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<meta charset="utf-8">
<title>RSA-DES加密算法</title>
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</head>
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<div class="col-md-10 column">
<div class="page-header">
<h1 align="center">RSA-DES加密算法</h1>
</div>
<h3><u>使用说明</u></h3>
<dl>
<ul>
<li><p>
<h4><dt>实现功能</dt></h4>
<ul>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 使用RSA加密DES密钥</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 使用DES加密数据文本</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 依照CBC模式对分组明文加密</li></dd>
</ul>
</p></li>
<li><p>
<h4><dt>使用方法</dt></h4>
<ul>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 可点击'生成密钥对'按钮，生成合法的RSA密钥</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 点击'RSA加密'，可对密钥进行加密</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 可通过选择文件导入或直接在文本框中输入明文</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 输入64位密钥以及CBC模式中使用的初始向量IV</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 点击‘DES加密’按钮可对明文与初始向量IV加密，点击‘下载密文文本’按钮可下载密文到本地</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 解密操作同上</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 可点击‘检验DES’按钮检验DES算法正确性，即检验加解密后明文是否相同，点击'检验RSA'按钮可检验RSA算法正确性</li></dd>
</ul>
</p></li>
<li><p>
<h4><dt>注意事项</dt></h4>
<ul>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 所有输入字符串均为01字符串，密钥及初始向量应为64位</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 对于长度不是64位的明文串，会自动在最后填0将长度补至64的倍数</li></dd>
<dd style="font-family:Microsoft YaHei"><li> 若使用自行生成的RSA密钥对，请点击'检验密钥对'按钮，保证通过检验</li></dd>
</ul>
</p></li>
</ul>
</dl>
<div style="height:10px"></div>
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<!-- RSA -->
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<a class="panel-title" href="#panel-element-49010" data-toggle="collapse" data-parent="#panel-48590">密钥加密——RSA</a>
</div>
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<!-- /. DES -->
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<label for="clearField">模数n</label>
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<label for="clearField">公钥e=65537</label>
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<label for="clearField">密钥d</label>
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<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="generate_RSAkeys();">生成密钥对</button>
<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="check_keys();">检验密钥对</button>
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<a class="panel-title" href="#panel-element-49020" data-toggle="collapse" data-parent="#panel-48590">传输文本加密 —— DES</a>
</div>
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<!-- /. DES -->
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<label for="clearField">明文:数据内容</label>
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<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="en_RSA();">RSA加密</button>
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<label for="clearField">初始向量IV</label>
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<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="show_cipher();">DES加密</button>
<a class="btn btn-success" id="test" href="#" onclick="clickDownloadcipher(this)" download="cipherfile.txt" >下载密文文本</a>
