклальзывает, колебания затухают слабо. Измеряем время $n=20$ полных колебаний маятника и вычисляем период $T$ \[t_{20} = (31.91 \pm 0.01) \text{ с} \quad ; \quad T = \frac{t_{20}}{n} \approx (1.5955 \pm 0.0005) \text{ с}\] +Здесь за систематическую погрешность измерения времени секундомером была принята единица последнего разряда $\sigma_t = 0.1 \text{ с}$, а $\sigma_T = \sigma_{t_{20}}/n = 0.0005 \text{ с}$ + +\noindent +Вычислим предварительное значение $g$ по формуле \eqref{eq3}: +\begin{equation} +g = \frac{4\pi^2}{T^2} \left(\frac{l^2}{12a} + a\right) \approx (9.850 \pm 0.007) \ \frac{\text{м}}{\text{с}^2} +\end{equation} + +\noindent +Здесь погрешность $g$ считалась по формулам, приведённым в пункте 1, в частности $\varepsilon_f$ считалось по формуле (\ref{eq13}) для $\mu = l/a = 20/9$, а $\varepsilon_T = \varepsilon_{t_{20}}$. Получили отклонение от теоретического значения $g$ не более $10\%$. + +\item[\textbf{5}.] Проведём серию из $N = 10$ измерений времени $t_{20}$ полных $n = 20$ колебаний стержня. Результаты - в табл. 1. +% \usepackage{booktabs} + + +\begin{table}[h] +\centering +\begin{tabular}{|c|c|} +\hline +$N$ опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 31.91 \\ +\hline +2 & 31.90 \\ +\hline +3 & 32.07 \\ +\hline +4 & 31.87 \\ +\hline +5 & 31.84 \\ +\hline +6 & 31.94 \\ +\hline +7 & 31.82 \\ +\hline +8 & 31.90 \\ +\hline +9 & 32.00 \\ +\hline +10 & 31.98 \\ +\hline + +\end{tabular} +\caption{} +\end{table} + +Вычислим среднее значение и ошибки измерения времени $t_{20}$: +\begin{equation} +t_{20} = \overline{t_{20}} = \frac{\sum\limits_{i=1}^N t_{20, i}}{N} = (31.92 \pm 0.07) \text{ с} \ ; \ \sigma_{t_{20}}^{\text{случ}} = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N (t_{20, i} - t_{20})^2}{N(N-1)}} \approx 0.07 \text{ с} +\end{equation} +\begin{equation} +\sigma_{t_{20}}^{\text{сист}} = 0.01 \text{ с} \quad ; \quad \sigma_{t_{20}}^{\text{полн}} = \sqrt{\sigma_{t_{20}}^{\text{случ}^2} + \sigma_{t_{20}}^{\text{сист}^2}} \approx 0.07 \text{ с} \quad ; \quad \varepsilon_{t_{20}} \approx 2 \cdot 10^{-3} +\end{equation} +Для периода имеем: $T = (1.596 \pm 0.004) \text{ с}$. Заметим, что точность измерения $T$ порядка $0.1\%$, поэтому изменять $n$ не будем. Значение $g$ определим по более точной формуле \eqref{eq11}: +\begin{equation} +g = \frac{4\pi^2}{T^2} \frac{\frac{l^2}{12} + a^2}{\left(1+\frac{m_{\text{пр}}}{m_{\text{ст}}}\right) x_{\text{ц}}} +\end{equation} +Заметим, что знаменатель второй дроби близок к $a$, $\sigma_{x_{\text{ц}}} = \sigma_a \sqrt{3}$, а относительная погрешность определения $\psi = (1 + m_{\text{пр}}/m_{\text{ст}})$: +\[\varepsilon = \frac{\sigma_{\frac{m_{\text{пр}}}{m_{\text{ст}}}}}{\psi} \approx \frac{\frac{\sigma_{m_{\text{пр}}}}{m_{\text{ст}}}}{\psi} \approx 10^{-4} \] +Поэтому будем считать $\sigma_g$ по формулам из п.1 аналогично тому, как делали при предварительном расчёте. Получим: +\[ g = (9.87 \pm 0.04) \ \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \] + +\item[\textbf{6}.] Проведём аналогичные измерения ещё для $9$ значений $a$. При этом вблизи минимума периода $a_m = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ стоит провести больше измерений. Результаты - в табл. 2-11. + +\begin{table} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 400 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 31.20 \\ +\hline +2 & 31.24 \\ +\hline +3 & 31.17 \\ +\hline +4 & 31.38 \\ +\hline +5 & 31.18 \\ +\hline +6 & 31.09 \\ +\hline +7 & 31.25 \\ +\hline +8 & 31.25 \\ +\hline +9 & 31.47 \\ +\hline +10 & 31.12 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 