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author: Ir1d, sshwy, Xeonacid, partychicken, Anguei, HeRaNO 在 OI 中，想要对图进行操作，就需要先学习图的存储方式。

约定

本文默认读者已阅读并了解了 图论相关概念 中的基础内容，如果在阅读中遇到困难，也可以在 图论相关概念 中进行查阅。

在本文中，用 $n$ 代指图的点数，用 $m$ 代指图的边数，用 $d^+(u)$ 代指点 $u$ 的出度，即以 $u$ 为出发点的边数。

直接存边

方法

使用一个数组来存边，数组中的每个元素都包含一条边的起点与终点（带边权的图还包含边权）。（或者使用多个数组分别存起点，终点和边权。）

??? note "参考代码" === "C++" ```cpp #include #include 

    using namespace std;
    
    struct Edge {
      int u, v;
    };
    
    int n, m;
    vector<Edge> e;
    vector<bool> vis;
    
    bool find_edge(int u, int v) {
      for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        if (e[i].u == u && e[i].v == v) {
          return true;
        }
      }
      return false;
    }
    
    void dfs(int u) {
      if (vis[u]) return;
      vis[u] = true;
      for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        if (e[i].u == u) {
          dfs(e[i].v);
        }
      }
    }
    
    int main() {
      cin >> n >> m;
    
      vis.resize(n + 1, false);
      e.resize(m + 1);
    
      for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> e[i].u >> e[i].v;
    
      return 0;
    }
    ```

=== "Python"
    ```python
    class Edge:
        def __init__(self, u=0, v=0):
            self.u = u
            self.v = v
    
    
    n, m = map(int, input().split())
    
    e = [Edge() for _ in range(m)]
    vis = [False] * n
    
    for i in range(m):
        e[i].u, e[i].v = map(int, input().split())
    
    
    def find_edge(u, v):
        for i in range(m):
            if e[i].u == u and e[i].v == v:
                return True
        return False
    
    
    def dfs(u):
        if vis[u]:
            return
        vis[u] = True
        for i in range(m):
            if e[i].u == u:
                dfs(e[i].v)
    ```

复杂度

查询是否存在某条边：$O(m)$。

遍历一个点的所有出边：$O(m)$。

遍历整张图：$O(nm)$。

空间复杂度：$O(m)$。

应用

由于直接存边的遍历效率低下，一般不用于遍历图。

在 Kruskal 算法 中，由于需要将边按边权排序，需要直接存边。

在有的题目中，需要多次建图（如建一遍原图，建一遍反图），此时既可以使用多个其它数据结构来同时存储多张图，也可以将边直接存下来，需要重新建图时利用直接存下的边来建图。

邻接矩阵

方法

使用一个二维数组 adj 来存边，其中 adj[u][v] 为 1 表示存在 $u$ 到 $v$ 的边，为 0 表示不存在。如果是带边权的图，可以在 adj[u][v] 中存储 $u$ 到 $v$ 的边的边权。

??? note "参考代码" === "C++" ```cpp #include #include 

    using namespace std;
    
    int n, m;
    vector<bool> vis;
    vector<vector<bool> > adj;
    
    bool find_edge(int u, int v) { return adj[u][v]; }
    
    void dfs(int u) {
      if (vis[u]) return;
      vis[u] = true;
      for (int v = 1; v <= n; ++v) {
        if (adj[u][v]) {
          dfs(v);
        }
      }
    }
    
    int main() {
      cin >> n >> m;
    
      vis.resize(n + 1, false);
      adj.resize(n + 1, vector<bool>(n + 1, false));
    
      for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        adj[u][v] = true;
      }
    
      return 0;
    }
    ```

=== "Python"
    ```python
    vis = [False] * (n + 1)
    adj = [[False] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    for i in range(1, m + 1):
        u, v = map(lambda x: int(x), input().split())
        adj[u][v] = True
    
    
    def find_edge(u, v):
        return adj[u][v]
    
    
    def dfs(u):
        if vis[u]:
            return
        vis[u] = True
        for v in range(1, n + 1):
            if adj[u][v]:
                dfs(v)
    ```