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<label for="clearField">密文:加密结果</label>
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<label for="clearField">初始向量IV:加密结果</label>
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<a class="panel-title collapsed" href="#panel-element-253081" data-toggle="collapse" data-parent="#panel-48590">传输文本解密 —— DES</a>
</div>
<div class="panel-collapse collapse" id="panel-element-253081">
<div class="panel-body">
<!-- /. DES -->
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<div class="col-md-12">
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<label for="cipherField">密文:数据加密内容</label>
<input id="cipherfile" type="file" style="display:none">
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<input id="photoCover-c" type="text" style="height:30px;">
<a class="btn btn-success" onclick="$('input[id=cipherfile]').click();">浏览</a>
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<label for="clearField">密钥（RSA解密前）</label>
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<label for="clearField">密钥</label>
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<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="de_RSA();">RSA解密</button>
<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="checkRSA();">检验RSA</button>
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<div class="form-group">
<label for="clearField">初始向量IV:加密结果</label>
<textarea class="form-control" id="de_after_IV"></textarea>
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<div class="col-md-12">
<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="show_decipher();">DES解密</button>
<button class="btn btn-success" rows="2" type="button" onclick="checkDES();">检验DES</button>
<a class="btn btn-success" id="test" href="#" onclick="clickDownloadclear(this)" download="plaintext.txt" >下载明文文本</a>
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<div class="form-group">
<label for="clearField">明文:解密结果</label>
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<div class="col-md-12">
<div class="form-group">
<label for="clearField">初始向量IV:解密结果</label>
<div style="height:5px"></div>
<textarea class="form-control" id="de_IV"></textarea>
</div>
</div>
<!-- /.col-md-12-->
</div>
<!-- /.panel body-->
</div>
<!-- end of panel-body-->
</div>
<!-- end of panel-collapse-->
</div>
<!-- end of panel-default -->
</div>
<!-- end of panel-group -->
<script>
window.onload=function(){
var mf=document.getElementById("clearfile");
var cf=document.getElementById("cipherfile");
mf.onchange=function(){
var f1=new FileReader;
f1.onload=function(){
var x=document.getElementById("en_plaintext");
x.value=this.result;
};
f1.readAsBinaryString(mf.files[0]);
};
cf.onchange=function(){
var f3=new FileReader;
f3.onload=function(){
var x=document.getElementById("de_ciphertext");
x.value=this.result;
};
f3.readAsBinaryString(cf.files[0]);
};
};
function clickDownloadcipher(aLink) {
str = document.getElementById("en_ciphertext").value;
aLink.href = "data:text/txt;charset=utf-8,"+str;
}
function clickDownloadclear(aLink) {
str = document.getElementById("de_plaintext").value;
aLink.href = "data:text/txt;charset=utf-8,"+str;
}
</script>