350 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 30.78 \\ +\hline +2 & 30.80 \\ +\hline +3 & 30.71 \\ +\hline +4 & 30.60 \\ +\hline +5 & 30.72 \\ +\hline +6 & 30.79 \\ +\hline +7 & 30.75 \\ +\hline +8 & 30.78 \\ +\hline +9 & 30.72 \\ +\hline +10 & 30.70 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 300 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 30.50 \\ +\hline +2 & 30.53 \\ +\hline +3 & 30.53 \\ +\hline +4 & 30.47 \\ +\hline +5 & 30.44 \\ +\hline +6 & 30.44 \\ +\hline +7 & 30.53 \\ +\hline +8 & 30.53 \\ +\hline +9 & 30.44 \\ +\hline +10 & 30.66 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\end{table} + +\begin{table} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 290 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 30.44 \\ +\hline +2 & 30.28 \\ +\hline +3 & 30.32 \\ +\hline +4 & 30.44 \\ +\hline +5 & 30.50 \\ +\hline +6 & 30.38 \\ +\hline +7 & 30.41 \\ +\hline +8 & 30.43 \\ +\hline +9 & 30.41 \\ +\hline +10 & 30.37 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 280 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 30.37 \\ +\hline +2 & 30.59 \\ +\hline +3 & 30.25 \\ +\hline +4 & 30.47 \\ +\hline +5 & 30.50 \\ +\hline +6 & 30.47 \\ +\hline +7 & 30.41 \\ +\hline +8 & 30.47 \\ +\hline +9 & 30.62 \\ +\hline +10 & 30.40 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 270 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 30.65 \\ +\hline +2 & 30.40 \\ +\hline +3 & 30.53 \\ +\hline +4 & 30.72 \\ +\hline +5 & 30.87 \\ +\hline +6 & 30.50 \\ +\hline +7 & 30.70 \\ +\hline +8 & 30.84 \\ +\hline +9 & 30.40 \\ +\hline +10 & 30.44 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\end{table} + +\begin{table} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 250 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 30.72 \\ +\hline +2 & 30.62 \\ +\hline +3 & 30.60 \\ +\hline +4 & 30.72 \\ +\hline +5 & 30.78 \\ +\hline +6 & 30.69 \\ +\hline +7 & 30.81 \\ +\hline +8 & 30.41 \\ +\hline +9 & 30.59 \\ +\hline +10 & 30.56 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 208 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 31.25 \\ +\hline +2 & 31.31 \\ +\hline +3 & 31.25 \\ +\hline +4 & 31.34 \\ +\hline +5 & 31.32 \\ +\hline +6 & 31.28 \\ +\hline +7 & 31.35 \\ +\hline +8 & 31.31 \\ +\hline +9 & 31.26 \\ +\hline +10 & 31.28 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.32\linewidth} +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +\multicolumn{2}{|c|}{$a = 150 \text{ мм}$} \\ +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 33.66 \\ +\hline +2 & 33.79 \\ +\hline +3 & 33.69 \\ +\hline +4 & 33.60 \\ +\hline +5 & 33.75 \\ +\hline +6 & 33.72 \\ +\hline +7 & 33.65 \\ +\hline +8 & 33.75 \\ +\hline +9 & 33.66 \\ +\hline +10 & 33.70 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{minipage} +\end{table} + +\begin{table}[] +\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} +\hline +\textnumero \ серии & $a$, мм & $x^{'}_{\text{ц}}$, мм & $x_{\text{ц}}$, мм & $n$ & $t_{20}$, с & $T$, с & $g$, $\text{м}/\text{с}^2$ \\ \hline +1 & $450 \pm 1 $ & $468 \pm 1$ & $418 \pm 2$ & 20 & $31.92 \pm 0.07$ & $1.596 \pm 0.004$ & $9.87 \pm 0.04$ \\ \hline +2 & $400 \pm 1$ & $475 \pm 1$ & $375 \pm 2$ & 20 & $31.24 \pm 0.11$ & $1.562 \pm 0.006$ & $9.78 \pm 0.07$ \\ \hline +3 & $350 \pm 1$ & $476 \pm 1$ & $326 \pm 2$ & 20 & $30.74 \pm 0.06$ & $1.537 \pm 0.003$ & $9.83 \pm 0.04$ \\ \hline +4 & $300 \pm 1$ & $478 \pm 1$ & $278 \pm 2$ & 20 & $30.51 \pm 0.06$ & $1.526 \pm 0.003$ & $9.85 \pm 0.04$ \\ \hline +5 & $290 \pm 1$ & $479 \pm 1$ & $269 \pm 2$ & 20 & $30.40 \pm 0.06$ & $1.520 \pm 0.003$ & $9.91 \pm 0.04$ \\ \hline +6 & $280 \pm 1$ & $480 \pm 1$ & $260 \pm 2$ & 20 & $30.44 \pm 0.10$ & $1.522 \pm 0.005$ & $9.87 \pm 0.07$ \\ \hline +7 & $270 \pm 1$ & $481 \pm 1$ & $251 \pm 2$ & 20 & $30.61 \pm 0.17$ & $1.531 \pm 0.009$ & $9.77 \pm 0.11$ \\ \hline +8 & $250 \pm 1$ & $482 \pm 1$ & $232 \pm 2$ & 20 & $30.65 \pm 0.11$ & $1.533 \pm 0.006$ & $9.84 \pm 0.07$ \\ \hline +9 & $208 \pm 1$ & $485 \pm 1$ & $193 \pm 2$ & 20 & $31.30 \pm 0.03$ & $1.565 \pm 0.002$ & $9.85 \pm 0.02$ \\ \hline +10 & $150 \pm 1$ & $489 \pm 1$ & $139 \pm 2$ & 20 & $33.70 \pm 0.05$ & $1.685 \pm 0.003$ & $9.86 \pm 0.03$ \\ \hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{table} +\item[\textbf{7}.] Для $a = 40$ см $l_{\text{пр}} \approx 60.8 $ см. Установим эту длину у математического маятника и проведём опыт из $K = 7$ измерений времени $t_{20}$ полных $n = 20$ колебаний маятника. Результат - в таблице 12. +\begin{table}[h!] +\centering +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +N опыта & $t_{20}$, с \\ +\hline +1 & 33.66 \\ +\hline +2 & 33.79 \\ +\hline +3 & 33.69 \\ +\hline +4 & 33.60 \\ +\hline +5 & 33.75 \\ +\hline +6 & 33.72 \\ +\hline +7 & 33.65 \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{} +\end{table} +\begin{flalign*}\text{Отсюда получим: } t_{20} = (31.32 \pm 0.12) \text{ с} \ ; \ T_{math} = (1.566 \pm 0.006) \text{ с} && \end{flalign*} +Так как при этом $T_{phys} = (1.562 \pm 0.006) \text{ с}$ (табл. 11), то $\Delta T = T_{math} - T_{phys} = (0.004 \pm 0.008 )$ с, то есть в пределах погрешности значения $T_{math}$ и $T_{phys}$ \textit{совпадают}. + + +Заметим, что для $a_1 = 40$ см, $a_2 = l_{\text{пр}}(a_1) - a_1 \approx 20.8 $ см. Из таблицы 11: +\[T(a_1) = (1.562 \pm 0.006) \text{ с} \ ; \ T(a_2) = (1.565 \pm 0.002) \text{ с} \] +\[ \Delta T = T(a_2) - T(a_1) = (0.003 \pm 0.006) \text{с}\] +В пределах погрешности $T(a_1)$ и $T(a_2)$ совпадают, что подтверждает \textit{теорему Гюйгенса}. +\item[\textbf{8}.] По данным табл. 11 усредним $g$: +\[g =\frac{\sum\limits_{i=1}^{10} g_i}{10} =(9.843 \pm 0.019) \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \ ; \ \varepsilon_g = 2 \cdot 10^{-3}\] +Погрешность $g$ считалась, как: +\[ \sigma_g = \frac{1}{10} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{10} \sigma^2_{g_i}} \] + +\item[\textbf{9}.] Построим экспериментальную зависимость $T(a)$ по данным табл. 11. Зависимость имеет минимум между $a = 28$ см и $a = 29$ см, что согласуется с теорией: $a_m = \frac{l}{2\sqrt{3}} \approx 28.87$ см. Построим также теоретическую кривую $T(a)$ при $a \in [14; 50]$ см. Она задаётся формулой: +\begin{equation} + T(a) = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{l^2}{12} + a^2}{ga}} = 2\pi \sqrt{\frac{z^2+a^2}{ga}} = 2\pi \sqrt{\frac{z}{a}} \sqrt{\frac{z}{a}+\frac{a}{z}} \quad \left(z^2 = \frac{l^2}{12} \right) +\end{equation} +Отсюда видно, что $T=T_m$ при $a = z$, при этом зависимость $T(a)$ можно переписать в виде: +\begin{equation}\label{eq21} +T(a) = \frac{T_m}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{z}{a}+\frac{a}{z}} +\end{equation} +Поэтому для проверки соответствия эксперимента теоретическим расчётам построим также график $T(a)$ по формуле \eqref{eq21} для экспериментального значения $T_m \approx 1.520$ с. Соответсвующие графики приведены на рис. 5, 6, 7. +\begin{figure} +\center{\includegraphics[scale=1]{pictures/Figure_2.png}} +\caption{. \textit{Экспериментальная и теоретическая зависимость} $T(a)$} +\end{figure} +\begin{figure} +\center{\includegraphics[scale=1]{pictures/Figure_3.png}} +\caption{. \textit{Экспериментальная