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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,7 @@ | ||
| ::: ppsci.probability | ||
| handler: python | ||
| options: | ||
| members: | ||
| - HamiltonianMonteCarlo | ||
| show_root_heading: false | ||
| heading_level: 3 |
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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,309 @@ | ||
| # Bracket | ||
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| <!-- <a href="TODO" class="md-button md-button--primary" style>AI Studio快速体验</a> --> | ||
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| ## 1. 背景简介 | ||
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| 线弹性方程在形变分析中起着核心的作用。在物理和工程领域，形变分析是研究物体在外力作用下的形状和尺寸变化的方法。线弹性方程是描述物体在受力后恢复原状的能力的数学模型。具体来说，线弹性方程通常是指应力和应变之间的关系。应力是一个物理量，用于描述物体内部由于外力而产生的单位面积上的力。应变则描述了物体的形状和尺寸的变化。线弹性方程通常可以表示为应力和应变之间的线性关系，即应力和应变是成比例的。这种关系可以用一个线性方程来表示，其中系数被称为弹性模量（或杨氏模量）。这种模型假设物体在受力后能够完全恢复原状，即没有永久变形。这种假设在许多情况下是合理的，例如在研究金属的力学行为时。然而，对于某些材料（如塑料或橡胶），这种假设可能不准确，因为它们在受力后可能会产生永久变形。线弹性方程只是形变分析中的一部分。要全面理解形变，还需要考虑其他因素，例如物体的初始形状和尺寸、外力的历史、材料的其他物理性质（如热膨胀系数和密度）等。然而，线弹性方程提供了一个基本的框架，用于描述和理解物体在受力后的行为。 | ||
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| 本案例主要研究如下金属连接件在给定载荷下的形变情况，并使用深度学习方法根据线弹性等方程进行求解，连接件如下所示（参考 [Matlab deflection-analysis-of-a-bracket](https://www.mathworks.com/help/pde/ug/deflection-analysis-of-a-bracket.html)）。 | ||
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| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>Bracket 金属件载荷示意图，红色区域表示载荷面</figcaption> | ||
| </figure> | ||
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| ## 2. 问题定义 | ||
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| 上述连接件包括一个垂直于 x 轴的背板和与之连接的垂直于 z 轴的带孔平板。其中背板处于固定状态，带孔平板的最右侧表面（红色区域）受到 z 轴负方向，单位面积大小为 $4 \times 10^4 Pa$ 的应力；除此之外，其他参数包括弹性模量 $E=10^{11} Pa$，泊松比 $\nu=0.3$。通过设置特征长度 $L=1m$，特征位移 $U=0.0001m$，无量纲剪切模量 $0.01\mu$，目标求解该金属件表面每个点的 $u$、$v$、$w$、$\sigma_{xx}$、$\sigma_{yy}$、$\sigma_{zz}$、$\sigma_{xy}$、$\sigma_{xz}$、$\sigma_{yz}$ 共 9 个物理量。常量定义代码如下： | ||
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| ``` py linenums="38" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:38:49 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
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| ## 3. 问题求解 | ||
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| 接下来开始讲解如何将问题一步一步地转化为 PaddleScience 代码，用深度学习的方法求解该问题。 | ||
| 为了快速理解 PaddleScience，接下来仅对模型构建、方程构建、计算域构建等关键步骤进行阐述，而其余细节请参考 [API文档](../api/arch.md)。 | ||
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| ### 3.1 模型构建 | ||
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| 在 bracket 问题中，每一个已知的坐标点 $(x, y, z)$ 都有对应的待求解的未知量：三个方向的应变 $(u, v, w)$ 和应力 $(\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \sigma_{xy}, \sigma_{xz}, \sigma_{yz})$。 | ||
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| 这里考虑到两组物理量对应着不同的方程，因此使用两个模型来分别预测这两组物理量： | ||
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| $$ | ||
| \begin{cases} | ||
| u, v, w = f(x,y,z) \\ | ||
| \sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \sigma_{xy}, \sigma_{xz}, \sigma_{yz} = g(x,y,z) | ||
| \end{cases} | ||
| $$ | ||
|
|
||
| 上式中 $f$ 即为应变模型 `disp_net`，$g$ 为应力模型 `stress_net`，用 PaddleScience 代码表示如下： | ||
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| ``` py linenums="23" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:23:36 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| 为了在计算时，准确快速地访问具体变量的值，在这里指定应变模型的输入变量名是 `("x", "y", "z")`，输出变量名是 `("u", "v", "w")`，这些命名与后续代码保持一致（应力模型同理）。 | ||
|
|
||
| 接着通过指定 MLP 的层数、神经元个数，就实例化出了一个拥有 6 层隐藏神经元，每层神经元数为 512 的神经网络模型 `disp_net`，使用 `silu` 作为激活函数，并使用 `WeightNorm` 权重归一化（应力模型 `stress_net` 同理）。 | ||
|
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| ### 3.2 方程构建 | ||
|
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| Bracket 案例涉及到以下线弹性方程，使用 PaddleScience 内置的 `LinearElasticity` 即可。 | ||
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| $$ | ||
| \begin{cases} | ||
| stress\_disp_{xx} = \lambda(\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z}) + 2\mu \dfrac{\partial u}{\partial x} - \sigma_{xx} \\ | ||
| stress\_disp_{yy} = \lambda(\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z}) + 2\mu \dfrac{\partial v}{\partial y} - \sigma_{yy} \\ | ||
| stress\_disp_{zz} = \lambda(\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z}) + 2\mu \dfrac{\partial w}{\partial z} - \sigma_{zz} \\ | ||