<script type="text/javascript">
$('input[id=clearfile]').change(function() {
$('#photoCover-m').val($(this).val());
});
$('input[id=cipherfile]').change(function() {
$('#photoCover-c').val($(this).val());
});
function checkDES(){
var x = document.getElementById("en_plaintext").value;
x = x.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(x, '加密前明文')) return;
var y = document.getElementById("de_plaintext").value;
if (!check(y, '解密后明文')) return;
y = y.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (x == "")
alert("加密过程明文不能为空！");
else if (y == "")
alert("解密后明文不能为空！");
else if(x == y)
alert("DES算法正确!");
else
alert("DES算法不正确!");
}
function show_cipher() {
var plaintext = document.getElementById("en_plaintext").value;
plaintext = plaintext.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (check(plaintext, '明文')) plaintext = toarray(plaintext);
else return;
var key = document.getElementById("en_key").value;
key = key.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (check(key, '密钥', true)) key = toarray(key);
else return;
var IV = document.getElementById("en_IV").value;
IV = IV.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (check(IV, '初始向量IV', true)) IV = toarray(IV);
else return;
for (; plaintext.length%64 != 0;) plaintext.push(0);
keys = key_generator(key);
var ciphertext = CBC(plaintext, IV, keys).join('');
var cipher_IV = DES(IV, keys).join('');
document.getElementById("en_ciphertext").value = ciphertext;
document.getElementById("en_after_IV").value = cipher_IV;
}
function show_decipher() {
var ciphertext = document.getElementById("de_ciphertext").value;
ciphertext = ciphertext.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (check(ciphertext, '密文')) ciphertext = toarray(ciphertext);
else return;
var key = document.getElementById("de_key").value;
key = key.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (check(key, '密钥', true)) key = toarray(key);
else return;
var IV = document.getElementById("de_after_IV").value;
IV = IV.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (check(IV, '初始向量IV', true)) IV = toarray(IV);
else return;
keys = key_generator(key).reverse();
var de_IV = DES(IV, keys).join('');
var plaintext = CBC(ciphertext, de_IV, keys, true).join('');
document.getElementById("de_plaintext").value = plaintext;
document.getElementById("de_IV").value = de_IV;
}
</script>
<script>
function generate_RSAkeys() {
keys = generate_PQ(128);
while (keys === false) {
keys = generate_PQ(128);
}
document.getElementById("P").value = biToString(keys[0], 2);
document.getElementById("Q").value = biToString(keys[1], 2);
document.getElementById("n").value = biToString(keys[2], 2);
document.getElementById("d").value = biToString(keys[3], 2);
}
function check_RSA() {
var n = document.getElementById("n").value;
n = n.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(n, 'n', false)) return false;
if (n.length != 128) {
alert("n长度应为128！");
return false;
}
n = biFromString(n,2);
var P = document.getElementById("P").value;
P = P.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(P, 'P', false)) return false;
P = biFromString(P, 2);
var Q = document.getElementById("Q").value;
Q = Q.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(Q, 'Q', false)) return false;