复杂度

查询是否存在某条边：$O(1)$。

遍历一个点的所有出边：$O(n)$。

遍历整张图：$O(n^2)$。

空间复杂度：$O(n^2)$。

应用

邻接矩阵只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。

其最显著的优点是可以 $O(1)$ 查询一条边是否存在。

由于邻接矩阵在稀疏图上效率很低（尤其是在点数较多的图上，空间无法承受），所以一般只会在稠密图上使用邻接矩阵。

邻接表

方法

使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector<int> adj[n + 1] 来存边，其中 adj[u] 存储的是点 $u$ 的所有出边的相关信息（终点、边权等）。

??? note "参考代码" === "C++" ```cpp #include #include 

    using namespace std;
    
    int n, m;
    vector<bool> vis;
    vector<vector<int> > adj;
    
    bool find_edge(int u, int v) {
      for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) {
        if (adj[u][i] == v) {
          return true;
        }
      }
      return false;
    }
    
    void dfs(int u) {
      if (vis[u]) return;
      vis[u] = true;
      for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) dfs(adj[u][i]);
    }
    
    int main() {
      cin >> n >> m;
    
      vis.resize(n + 1, false);
      adj.resize(n + 1);
    
      for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
      }
    
      return 0;
    }
    ```

=== "Python"
    ```python
    vis = [False] * (n + 1)
    adj = [[] for _ in range(n + 1)]
    
    for i in range(1, m + 1):
        u, v = map(lambda x: int(x), input().split())
        adj[u].append(v)
    
    
    def find_edge(u, v):
        for i in range(0, len(adj[u])):
            if adj[u][i] == v:
                return True
        return False
    
    
    def dfs(u):
        if vis[u]:
            return
        vis[u] = True
        for i in range(0, len(adj[u])):
            dfs(adj[u][i])
    ```

复杂度

查询是否存在 $u$ 到 $v$ 的边：$O(d^+(u))$（如果事先进行了排序就可以使用 二分查找 做到 $O(\log(d^+(u)))$）。

遍历点 $u$ 的所有出边：$O(d^+(u))$。

遍历整张图：$O(n+m)$。

空间复杂度：$O(m)$。

应用

存各种图都很适合，除非有特殊需求（如需要快速查询一条边是否存在，且点数较少，可以使用邻接矩阵）。

尤其适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合。

链式前向星

方法

本质上是用链表实现的邻接表，核心代码如下：

=== "C++" ```cpp // head[u] 和 cnt 的初始值都为 -1 void add(int u, int v) { nxt[++cnt] = head[u]; // 当前边的后继 head[u] = cnt; // 起点 u 的第一条边 to[cnt] = v; // 当前边的终点 }

// 遍历 u 的出边
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
  int v = to[i];
}
```

=== "Python" ```python # head[u] 和 cnt 的初始值都为 -1 def add(u, v): cnt = cnt + 1 nex[cnt] = head[u] # 当前边的后继 head[u] = cnt # 起点 u 的第一条边 to[cnt] = v # 当前边的终点

# 遍历 u 的出边
i = head[u]
while ~i:  # ~i 表示 i != -1
    v = to[i]
    i = nxt[i]
```

??? note "参考代码" ```cpp #include #include 

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<int> head, nxt, to;

void add(int u, int v) {
  nxt.push_back(head[u]);
  head[u] = to.size();
  to.push_back(v);
}

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
    if (to[i] == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) dfs(to[i]);
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  head.resize(n + 1, -1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    add(u, v);
  }

  return 0;
}
```

复杂度

查询是否存在 $u$ 到 $v$ 的边：$O(d^+(u))$。

遍历点 $u$ 的所有出边：$O(d^+(u))$。

遍历整张图：$O(n+m)$。

空间复杂度：$O(m)$。

应用

存各种图都很适合，但不能快速查询一条边是否存在，也不能方便地对一个点的出边进行排序。

优点是边是带编号的，有时会非常有用，而且如果 cnt 的初始值为奇数，存双向边时 i ^ 1 即是 i 的反边（常用于 网络流）。