| traction_{x} = n_x \sigma_{xx} + n_y \sigma_{xy} + n_z \sigma_{xz} \\ | ||
| traction_{y} = n_y \sigma_{yx} + n_y \sigma_{yy} + n_z \sigma_{yz} \\ | ||
| traction_{z} = n_z \sigma_{zx} + n_y \sigma_{zy} + n_z \sigma_{zz} \\ | ||
| \end{cases} | ||
| $$ | ||
|
|
||
| ``` py linenums="51" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:51:56 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| ### 3.3 计算域构建 | ||
|
|
||
| 本问题的几何区域由 stl 文件指定，按照下方命令，下载并解压到 `bracket/` 文件夹下。 | ||
|
|
||
| **注：数据集中的 stl 文件和测试集数据均来自 [Bracket - NVIDIA Modulus](https://docs.nvidia.com/deeplearning/modulus/modulus-v2209/user_guide/foundational/linear_elasticity.html#linear-elasticity-in-the-differential-form)**。 | ||
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|
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| ``` sh | ||
| # linux | ||
| wget https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/datasets/bracket/bracket_dataset.tar | ||
|
|
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| # windows | ||
| # curl https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/datasets/bracket/bracket_dataset.tar --output bracket_dataset.tar | ||
|
|
||
| # unzip it | ||
| tar -xvf bracket_dataset.tar | ||
| ``` | ||
|
|
||
| 解压完毕之后，`bracket/stl` 文件夹下即存放了计算域构建所需的 stl 几何文件。 | ||
|
|
||
| ???+ warning "注意" | ||
|
|
||
| **使用 `Mesh` 类之前，必须先按照[1.4.3 额外依赖安装[可选]](https://paddlescience-docs.readthedocs.io/zh/latest/zh/install_setup/#143)文档，安装好 open3d、pysdf、PyMesh 3 个几何依赖包。** | ||
|
|
||
| 然后通过 PaddleScience 内置的 STL 几何类 `Mesh` 来读取、解析这些几何文件，并且通过布尔运算，组合出各个计算域，代码如下： | ||
|
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| ``` py linenums="58" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:58:71 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
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| ### 3.4 约束构建 | ||
|
|
||
| 本案例共涉及到 5 个约束，在具体约束构建之前，可以先构建数据读取配置，以便后续构建多个约束时复用该配置。 | ||
|
|
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| ``` py linenums="73" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:73:84 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| #### 3.4.1 内部点约束 | ||
|
|
||
| 以作用在背板内部点的 `InteriorConstraint` 为例，代码如下： | ||
|
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| ``` py linenums="127" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:127:163 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| `InteriorConstraint` 的第一个参数是方程（组）表达式，用于描述如何计算约束目标，此处填入在 [3.2 方程构建](#32) 章节中实例化好的 `equation["LinearElasticity"].equations`； | ||
|
|
||
| 第二个参数是约束变量的目标值，在本问题中希望与 LinearElasticity 方程相关的 9 个值 `equilibrium_x`, `equilibrium_y`, `equilibrium_z`, `stress_disp_xx`, `stress_disp_yy`, `stress_disp_zz`, `stress_disp_xy`, `stress_disp_xz`, `stress_disp_yz` 均被优化至 0； | ||
|
|
||
| 第三个参数是约束方程作用的计算域，此处填入在 [3.3 计算域构建](#33) 章节实例化好的 `geom["geo"]` 即可； | ||
|
|
||
| 第四个参数是在计算域上的采样配置，此处设置 `batch_size` 为 `2048`。 | ||
|
|
||
| 第五个参数是损失函数，此处选用常用的 MSE 函数，且 `reduction` 设置为 `"sum"`，即会将参与计算的所有数据点产生的损失项求和； | ||
|
|
||
| 第六个参数是几何点筛选，由于这个约束只施加在背板区域，因此需要对 geo 上采样出的点进行筛选，此处传入一个 lambda 筛选函数即可，其接受点集构成的张量 `x, y, z`，返回布尔值张亮，表示每个点是否符合筛选条件，不符合为 `False`，符合为 `True`； | ||
|
|
||
| 第七个参数是每个点参与损失计算时的权重，此处我们使用 `"sdf"` 表示使用每个点到边界的最短距离（符号距离函数值）来作为权重，这种 sdf 加权的方法可以加大远离边界（难样本）点的权重，减少靠近边界的（简单样本）点的权重，有利于提升模型的精度和收敛速度。 | ||
|
|
||
| 第八个参数是约束条件的名字，需要给每一个约束条件命名，方便后续对其索引。此处命名为 "support_interior" 即可。 | ||
|
|
||
| 另一个作用在带孔平板上的约束条件则与之类似，代码如下： | ||
|
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| ``` py linenums="164" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:164:200 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| #### 3.4.2 边界约束 | ||
|
|
||
| 对于背板后表面，由于被固定，所以其上的点在三个方向的应变均为 0，因此有如下的边界约束条件： | ||
|
|
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| ``` py linenums="97" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:97:106 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| 对于带孔平板右侧长方形载荷面，其上的每个点只受 z 正方向的应力，大小为 $T$，其余方向应力为 0，有如下边界条件约束： | ||
|
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| ``` py linenums="107" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:107:115 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| 对于除背板后面、带孔平板右侧长方形载荷面外的表面，不受任何应力，即三个方向的应力为 0，有如下边界条件约束： | ||