Q = biFromString(Q, 2);
var d = document.getElementById("d").value;
d = d.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(d, 'd', false)) return false;
d = biFromString(d, 2);
if (!is_prime(P)) {
alert("P应为素数！");
return false;
}
if (!is_prime(Q)) {
alert("Q应为素数！");
return false;
}
if (biCompare(biMultiply(P, Q), n) != 0) {
alert("n应等于P×Q！");
return false;
}
var m = biMultiply(biSubtract(P, bigOne), biSubtract(Q, bigOne));
if (biCompare(biMultiplyMod(d, e, m), bigOne) != 0) {
alert("d×e模(P-1)(Q-1)应等于1！");
return false;
}
return true;
}
function checkRSA(){
var x = document.getElementById("en_key").value;
x = x.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(x, '加密前密钥')) return;
var y = document.getElementById("de_key").value;
if (!check(y, '解密后密钥')) return;
y = y.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (x == "")
alert("加密前密钥不能为空！");
else if (y == "")
alert("解密后密钥不能为空！");
else if(x == y)
alert("RSA算法正确!");
else
alert("RSA算法不正确!");
}
function check_keys() {
if (check_RSA()) alert("RSA密钥正确！");
}
function en_RSA() {
if (!check_RSA()) return;
var plaintext = document.getElementById("en_key").value;
plaintext = plaintext.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(plaintext, '密钥', true)) return;
plaintext = biFromString(plaintext, 2);
var n = biFromString(document.getElementById("n").value, 2);
var ciphertext = encrypt(plaintext, n);
document.getElementById("en_cikey").value = biToString(ciphertext, 2);
}
function repeat(src, n) {
if (n < 0) return "";
return (new Array(n + 1)).join(src);
}
function de_RSA() {
if (!check_RSA()) return;
var ciphertext = document.getElementById("de_cikey").value;
ciphertext = ciphertext.replace(/[\r\n]|\ +/g,"");
if (!check(ciphertext, '密钥（解密前）')) return;
ciphertext = biFromString(ciphertext, 2);
var n = biFromString(document.getElementById("n").value, 2);
var P = biFromString(document.getElementById("P").value, 2);
var Q = biFromString(document.getElementById("Q").value, 2);
var d = biFromString(document.getElementById("d").value, 2);
var plaintext = biToString(decrypt(ciphertext, d, P, Q, n), 2);
plaintext = repeat("0", 64 - plaintext.length) + plaintext;
document.getElementById("de_key").value = plaintext;
}
</script>
<h3><u>DES算法思路</u></h3>
<p>将明文分组，每组64比特使用DES算法加密，之后通过CBC模式进行分组加密，实现明文在组间的扩散。为表示方便，统一规定最左侧为第0位。</p>
<dl>
<ul>
<li><h4><b>密钥生成</b></h4>
<p>DES算法的密钥生成输入为64位主密钥，其中有8位作为奇偶校验位，输出为16个48位子密钥。</p>
<div align="center">
<img src="asset/DES_KiGenerate.png" width="50%" alt="DES算法子密钥的生成算法">
<p align="center">DES算法子密钥的生成算法</p>
</div>
<ol>
<li>
<p class="formula">首先将输入的64比特密钥分成8组，每组8位，其中每组最后一位是作为奇偶校验位，即64比特密钥中的第8,16,24,32,40,48,56,64位是奇偶校验位，有效密钥位实际只有56位，对这56位进行坐标置换，其变换矩阵为\(IPC\)：
$$
\begin{pmatrix}
56 &48 &40 &32 &24 &16 & 8 & 0 &57 &49 &41 &33 &25 &17 & 9 & 1 \\
58 &50 &42 &34 &26 &18 &10 & 2 &59 &51 &43 &35 &62 &54 &46 &38 \\
30 &22 &14 &6 &61 &53 &45 &37 &29 &21 &13 &5 &60 &52 &44 &36 \\
28 &20 &12 &4 &27 &19 &11 &3 \\
\end{pmatrix}
$$
<b>注：</b>此处虽为表示方便写成矩阵形式，但其本质为置换，即置换后第\(i\)个元素对应原序列的第\(IPC[i]\)个元素。
</p>
</li>
<li>
<p class="formula">
将输出的56比特按高28比特、低28比特分成两个28比特的序列\(C_0\)和\(D_0\)， 即：
$$
(C_0，D_0）＝IPC(KEY)
$$
</p>
</li>
<li>
<p class="formula">
将\(C_i\)和\(D_i\)分别循环左移，位数由矩阵\(LS\)决定：
$$
\begin{pmatrix}
