Skip to content

Latest commit

 

History

History
508 lines (295 loc) · 8.3 KB

📄NI-MPI Přednáška 01.md

File metadata and controls

508 lines (295 loc) · 8.3 KB
created up
2024-10-11 02:42:36 -0700
[[📖NI-MPI]]

TARGET DECK: NI-MPI FILE TAGS: NI-MPI prednaska01 status-toReview analyza1

START Basic

Definice: Norma

Back:

![[Pasted image 20240923125214.png]]

Norma každému bodu přiřadí vzdálenost od počátku souřadnic.

END

START Basic

Jak se pomocí normy spočte vzdálenost dvou vektorů (bodů)?

Back:

$$d(x,y)=||x-y||$$

![[Pasted image 20240923132042.png]]

Důkaz:

  1. Plyne z (1) věty o normě
  2. Plyne z (2) věty o normě
  3. $$d(x,z) = ||x-z||=||(x-y)(y-z)||\leq ||x-y||+||y-z||=d(x,y)+d(y,z)$$ END

START Basic

Jak se dá spočítat norma?

Back: Pro $\textbf{x} = (x_1, x_2, \dots x_n) \in \mathbb{R}^n$ nebo ($\mathbb{C}^n$) $$||\textbf{x}||p=\sqrt[p]{\sum{i=1}^n |x_i|^p}$$

![[Pasted image 20240923132932.png]]

Vysvětlení součtový normy:

  • Prostě jako kdybych se ve městě se silnicemi jako je mřížka snažil dostat z jednoho bodu do druhého. Nemůžu diagonálně, tak prostě sečtu jednotlivé hrany.

Maximová norma - každý vektor má maximální souřadici 1

END

START Basic

Definice: Eukleidovská norma

Back:

$$||\textbf{x}||2=\sqrt[2]{\sum{i=1}^n |x_i|^2}$$ ![[Pasted image 20240923133757.png]]

END

START Basic

Definice: $\delta-$okolí bodu

Back:

![[Pasted image 20240923125350.png]] ![[Pasted image 20240923133817.png]]

Prostě "koule" kolem bodu

END

START Basic

Definice: Hromadný bod

Back:

![[Pasted image 20240923125332.png]]

Jinými slovy: Ať vezmu libovolně malinký okolí kolem bodu $x$ (bez $x$), vždy v tom okolí najdu nějaké body z té množiny $M$.

Např. hromadný bod bod na "kraji" množiny je hromadný bod, protože část jeho okolí bude v té množině.

Např. bod co není hromadný Pokud ten bod je mimo množinu, tak nemůže být hromadným bodem, protože můžu najít malinkatý okolí, pro které to neplatí (tzn. průnik toho okolí s tou množinou M je prázdný).

END

START Basic

Definice: Posloupnost má limitu, pokud ...

Back:

![[Pasted image 20240923125438.png]]

END

START Basic

Definice: funkce více reálných proměnných

Back:

![[Pasted image 20240923125515.png]]

Každému vektoru přiřadí nějaké číslo.

Např. $\mathbb{R}^2$ model terénu mám 2D plochu a každému bodu přiřadím výšku

Např. $\mathbb{R}^3$ model místnosti, kde každému bodu je přiřazena teplota v tom bodě

END

START Basic

Definice: Graf funkce

Back:

![[Pasted image 20240923125538.png]]

Např. mám 2D plochu a každému bodu, chci každému přiřadit hodnotu -> vznikne mi z toho 3D graf

END

START Basic

Definice: limita funkce více proměnných

Back:

![[Pasted image 20240923125601.png]]

Je to hormadný bod, protože kdyby byl izolovaný, tak by vůbec nemělo smysl se o tom bavit - nebylo by "z čeho" udělat tu limitu.

END

START Basic

Věta: Funkce $f$ má v hromadném bodě $\textbf{b}$ množiny $D_f$ limitu $L$ $\Leftrightarrow$

(v praxi to asi nebude potřeba)

Back:

![[Pasted image 20240923125855.png]]

END

START Basic

Definice: spojitá funkce v bodě

Back:

![[Pasted image 20240923125929.png]]

Jako když mám plachtu a jeden bod by byl o 5 metrů nad ní a nebyl by na plachtě, nebylo by to tam spojitý.. Prostě analogicky jako v reálných číslech.