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| ``` py linenums="116" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:116:126 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| 在方程约束、边界约束构建完毕之后，以刚才的命名为关键字，封装到一个字典中，方便后续访问。 | ||
|
|
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| ``` py linenums="201" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:201:208 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
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| ### 3.5 超参数设定 | ||
|
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| 接下来需要指定训练轮数和学习率，此处按实验经验，使用 2000 轮训练轮数。 | ||
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|
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| ``` py linenums="210" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:210:211 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| ### 3.6 优化器构建 | ||
|
|
||
| 训练过程会调用优化器来更新模型参数，此处选择较为常用的 `Adam` 优化器，并配合使用机器学习中常用的 ExponentialDecay 学习率调整策略。 | ||
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|
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| ``` py linenums="213" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:213:222 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| ### 3.7 评估器构建 | ||
|
|
||
| 在训练过程中通常会按一定轮数间隔，用验证集（测试集）评估当前模型的训练情况，而验证集的数据来自外部 txt 文件，因此首先使用 `ppsci.utils.reader` 模块从 txt 文件中读取验证点集： | ||
|
|
||
| ``` py linenums="224" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:224:285 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| 然后将其转换为字典并进行无量纲化和归一化，再将其包装成字典和 `eval_dataloader_cfg`（验证集dataloader配置，构造方式与 `train_dataloader_cfg` 类似）一起传递给 `ppsci.validate.SupervisedValidator` 构造评估器。 | ||
|
|
||
| ``` py linenums="287" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:287:332 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| ### 3.8 可视化器构建 | ||
|
|
||
| 在模型评估时，如果评估结果是可以可视化的数据，可以选择合适的可视化器来对输出结果进行可视化。 | ||
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|
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| 本文中的输入数据是评估器构建中准备好的输入字典 `input_dict`，输出数据是对应的 9 个预测的物理量，因此只需要将评估的输出数据保存成 **vtu格式** 文件，最后用可视化软件打开查看即可。代码如下： | ||
|
|
||
| ``` py linenums="334" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:334:351 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| ### 3.9 模型训练、评估与可视化 | ||
|
|
||
| 完成上述设置之后，只需要将上述实例化的对象按顺序传递给 `ppsci.solver.Solver`，然后启动训练、评估、可视化。 | ||
|
|
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| ``` py linenums="353" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py:353:379 | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
|
|
||
| ## 4. 完整代码 | ||
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| ``` py linenums="1" title="bracket.py" | ||
| --8<-- | ||
| examples/bracket/bracket.py | ||
| --8<-- | ||
| ``` | ||
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||
| ## 5. 结果展示 | ||
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||
| 下面展示了在测试点集上，3 个方向的应变 $u, v, w$ 以及 6 个应力 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \sigma_{xy}, \sigma_{xz}, \sigma_{yz}$ 的模型预测结果、传统算法求解结果以及两者的差值。 | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应变 u；中间表示传统算法求解的应变 u；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应变 v；中间表示传统算法求解的应变 v；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应变 w；中间表示传统算法求解的应变 w；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应力 sigma_xx；中间表示传统算法求解的应力 sigma_xx；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应力 sigma_xy；中间表示传统算法求解的应力 sigma_xy；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应力 sigma_xz；中间表示传统算法求解的应力 sigma_xz；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应力 sigma_yy；中间表示传统算法求解的应力 sigma_yy；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应力sigma_yz；中间表示传统算法求解的应力sigma_yz；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| <figure markdown> | ||
| { loading=lazy } | ||
| <figcaption>左侧为金属件表面预测的应力sigma_zz；中间表示传统算法求解的应力sigma_zz；右侧表示两者差值</figcaption> | ||
| </figure> | ||
|
|
||
| 可以看到模型预测的结果与 传统算法求解结果基本一致。 | ||
|
|
||
| ## 6. 参考资料 | ||
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|
||
| - [Bracket - NVIDIA Modulus](https://docs.nvidia.com/deeplearning/modulus/modulus-v2209/user_guide/foundational/linear_elasticity.html) | ||
| - [Scaling of Differential Equations](https://hplgit.github.io/scaling-book/doc/pub/book/html/sphinx-cbc/index.html) | ||
| - [Matlab PDE toolbox](https://www.mathworks.com/help/pde/ug/deflection-analysis-of-a-bracket.html) |
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