1 &1 &2 &2 &2 &2 &2 &2 &1 &2 &2 &2 &2 &2 &2 &1 \\
\end{pmatrix}
$$
</p>
</li>
<li>
<p class="formula">
将循环左移的结果再次合并成一个56比特的矩阵作为下标置换\(PC\)的输入，其输出即为相应的子密钥。
$$
\begin{pmatrix}
13 &16 &10 &23 &0 &4 &2 &27 &14 & 5 &20 & 9 &22 &18 &11 & 3 \\
25 &7 &15 &6 &26 &19 &12 &1 &40 &51 &30 &36 &46 &54 &29 &39 \\
50 &44 &32 &47 &43 &48 &38 &55 &33 &52 &45 &41 &49 &35 &28 &31 \\
\end{pmatrix}
$$
</p>
</li>
</ol>
</li>
<li><h4><b>加密方法</b></h4>
<p>DES算法主要包括：初始置换\(IP\)、16轮迭代的乘积变换、逆初始变换\(IP^{-1}\)</p>
<div align="center">
<img src="asset/DES_main.jpg" alt="DES算法主流程">
<p align="center">DES算法主流程</p>
</div>
<ol>
<li>
<p>
首先将输入的64比特作一下标置换变换，其变换矩阵\(IP\)为：
$$
\begin{pmatrix}
&57 &49 &41 &33 &25 &17 &9 &1 &59 &51 &43 &35 &27 &19 &11 &3\\
&61 &53 &45 &37 &29 &21 &13 &5 &63 &55 &47 &39 &31 &23 &15 &7\\
&56 &48 &40 &32 &24 &16 &8 &0 &58 &50 &42 &34 &26 &18 &10 &2\\
&60 &52 &44 &36 &28 &20 &12 &4 &62 &54 &46 &38 &30 &22 &14 &6\\
\end{pmatrix}
$$
</p>
</li>
<li>
<p>
将输出的64比特按高32比特、低32比特分成两个32比特的矩阵，即：
$$
(L_0，R_0)＝IP(I)
$$
</p>
</li>
<li>
<p>
进行16次迭代，规则如下：
\begin{equation}\begin{split}
&L_i=R_{i-1} \\
&R_i=L_{i-1}\oplus f(R_{i-1},K_{i-1})
\end{split}\end{equation}
</p>
</li>
<li>
<p>
将经过16此迭代的数据再进行一次下标置换变换，其变换矩阵\(IP^{-1}\)为：
$$
\begin{pmatrix}
39& 7& 47& 15& 55& 23& 63& 31& 38& 6& 46& 14& 54& 22& 62& 30 \\
37& 5& 45& 13& 53& 21& 61& 29& 36& 4& 44& 12& 52& 20& 60& 28 \\
35& 3& 43& 11& 51& 19& 59& 27& 34& 2& 42& 10& 50& 18& 58& 26 \\
33& 1& 41& 9& 49& 17& 57& 25& 32& 0& 40& 8& 48& 16& 56& 24 \\
\end{pmatrix}
$$
</p>
</li>
</ol>
<h4><b>轮函数f的构造</b></h4>
<ol>
<li>
<p>首先进行选择扩展运算，将输入的32比特作下标置换变换，得到一个48比特的矩阵，其变换矩阵\(E\)为：
$$
\begin{pmatrix}
31& 0& 1& 2& 3& 4& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 7& 8& 9& 10\\
11& 12& 11& 12& 13& 14& 15& 16& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 19& 20\\
21& 22& 23& 24& 23& 24& 25& 26& 27& 28& 27& 28& 29& 30& 31& 0\\
\end{pmatrix}
$$
</p>
</li>
<li>
<p>然后,将得到的48比特数据和相应的子密钥进行异或运算。
</p>
</li>
<li>
<p>把运算后得到的48比特分成八个6比特的矩阵进行选择压缩变换——即S盒变换，其八个S盒如下所示：
\begin{equation}\begin{split}
&S_0=
\begin{pmatrix}
14& 4 &13& 1& 2& 15& 11& 8& 3& 10& 6& 12& 5& 9& 0& 7\\
0 &15 &7 & 4& 14& 2& 13& 1& 10& 6& 12& 11& 9& 5& 3& 8\\
4 &1 &14 &8& 13& 6& 2& 11& 15& 12& 9& 7& 3& 10& 5& 0\\
15 &12& 8& 2& 4& 9& 1& 7& 5& 11& 3& 14& 10& 0& 6& 13\\
\end{pmatrix}\\
&S_1=\begin{pmatrix}
15& 1& 8& 14& 6& 11& 3& 4& 9& 7& 2& 13& 12& 0& 5& 10\\
3& 13& 4& 7& 15& 2& 8& 14& 12& 0& 1& 10& 6& 9& 11& 5\\
0& 14& 7& 11& 10& 4& 13& 1& 5& 8& 12& 6& 9& 3& 2& 15\\
13& 8& 10& 1& 3& 15& 4& 2& 11& 6& 7& 12& 0& 5& 14& 9\\
\end{pmatrix}\\
&S_2=\begin{pmatrix}
10& 0& 9& 14& 6& 3& 15& 5& 1& 13& 12& 7& 11& 4& 2& 8\\
13& 7& 0& 9& 3& 4& 6& 10& 2& 8& 5& 14& 12& 11& 15& 1\\
13& 6& 4& 9& 8& 15& 3& 0& 11& 1& 2& 12& 5& 10& 14& 7\\
1& 10& 13& 0& 6& 9& 8& 7& 4& 15& 14& 3& 11& 5& 2& 12\\
\end{pmatrix}\\
&S_3=\begin{pmatrix}
7& 13& 14& 3& 0& 6& 9& 10& 1& 2& 8& 5& 11& 12& 4& 15\\
13& 8& 11& 5& 6& 15& 0& 3& 4& 7& 2& 12& 1& 10& 14& 9\\
10& 6& 9& 0& 12& 11& 7& 13& 15& 1& 3& 14& 5& 2& 8& 4\\
3& 15& 0& 6& 10& 1& 13& 8& 9& 4& 5& 11& 12& 7& 2& 14\\
\end{pmatrix}\\
&S_4=\begin{pmatrix}
2& 12& 4& 1& 7& 10& 11& 6& 8& 5& 3& 15& 13& 0& 14& 9\\
14& 11& 2& 12& 4& 7& 13& 1& 5& 0& 15& 10& 3& 9& 8& 6\\
4& 2& 1& 11& 10& 13& 7& 8& 15& 9& 12& 5& 6& 3& 0& 14\\