и теоретическая зависимость} $T(a)$} +\end{figure} +\begin{figure} +\center{\includegraphics[scale=1]{pictures/Figure_4.png}} +\caption{. \textit{Экспериментальная и теоретические зависимости} $T(a)$ } +\end{figure} +Нетрудно видеть, что точки в пределах погрешности ложатся на теоретические кривые, а кривая, построенная с использованием экспериментального $T_m$, близка к теоретической кривой. +\item[\textbf{10}.] Построим график зависимости $u(v)$, где $u = T^2 x_{\text{ц}}$, v = $a^2$. При этом ошибки величин $u$ и $v$ будем считать по формулам: +\begin{equation} +\sigma_u = \sqrt{(T^2 \sigma_{x_{\text{ц}}})^2+(2 T \sigma_T x_{\text{ц}})^2} = T \sqrt{(T \sigma_{x_{\text{ц}}})^2+(2 x_{\text{ц}} \sigma_T)^2} +\end{equation} +\begin{equation} +\sigma_v = 2 a \sigma_a +\end{equation} +График зависимости и его аппроксимация линейной функцией по хи-квадрат показаны на рис. 8. +\begin{figure} +\center{\includegraphics[scale=1]{pictures/Figure_5.png}} +\caption{. \textit{График зависимости} $u(v)$ \textit{и его аппроксимация линейной функцией} } +\end{figure} +Выразим коэффициенты зависимости $u(v)$ теоретически. Из формулы \eqref{eq11} получим: +\[T^2 x_{\text{ц}} = \frac{4\pi^2}{g \psi} a^2 + \frac{\pi^2 l^2}{3\psi g} \Rightarrow u = \frac{4\pi^2}{g\psi}v + \frac{\pi^2 l^2}{3\psi g} = \beta v + \alpha, \ \psi = \left(1 + \frac{m_{\text{пр}}}{m_{\text{ст}}}\right) \] +Обработка методом хи-квадрат даёт: +\[ \beta = (3.739 \pm 0.019) \frac{\text{с}^2}{\text{м}^2} \ ; \ \alpha = (0.3107 \pm 0.0019) \text{м} \cdot \text{с}^2 \ ; \ r \approx 0.99989 \ (\textit{коэф. корреляции})\] +\[\frac{\chi^2}{d.o.f.} \approx 0.21 \] +В итоге получим: +\[ g = \frac{4\pi^2}{\psi \beta} = (9.84 \pm 0.05) \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \ ; \ \varepsilon_g = 5 \cdot 10^{-3}\] +Погрешность $g$, с учётом того, что $\varepsilon_{\psi} \ll \varepsilon_{\beta}$, считалась, как: +\[ \sigma_g = g \varepsilon_{\beta} = g \frac{\sigma_{\beta}}{\beta} \] +\item[\textbf{11}.] Для $a = 40$ см измерим время $\tau_2$, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается в $2$ раза (c $10^{\circ}$ до $5^{\circ}$). Получим: +\[\tau_2 = (290.28 \pm 0.01) \text{ с}\] +\begin{flalign*}\text{Тогда время жизни: }\tau = \frac{\tau_2}{\ln{2}} \approx (418.78 \pm 0.01) \text{ с} \quad (\sigma_{\tau} = \tau \varepsilon_{\tau_2}) &&\end{flalign*} +\begin{flalign*}\text{Добротность: } Q = \pi \frac{\tau}{T(a)} \approx 842 \pm 8 \quad (\sigma_Q = Q \varepsilon_T). \text{ Система высокодобротна.}&&\end{flalign*} +\end{itemize} +\section*{\textbf{3. Вывод}} +\noindent +В ходе работы были проверены формулы для периода физического маятника и теорема Гюйгенса об обратимости точек опоры. Полученные экспериментальные данные хорошо согласуются с теоретическим описанием рассматриваемых явлений. Было исследовано затухание колебаний, найдено время жизни и добротность системы. Также было определено ускорение свободного падения $g$ двумя способами: путём усреднения значений, полученных в каждой серии измерений периода полных $n$ колебаний маятника и путём анализа экспериментальной зависимости периода колебаний от параметров установки. Точность измерений в обоих случаях примерно одинакова ($\sim 0.1 \%$), однако только второй способ дал значение, в пределах погрешности совпадающее с теоретическим $g = 9.81 \text{ м}/\text{с}^2$. Из этого можно сделать вывод, что анализ зависимостей, параметром которых является искомая величина, даёт более точные результаты, чем усреднение значений величины в каждой точке измерения. +\end{document} \ No newline at end of file