END

START Basic

Definice: lokální minimum, ostré lokální minimum, globální minimum

Back:

![[Pasted image 20240923140916.png]]

Analogicky jako u normálních funkcí

Tags: core

END

START Basic

Definice: Omezená, otevřená, uzavřená množina

Back:

![[Pasted image 20240923130106.png]]

Je to podobné jako u intervalů v $\mathbb{R}$.

  • omezená - jakoby "není nekonečná"
  • otevřená - není tam "hranice" té množiny
  • uzavřená - jsou tam i hraniční body té množiny END

START Basic

Věta: Kdy má funkce globální minimu a maxium

Back:

![[Pasted image 20240923130131.png]]

END

Parciální derivace

START Basic

Definice: parciální derivace ve směru v bodě

Back:

![[Pasted image 20240923130201.png]]

Co mi říká: $$\frac{\partial f}{\partial x}$$

  • zafixuju y souřadnici a mění se mi jen x souřadnice
  • V tom grafu pak provedu derivaci​

![[Pasted image 20240923130229.png]]

Tags: core

END

START Basic

Definice: Gradient funkce v bodě

Back:

![[Pasted image 20240923130250.png]]

Neformálně: V daném bodě to je směr nejvyššího růstu.

![[Pasted image 20240923130304.png]]

Tags: core

END

START Basic

Co je grafické znázornění gradientu? (na tohle se ptají u zkoušky!)

Back:

Formálně: Když udělám funkci ve směru v bodě, tak ta směrnice bude největší.

Tzn. u tohohle je ta levá strana nejvyšší? ![[Pasted image 20240930131518.png]]

Neformálně: "Směr nejvyššího růstu funkce".

![[Pasted image 20240930131042.png]]

END

START Basic

Definice: Derivace funkce ve směru v v bodě

Back:

![[Pasted image 20240923130329.png]]

V nějakém bodě $\textbf{b}$ se vychýlím o h a spočtu tu derivaci.

Tags: core

END

START Basic

Věta: Výpočet derivace funkce ve směru v bodě

Back:

![[Pasted image 20240923130408.png]] ![[Pasted image 20240930131445.png]]

Postup výpočtu:

  1. Spočtu si gradient (pomocí parciálních derivací)
  2. Vynásobím gradient se směrovým vektorem
  3. Tím dostanu první derivaci

END

START Basic

Co je tečná nadrovina funkce v bodě? Jak vypadá její rovnice? Jak vypadá její normálový vektor?

(tohle bylo třeba v jedné rozstřelové otázce u zkoušky)

Back:

![[Pasted image 20240923130526.png]]

Neformálně: Vytvořím rovinu v tom bodě (analogie tečny grafu ve 2d). Této rovině se říká tečná nadrovina. Je to to samé, jako kdybych v tom bodě sjednotil všechny tečny ve všech směrech v tom bodě.

Dovysvětlení: Ta nadrovina je popsaná pomocí $(x_1,x_2,\dots,x_n, z)$.

![[Pasted image 20240923130551.png]]

Tags: core

END

Lokální extrémy

START Basic

Věta: Nutná podmínka lokálního extrému (1)

Back:

![[Pasted image 20240923130621.png]]

Vysvětlení Je to analogicky jako u 2D grafů. Aby tam byl extrém, tak tam musí být nulová derivace. Tady ve 3D tam musí být derivace nulová ve všech směrech, tzn. všechny parciální derivace (gradient) musí být v bodě nulový.

Tzn. gradient musí být nulový - na každou stranu se nezvednu vůbec

Tags: core

END

START Basic

Definice: stacionární body

Back:

Body, kde je gradient nulový.

![[Pasted image 20240923130823.png]]

![[Pasted image 20240923130829.png]]

END

START Basic

Definice: kritické body

Back:

Kritické body = body podezřelé z extrému.

Jsou to body, ve kterých je gradient nulový nebo tam neexistuje.

![[Pasted image 20240923130959.png]]

END

START Basic

Jaký je hlavní rozdíl mezi:

  • parciální derivací v bodě ve směru
  • derivací v bodě ve směru?

Back:

Parciální derivace je pouze ve směru nějaké osy ($x,y, \dots$) - zafixujeme všechny souřadnice (až na jednu) a derivujeme v jednom směru.

Derivace v bodě ve směru derivuje v libovolném směru určeném vektorem $v$. To dělá tak, že kombinuje všechny parciální derivace podle směru vektoru.

Parciální derivace ![[Pasted image 20240923130201.png]] ![[Pasted image 20240923130229.png]] Derivace ![[Pasted image 20240923130329.png]]

END