11& 8& 12& 7& 1& 14& 2& 13& 6& 15& 0& 9& 10& 4& 5& 3\\
\end{pmatrix}\\
&S_5=\begin{pmatrix}
12& 1& 10& 15& 9& 2& 6& 8& 0& 13& 3& 4& 14& 7& 5& 11\\
10& 15& 4& 2& 7& 12& 9& 5& 6& 1& 13& 14& 0& 11& 3& 8\\
9& 14& 15& 5& 2& 8& 12& 3& 7& 0& 4& 10& 1& 13& 11& 6\\
4& 3& 2& 12& 9& 5& 15& 10& 11& 14& 1& 7& 6& 0& 8& 13\\
\end{pmatrix}\\
&S_6=\begin{pmatrix}
4& 11& 2& 14& 15& 0& 8& 13& 3& 12& 9& 7& 5& 10& 6& 1\\
13& 0& 11& 7& 4& 9& 1& 10& 14& 3& 5& 12& 2& 15& 8& 6\\
1& 4& 11& 13& 12& 3& 7& 14& 10& 15& 6& 8& 0& 5& 9& 2\\
6& 11& 13& 8& 1& 4& 10& 7& 9& 5& 0& 15& 14& 2& 3& 12\\
\end{pmatrix}\\
&S_7=\begin{pmatrix}
13& 2& 8& 4& 6& 15& 11& 1& 10& 9& 3& 14& 5& 0& 12& 7\\
1 &15& 13& 8& 10& 3& 7& 4& 12& 5& 6& 11& 0& 14& 9& 2\\
7 &11& 4& 1& 9& 12& 14& 2& 0& 6& 10& 13& 15& 3& 5& 8\\
2 &1& 14& 7& 4& 10& 8& 13& 15& 12& 9& 0& 3& 5& 6& 11\\
\end{pmatrix}\\
\end{split}\end{equation}
</p>
<b>S盒的运算方式：</b>对于数\((x_0x_1x_2x_3x_4x_5)\)，查找S盒第\((x_0x_5)\)行和第\((x_1x_2x_3x_4)\)列的十进制数，转换为4位二进制数。
</li>
<li>
<p>在完成S盒的操作后，再把S盒的输出重新组合成一个32比特的矩阵，并进行一次坐标置换，置换\(P\)为：
$$
\begin{pmatrix}
15& 6 &19& 20& 28& 11& 27& 16& 0& 14& 22& 25& 4& 17& 30& 9\\
1 & 7& 23& 13& 31& 26& 2& 8& 18& 12& 29& 5& 21& 10& 3& 24\\
\end{pmatrix}
$$
</p>
</li>
</ol>
</li>
<li><h4><b>分组密码CBC模式</b></h4>
<p>每个明文组\(X[i]\)在加密之前先与前一组的密文\(Y[i-1]\)按位模2相加得到\(X'[i]\)后再进行加密。由于第一组明文\(X[1]\)加密时无反馈密文，通常预制一初始向量IV与\(X[1]\)进行按位模2相加，再进行加密运算，而IV则可作为秘密参数(每次通信都可变)，直接使用同一密钥加密后传送给收方。</p>
</li>
</ul>
</dl>
<h3><u>RSA算法思路</u></h3>
<p>这里我们使用RSA算法对DES使用的主密钥进行加密。本算法实现时使用了高精度库BigInt.js。</p>
<dl>
<ul>
<li><h4><b>加解密方法</b></h4>
<ol>
<li>
<p>首先,由用户随机选择两个大素数\(p\)和\(q\)，并求\(n=pq\)，以及欧拉函数\(\phi(n)=(p-1)(q-1)\)</p>
<p>之后,随机选择整数\(d\)，使得满足\((d, \phi(n))=1\)</p>
<p>最后，从\(p,q,d\)按下式求出整数\(e\): \(ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}\)</p>
<p>随后把\(n\)和\(e\)公开，\(d\)则由用户保存，而其他信息也应保密或毁掉</p>
</li>
<li>
<p>当用户A要向用户B发送明文m时，就利用B的公钥\(n\)和\(e\)加密明文\(m\): \(c = m^e \mod n\)</p>
</li>
<li>
<p>当用户B收到用户A发送来的密文\(c\)时，可通过解密密钥\(d\)来求得明文\(m\): \(m = c^d \mod n\)</p>
</li>
</ol>
<p><b>注：因为对大整数\(n\)进行质因数分解是困难的，所以难以求得\(p\)与\(q\)，因此也难以求得\(e\)在\(\phi(n)\)下的逆元。</b></p>
</li>
<li><h4><b>密钥生成</b></h4>
<ol>
<li>
<p>使用Miller-Rabin算法对奇整数\(n\)进行素性检测。算法如下：</p>
<ol type="i">
<li>令\(n-1=2^km\)，\(m\)是奇数</li>
<li>选择随机整数\(a(1\le a < n)\)</li>
<li>计算\(b=a^m\mod n\)</li>
<li>如果\(b\equiv 1\mod n\)，则回答\(n\)是素数，并停止工作</li>
<li><p>令\(i=0,1,...,k-1\):</p>
<p>若\(b\equiv -1\mod n\)，则回答\(n\)是素数，并停止工作；否则，计算\(b=b^2\mod n\)</p></li>
<li>回答\(n\)是合数</li>
</ol>
<p>可先使用小素数对\(n\)进行试除，后进行100次Miller-Rabin测试，若均通过，则认为\(n\)是素数</p>
</li>
<li>
<p>随机选择一个整数\(p\)，则\(p\)是素数的概率为\(1/\ln p\)，所以适当长度的若干个随机奇整数中有一个是素数。</p>
</li>
</ol>
</li>
<li><h4><b>加速方法</b></h4>
<p>由于加密时需要求\(m^e\)，虽然可以使用快速幂进行加速，但是仍比较慢，这里可采用一种加速方法。</p>
<ol>
<li>先取一个较小的公钥\(e\)，一般可取\(e=65537\)，注意保证\(e\)与\(\phi(n)\)互质</li>
<li>解密时，分别计算
\begin{equation*}\begin{split}
&c_1\equiv c \pmod{p} \\
&c_2\equiv c \pmod{q} \\
&d_1\equiv d \pmod{p-1}\\
&d_2\equiv d \pmod{q-1}
\end{split}\end{equation*}
</li>
<li>计算
\begin{equation*}\begin{split}
&m_1\equiv c^{d_1} \pmod{p}\\
&m_2\equiv c^{d_2} \pmod{q}
\end{split}\end{equation*}
再由中国剩余定理求出明文\(m\)。
</li>
</ol>
</li>
</ul>
</dl>
</div>
<!-- end of col-md-12 column -->
</div>
<!-- end of row clearfix -->
</div>
</body>
</html>